Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupubuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupubuz 44429
Description: For a real-valued function on a set of upper integers, if the superior limit is not +∞, then the function is bounded above. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupubuz.j Ⅎ𝑗𝐹
limsupubuz.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
limsupubuz.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
limsupubuz.n (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) β‰  +∞)
Assertion
Ref Expression
limsupubuz (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑀   𝑗,𝑍,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑗)   𝐹(𝑗)   𝑀(𝑗)

Proof of Theorem limsupubuz
Dummy variables 𝑖 π‘˜ 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1918 . . . . . 6 β„²π‘™πœ‘
2 nfcv 2904 . . . . . 6 Ⅎ𝑙𝐹
3 limsupubuz.z . . . . . . . 8 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
4 uzssre 12844 . . . . . . . 8 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† ℝ
53, 4eqsstri 4017 . . . . . . 7 𝑍 βŠ† ℝ
65a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 βŠ† ℝ)
7 limsupubuz.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
87frexr 44095 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
9 limsupubuz.n . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) β‰  +∞)
101, 2, 6, 8, 9limsupub 44420 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 (π‘˜ ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦))
1110adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 (π‘˜ ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦))
12 nfv 1918 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑙 𝑀 ∈ β„€
131, 12nfan 1903 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑙(πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€)
14 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑙 𝑦 ∈ ℝ
1513, 14nfan 1903 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑙((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
16 nfv 1918 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑙 π‘˜ ∈ ℝ
1715, 16nfan 1903 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑙(((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ)
18 nfra1 3282 . . . . . . . 8 β„²π‘™βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 (π‘˜ ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦)
1917, 18nfan 1903 . . . . . . 7 Ⅎ𝑙((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 (π‘˜ ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦))
20 nfmpt1 5257 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑙(𝑙 ∈ (𝑀...if((βŒˆβ€˜π‘˜) ≀ 𝑀, 𝑀, (βŒˆβ€˜π‘˜))) ↦ (πΉβ€˜π‘™))
2120nfrn 5952 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑙ran (𝑙 ∈ (𝑀...if((βŒˆβ€˜π‘˜) ≀ 𝑀, 𝑀, (βŒˆβ€˜π‘˜))) ↦ (πΉβ€˜π‘™))
22 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑙ℝ
23 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑙 <
2421, 22, 23nfsup 9446 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑙sup(ran (𝑙 ∈ (𝑀...if((βŒˆβ€˜π‘˜) ≀ 𝑀, 𝑀, (βŒˆβ€˜π‘˜))) ↦ (πΉβ€˜π‘™)), ℝ, < )
25 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑙 ≀
26 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑙𝑦
2724, 25, 26nfbr 5196 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑙sup(ran (𝑙 ∈ (𝑀...if((βŒˆβ€˜π‘˜) ≀ 𝑀, 𝑀, (βŒˆβ€˜π‘˜))) ↦ (πΉβ€˜π‘™)), ℝ, < ) ≀ 𝑦
2827, 26, 24nfif 4559 . . . . . . 7 Ⅎ𝑙if(sup(ran (𝑙 ∈ (𝑀...if((βŒˆβ€˜π‘˜) ≀ 𝑀, 𝑀, (βŒˆβ€˜π‘˜))) ↦ (πΉβ€˜π‘™)), ℝ, < ) ≀ 𝑦, 𝑦, sup(ran (𝑙 ∈ (𝑀...if((βŒˆβ€˜π‘˜) ≀ 𝑀, 𝑀, (βŒˆβ€˜π‘˜))) ↦ (πΉβ€˜π‘™)), ℝ, < ))
29 breq2 5153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑖 β†’ (π‘˜ ≀ 𝑙 ↔ π‘˜ ≀ 𝑖))
30 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 = 𝑖 β†’ (πΉβ€˜π‘™) = (πΉβ€˜π‘–))
3130breq1d 5159 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑖 β†’ ((πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦 ↔ (πΉβ€˜π‘–) ≀ 𝑦))
3229, 31imbi12d 345 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑖 β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦) ↔ (π‘˜ ≀ 𝑖 β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ 𝑦)))
3332cbvralvw 3235 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 (π‘˜ ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (π‘˜ ≀ 𝑖 β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ 𝑦))
3433biimpi 215 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 (π‘˜ ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (π‘˜ ≀ 𝑖 β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ 𝑦))
3534adantl 483 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 (π‘˜ ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦)) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (π‘˜ ≀ 𝑖 β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ 𝑦))
36 simp-4r 783 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (π‘˜ ≀ 𝑖 β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ 𝑦)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3735, 36syldan 592 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 (π‘˜ ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
387ad4antr 731 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (π‘˜ ≀ 𝑖 β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ 𝑦)) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
3935, 38syldan 592 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 (π‘˜ ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦)) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
40 simpllr 775 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (π‘˜ ≀ 𝑖 β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ 𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
4135, 40syldan 592 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 (π‘˜ ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
42 simplr 768 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (π‘˜ ≀ 𝑖 β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ 𝑦)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
4335, 42syldan 592 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 (π‘˜ ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
4433biimpri 227 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (π‘˜ ≀ 𝑖 β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ 𝑦) β†’ βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 (π‘˜ ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦))
4535, 44syl 17 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 (π‘˜ ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦)) β†’ βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 (π‘˜ ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦))
46 eqid 2733 . . . . . . 7 if((βŒˆβ€˜π‘˜) ≀ 𝑀, 𝑀, (βŒˆβ€˜π‘˜)) = if((βŒˆβ€˜π‘˜) ≀ 𝑀, 𝑀, (βŒˆβ€˜π‘˜))
47 eqid 2733 . . . . . . 7 sup(ran (𝑙 ∈ (𝑀...if((βŒˆβ€˜π‘˜) ≀ 𝑀, 𝑀, (βŒˆβ€˜π‘˜))) ↦ (πΉβ€˜π‘™)), ℝ, < ) = sup(ran (𝑙 ∈ (𝑀...if((βŒˆβ€˜π‘˜) ≀ 𝑀, 𝑀, (βŒˆβ€˜π‘˜))) ↦ (πΉβ€˜π‘™)), ℝ, < )
48 eqid 2733 . . . . . . 7 if(sup(ran (𝑙 ∈ (𝑀...if((βŒˆβ€˜π‘˜) ≀ 𝑀, 𝑀, (βŒˆβ€˜π‘˜))) ↦ (πΉβ€˜π‘™)), ℝ, < ) ≀ 𝑦, 𝑦, sup(ran (𝑙 ∈ (𝑀...if((βŒˆβ€˜π‘˜) ≀ 𝑀, 𝑀, (βŒˆβ€˜π‘˜))) ↦ (πΉβ€˜π‘™)), ℝ, < )) = if(sup(ran (𝑙 ∈ (𝑀...if((βŒˆβ€˜π‘˜) ≀ 𝑀, 𝑀, (βŒˆβ€˜π‘˜))) ↦ (πΉβ€˜π‘™)), ℝ, < ) ≀ 𝑦, 𝑦, sup(ran (𝑙 ∈ (𝑀...if((βŒˆβ€˜π‘˜) ≀ 𝑀, 𝑀, (βŒˆβ€˜π‘˜))) ↦ (πΉβ€˜π‘™)), ℝ, < ))
4919, 28, 37, 3, 39, 41, 43, 45, 46, 47, 48limsupubuzlem 44428 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 (π‘˜ ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯)
5049rexlimdva2 3158 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 (π‘˜ ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯))
5150rexlimdva 3156 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 (π‘˜ ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯))
5211, 51mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯)
533a1i 11 . . . . . 6 (Β¬ 𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€))
54 uz0 44122 . . . . . 6 (Β¬ 𝑀 ∈ β„€ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘€) = βˆ…)
5553, 54eqtrd 2773 . . . . 5 (Β¬ 𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑍 = βˆ…)
56 0red 11217 . . . . . 6 (𝑍 = βˆ… β†’ 0 ∈ ℝ)
57 rzal 4509 . . . . . 6 (𝑍 = βˆ… β†’ βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘™) ≀ 0)
58 brralrspcev 5209 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘™) ≀ 0) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯)
5956, 57, 58syl2anc 585 . . . . 5 (𝑍 = βˆ… β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯)
6055, 59syl 17 . . . 4 (Β¬ 𝑀 ∈ β„€ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯)
6160adantl 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯)
6252, 61pm2.61dan 812 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯)
63 limsupubuz.j . . . . . 6 Ⅎ𝑗𝐹
64 nfcv 2904 . . . . . 6 Ⅎ𝑗𝑙
6563, 64nffv 6902 . . . . 5 Ⅎ𝑗(πΉβ€˜π‘™)
66 nfcv 2904 . . . . 5 Ⅎ𝑗 ≀
67 nfcv 2904 . . . . 5 Ⅎ𝑗π‘₯
6865, 66, 67nfbr 5196 . . . 4 Ⅎ𝑗(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯
69 nfv 1918 . . . 4 Ⅎ𝑙(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯
70 fveq2 6892 . . . . 5 (𝑙 = 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘™) = (πΉβ€˜π‘—))
7170breq1d 5159 . . . 4 (𝑙 = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
7268, 69, 71cbvralw 3304 . . 3 (βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
7372rexbii 3095 . 2 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘™ ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
7462, 73sylib 217 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2884   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  supcsup 9435  β„cr 11109  0cc0 11110  +∞cpnf 11245   < clt 11248   ≀ cle 11249  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  ...cfz 13484  βŒˆcceil 13756  lim supclsp 15414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-ico 13330  df-fz 13485  df-fl 13757  df-ceil 13758  df-limsup 15415
This theorem is referenced by:  limsupubuzmpt  44435  limsupvaluz2  44454  supcnvlimsup  44456
  Copyright terms: Public domain W3C validator