Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupubuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupubuz 43944
Description: For a real-valued function on a set of upper integers, if the superior limit is not +∞, then the function is bounded above. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupubuz.j 𝑗𝐹
limsupubuz.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
limsupubuz.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
limsupubuz.n (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)
Assertion
Ref Expression
limsupubuz (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝑗,𝑍,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗)   𝐹(𝑗)   𝑀(𝑗)

Proof of Theorem limsupubuz
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1917 . . . . . 6 𝑙𝜑
2 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑙𝐹
3 limsupubuz.z . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 uzssre 12785 . . . . . . . 8 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ
53, 4eqsstri 3978 . . . . . . 7 𝑍 ⊆ ℝ
65a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑍 ⊆ ℝ)
7 limsupubuz.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
87frexr 43609 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
9 limsupubuz.n . . . . . 6 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)
101, 2, 6, 8, 9limsupub 43935 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑙𝑍 (𝑘𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑦))
1110adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑙𝑍 (𝑘𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑦))
12 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 𝑙 𝑀 ∈ ℤ
131, 12nfan 1902 . . . . . . . . . 10 𝑙(𝜑𝑀 ∈ ℤ)
14 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 𝑙 𝑦 ∈ ℝ
1513, 14nfan 1902 . . . . . . . . 9 𝑙((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
16 nfv 1917 . . . . . . . . 9 𝑙 𝑘 ∈ ℝ
1715, 16nfan 1902 . . . . . . . 8 𝑙(((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ)
18 nfra1 3267 . . . . . . . 8 𝑙𝑙𝑍 (𝑘𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑦)
1917, 18nfan 1902 . . . . . . 7 𝑙((((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑙𝑍 (𝑘𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑦))
20 nfmpt1 5213 . . . . . . . . . . 11 𝑙(𝑙 ∈ (𝑀...if((⌈‘𝑘) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝑘))) ↦ (𝐹𝑙))
2120nfrn 5907 . . . . . . . . . 10 𝑙ran (𝑙 ∈ (𝑀...if((⌈‘𝑘) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝑘))) ↦ (𝐹𝑙))
22 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑙
23 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑙 <
2421, 22, 23nfsup 9387 . . . . . . . . 9 𝑙sup(ran (𝑙 ∈ (𝑀...if((⌈‘𝑘) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝑘))) ↦ (𝐹𝑙)), ℝ, < )
25 nfcv 2907 . . . . . . . . 9 𝑙
26 nfcv 2907 . . . . . . . . 9 𝑙𝑦
2724, 25, 26nfbr 5152 . . . . . . . 8 𝑙sup(ran (𝑙 ∈ (𝑀...if((⌈‘𝑘) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝑘))) ↦ (𝐹𝑙)), ℝ, < ) ≤ 𝑦
2827, 26, 24nfif 4516 . . . . . . 7 𝑙if(sup(ran (𝑙 ∈ (𝑀...if((⌈‘𝑘) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝑘))) ↦ (𝐹𝑙)), ℝ, < ) ≤ 𝑦, 𝑦, sup(ran (𝑙 ∈ (𝑀...if((⌈‘𝑘) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝑘))) ↦ (𝐹𝑙)), ℝ, < ))
29 breq2 5109 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑖 → (𝑘𝑙𝑘𝑖))
30 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 = 𝑖 → (𝐹𝑙) = (𝐹𝑖))
3130breq1d 5115 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑖 → ((𝐹𝑙) ≤ 𝑦 ↔ (𝐹𝑖) ≤ 𝑦))
3229, 31imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑖 → ((𝑘𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑦) ↔ (𝑘𝑖 → (𝐹𝑖) ≤ 𝑦)))
3332cbvralvw 3225 . . . . . . . . . 10 (∀𝑙𝑍 (𝑘𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑦) ↔ ∀𝑖𝑍 (𝑘𝑖 → (𝐹𝑖) ≤ 𝑦))
3433biimpi 215 . . . . . . . . 9 (∀𝑙𝑍 (𝑘𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑦) → ∀𝑖𝑍 (𝑘𝑖 → (𝐹𝑖) ≤ 𝑦))
3534adantl 482 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑙𝑍 (𝑘𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑦)) → ∀𝑖𝑍 (𝑘𝑖 → (𝐹𝑖) ≤ 𝑦))
36 simp-4r 782 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑖𝑍 (𝑘𝑖 → (𝐹𝑖) ≤ 𝑦)) → 𝑀 ∈ ℤ)
3735, 36syldan 591 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑙𝑍 (𝑘𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑦)) → 𝑀 ∈ ℤ)
387ad4antr 730 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑖𝑍 (𝑘𝑖 → (𝐹𝑖) ≤ 𝑦)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
3935, 38syldan 591 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑙𝑍 (𝑘𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑦)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
40 simpllr 774 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑖𝑍 (𝑘𝑖 → (𝐹𝑖) ≤ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
4135, 40syldan 591 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑙𝑍 (𝑘𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
42 simplr 767 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑖𝑍 (𝑘𝑖 → (𝐹𝑖) ≤ 𝑦)) → 𝑘 ∈ ℝ)
4335, 42syldan 591 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑙𝑍 (𝑘𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑦)) → 𝑘 ∈ ℝ)
4433biimpri 227 . . . . . . . 8 (∀𝑖𝑍 (𝑘𝑖 → (𝐹𝑖) ≤ 𝑦) → ∀𝑙𝑍 (𝑘𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑦))
4535, 44syl 17 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑙𝑍 (𝑘𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑦)) → ∀𝑙𝑍 (𝑘𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑦))
46 eqid 2736 . . . . . . 7 if((⌈‘𝑘) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝑘)) = if((⌈‘𝑘) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝑘))
47 eqid 2736 . . . . . . 7 sup(ran (𝑙 ∈ (𝑀...if((⌈‘𝑘) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝑘))) ↦ (𝐹𝑙)), ℝ, < ) = sup(ran (𝑙 ∈ (𝑀...if((⌈‘𝑘) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝑘))) ↦ (𝐹𝑙)), ℝ, < )
48 eqid 2736 . . . . . . 7 if(sup(ran (𝑙 ∈ (𝑀...if((⌈‘𝑘) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝑘))) ↦ (𝐹𝑙)), ℝ, < ) ≤ 𝑦, 𝑦, sup(ran (𝑙 ∈ (𝑀...if((⌈‘𝑘) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝑘))) ↦ (𝐹𝑙)), ℝ, < )) = if(sup(ran (𝑙 ∈ (𝑀...if((⌈‘𝑘) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝑘))) ↦ (𝐹𝑙)), ℝ, < ) ≤ 𝑦, 𝑦, sup(ran (𝑙 ∈ (𝑀...if((⌈‘𝑘) ≤ 𝑀, 𝑀, (⌈‘𝑘))) ↦ (𝐹𝑙)), ℝ, < ))
4919, 28, 37, 3, 39, 41, 43, 45, 46, 47, 48limsupubuzlem 43943 . . . . . 6 (((((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑙𝑍 (𝑘𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑙𝑍 (𝐹𝑙) ≤ 𝑥)
5049rexlimdva2 3154 . . . . 5 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑙𝑍 (𝑘𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑙𝑍 (𝐹𝑙) ≤ 𝑥))
5150rexlimdva 3152 . . . 4 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑙𝑍 (𝑘𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑙𝑍 (𝐹𝑙) ≤ 𝑥))
5211, 51mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑙𝑍 (𝐹𝑙) ≤ 𝑥)
533a1i 11 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℤ → 𝑍 = (ℤ𝑀))
54 uz0 43637 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
5553, 54eqtrd 2776 . . . . 5 𝑀 ∈ ℤ → 𝑍 = ∅)
56 0red 11158 . . . . . 6 (𝑍 = ∅ → 0 ∈ ℝ)
57 rzal 4466 . . . . . 6 (𝑍 = ∅ → ∀𝑙𝑍 (𝐹𝑙) ≤ 0)
58 brralrspcev 5165 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑙𝑍 (𝐹𝑙) ≤ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑙𝑍 (𝐹𝑙) ≤ 𝑥)
5956, 57, 58syl2anc 584 . . . . 5 (𝑍 = ∅ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑙𝑍 (𝐹𝑙) ≤ 𝑥)
6055, 59syl 17 . . . 4 𝑀 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑙𝑍 (𝐹𝑙) ≤ 𝑥)
6160adantl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑙𝑍 (𝐹𝑙) ≤ 𝑥)
6252, 61pm2.61dan 811 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑙𝑍 (𝐹𝑙) ≤ 𝑥)
63 limsupubuz.j . . . . . 6 𝑗𝐹
64 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑗𝑙
6563, 64nffv 6852 . . . . 5 𝑗(𝐹𝑙)
66 nfcv 2907 . . . . 5 𝑗
67 nfcv 2907 . . . . 5 𝑗𝑥
6865, 66, 67nfbr 5152 . . . 4 𝑗(𝐹𝑙) ≤ 𝑥
69 nfv 1917 . . . 4 𝑙(𝐹𝑗) ≤ 𝑥
70 fveq2 6842 . . . . 5 (𝑙 = 𝑗 → (𝐹𝑙) = (𝐹𝑗))
7170breq1d 5115 . . . 4 (𝑙 = 𝑗 → ((𝐹𝑙) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
7268, 69, 71cbvralw 3289 . . 3 (∀𝑙𝑍 (𝐹𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
7372rexbii 3097 . 2 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑙𝑍 (𝐹𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
7462, 73sylib 217 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wnfc 2887  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  wss 3910  c0 4282  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ran crn 5634  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  supcsup 9376  cr 11050  0cc0 11051  +∞cpnf 11186   < clt 11189  cle 11190  cz 12499  cuz 12763  ...cfz 13424  cceil 13696  lim supclsp 15352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-ico 13270  df-fz 13425  df-fl 13697  df-ceil 13698  df-limsup 15353
This theorem is referenced by:  limsupubuzmpt  43950  limsupvaluz2  43969  supcnvlimsup  43971
  Copyright terms: Public domain W3C validator