Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrre4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrre4 44793
Description: An extended real is real iff it is not an infinty. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
xrre4 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝐴 ≠ -∞ ∧ 𝐴 ≠ +∞)))

Proof of Theorem xrre4
StepHypRef Expression
1 renemnf 11293 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
21adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ -∞)
3 renepnf 11292 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)
43adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ +∞)
52, 4jca 511 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ≠ -∞ ∧ 𝐴 ≠ +∞))
65ex 412 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≠ -∞ ∧ 𝐴 ≠ +∞)))
7 simpl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≠ -∞ ∧ 𝐴 ≠ +∞)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8 simprl 770 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≠ -∞ ∧ 𝐴 ≠ +∞)) → 𝐴 ≠ -∞)
9 simprr 772 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≠ -∞ ∧ 𝐴 ≠ +∞)) → 𝐴 ≠ +∞)
107, 8, 9xrred 44747 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ≠ -∞ ∧ 𝐴 ≠ +∞)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1110ex 412 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝐴 ≠ -∞ ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ))
126, 11impbid 211 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝐴 ≠ -∞ ∧ 𝐴 ≠ +∞)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wcel 2099  wne 2937  cr 11137  +∞cpnf 11275  -∞cmnf 11276  *cxr 11277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282
This theorem is referenced by:  limsupre2lem  45112
  Copyright terms: Public domain W3C validator