Theorem wdompwdom 9536

Description: Weak dominance strengthens to usual dominance on the power sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wdompwdom	⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝒫 𝑋 ≼ 𝒫 𝑌)

Proof of Theorem wdompwdom

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relwdom 9524	. . . . . 6 ⊢ Rel ≼*
2	1	brrelex2i 5718	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝑌 ∈ V)
3	2	pwexd 5350	. . . 4 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝒫 𝑌 ∈ V)
4		0ss 4357	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ 𝑌
5	4	sspwi 4574	. . . 4 ⊢ 𝒫 ∅ ⊆ 𝒫 𝑌
6		ssdomg 8993	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝑌 ∈ V → (𝒫 ∅ ⊆ 𝒫 𝑌 → 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝑌))
7	3, 5, 6	mpisyl 22	. . 3 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝑌)
8		pweq 4576	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → 𝒫 𝑋 = 𝒫 ∅)
9	8	breq1d 5119	. . 3 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝒫 𝑋 ≼ 𝒫 𝑌 ↔ 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝑌))
10	7, 9	imbitrrid 249	. 2 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝒫 𝑋 ≼ 𝒫 𝑌))
11		brwdomn0 9527	. . 3 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑧 𝑧:𝑌–onto→𝑋))
12		vex 3459	. . . . 5 ⊢ 𝑧 ∈ V
13		fopwdom 9069	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ V ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → 𝒫 𝑋 ≼ 𝒫 𝑌)
14	12, 13	mpan 702	. . . 4 ⊢ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 → 𝒫 𝑋 ≼ 𝒫 𝑌)
15	14	exlimiv 1960	. . 3 ⊢ (∃𝑧 𝑧:𝑌–onto→𝑋 → 𝒫 𝑋 ≼ 𝒫 𝑌)
16	11, 15	biimtrdi 256	. 2 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝒫 𝑋 ≼ 𝒫 𝑌))
17	10, 16	pm2.61ine 3041	1 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝒫 𝑋 ≼ 𝒫 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4562   class class class wbr 5109  –onto→wfo 6534   ≼ cdom 8937   ≼^* cwdom 9522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-dom 8941  df-wdom 9523

This theorem is referenced by:  isfin32i  10344  hsmexlem1  10405  hsmexlem3  10407  gchhar  10659