Theorem wdompwdom 9507

Description: Weak dominance strengthens to usual dominance on the power sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wdompwdom	⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝒫 𝑋 ≼ 𝒫 𝑌)

Proof of Theorem wdompwdom

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relwdom 9495	. . . . . 6 ⊢ Rel ≼*
2	1	brrelex2i 5688	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝑌 ∈ V)
3	2	pwexd 5329	. . . 4 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝒫 𝑌 ∈ V)
4		0ss 4359	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ 𝑌
5	4	sspwi 4571	. . . 4 ⊢ 𝒫 ∅ ⊆ 𝒫 𝑌
6		ssdomg 8948	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝑌 ∈ V → (𝒫 ∅ ⊆ 𝒫 𝑌 → 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝑌))
7	3, 5, 6	mpisyl 21	. . 3 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝑌)
8		pweq 4573	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → 𝒫 𝑋 = 𝒫 ∅)
9	8	breq1d 5112	. . 3 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝒫 𝑋 ≼ 𝒫 𝑌 ↔ 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝑌))
10	7, 9	imbitrrid 246	. 2 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝒫 𝑋 ≼ 𝒫 𝑌))
11		brwdomn0 9498	. . 3 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑧 𝑧:𝑌–onto→𝑋))
12		vex 3448	. . . . 5 ⊢ 𝑧 ∈ V
13		fopwdom 9026	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ V ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → 𝒫 𝑋 ≼ 𝒫 𝑌)
14	12, 13	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 → 𝒫 𝑋 ≼ 𝒫 𝑌)
15	14	exlimiv 1930	. . 3 ⊢ (∃𝑧 𝑧:𝑌–onto→𝑋 → 𝒫 𝑋 ≼ 𝒫 𝑌)
16	11, 15	biimtrdi 253	. 2 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝒫 𝑋 ≼ 𝒫 𝑌))
17	10, 16	pm2.61ine 3008	1 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝒫 𝑋 ≼ 𝒫 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3444   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  𝒫 cpw 4559   class class class wbr 5102  –onto→wfo 6497   ≼ cdom 8893   ≼^* cwdom 9493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-dom 8897  df-wdom 9494

This theorem is referenced by:  isfin32i  10294  hsmexlem1  10355  hsmexlem3  10357  gchhar  10608