Theorem wdompwdom 9470

Description: Weak dominance strengthens to usual dominance on the power sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wdompwdom	⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝒫 𝑋 ≼ 𝒫 𝑌)

Proof of Theorem wdompwdom

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relwdom 9458	. . . . . 6 ⊢ Rel ≼*
2	1	brrelex2i 5676	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝑌 ∈ V)
3	2	pwexd 5318	. . . 4 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝒫 𝑌 ∈ V)
4		0ss 4351	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ 𝑌
5	4	sspwi 4563	. . . 4 ⊢ 𝒫 ∅ ⊆ 𝒫 𝑌
6		ssdomg 8925	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝑌 ∈ V → (𝒫 ∅ ⊆ 𝒫 𝑌 → 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝑌))
7	3, 5, 6	mpisyl 21	. . 3 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝑌)
8		pweq 4565	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → 𝒫 𝑋 = 𝒫 ∅)
9	8	breq1d 5102	. . 3 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝒫 𝑋 ≼ 𝒫 𝑌 ↔ 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝑌))
10	7, 9	imbitrrid 246	. 2 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝒫 𝑋 ≼ 𝒫 𝑌))
11		brwdomn0 9461	. . 3 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑧 𝑧:𝑌–onto→𝑋))
12		vex 3440	. . . . 5 ⊢ 𝑧 ∈ V
13		fopwdom 9002	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ V ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → 𝒫 𝑋 ≼ 𝒫 𝑌)
14	12, 13	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 → 𝒫 𝑋 ≼ 𝒫 𝑌)
15	14	exlimiv 1930	. . 3 ⊢ (∃𝑧 𝑧:𝑌–onto→𝑋 → 𝒫 𝑋 ≼ 𝒫 𝑌)
16	11, 15	biimtrdi 253	. 2 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝒫 𝑋 ≼ 𝒫 𝑌))
17	10, 16	pm2.61ine 3008	1 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝒫 𝑋 ≼ 𝒫 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3436   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284  𝒫 cpw 4551   class class class wbr 5092  –onto→wfo 6480   ≼ cdom 8870   ≼^* cwdom 9456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-dom 8874  df-wdom 9457

This theorem is referenced by:  isfin32i  10259  hsmexlem1  10320  hsmexlem3  10322  gchhar  10573