Theorem wdompwdom 9483

Description: Weak dominance strengthens to usual dominance on the power sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wdompwdom	⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝒫 𝑋 ≼ 𝒫 𝑌)

Proof of Theorem wdompwdom

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relwdom 9471	. . . . . 6 ⊢ Rel ≼*
2	1	brrelex2i 5675	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝑌 ∈ V)
3	2	pwexd 5308	. . . 4 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝒫 𝑌 ∈ V)
4		0ss 4328	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ 𝑌
5	4	sspwi 4541	. . . 4 ⊢ 𝒫 ∅ ⊆ 𝒫 𝑌
6		ssdomg 8937	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝑌 ∈ V → (𝒫 ∅ ⊆ 𝒫 𝑌 → 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝑌))
7	3, 5, 6	mpisyl 21	. . 3 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝑌)
8		pweq 4543	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → 𝒫 𝑋 = 𝒫 ∅)
9	8	breq1d 5082	. . 3 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝒫 𝑋 ≼ 𝒫 𝑌 ↔ 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝑌))
10	7, 9	imbitrrid 247	. 2 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝒫 𝑋 ≼ 𝒫 𝑌))
11		brwdomn0 9474	. . 3 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑧 𝑧:𝑌–onto→𝑋))
12		vex 3435	. . . . 5 ⊢ 𝑧 ∈ V
13		fopwdom 9013	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ V ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → 𝒫 𝑋 ≼ 𝒫 𝑌)
14	12, 13	mpan 696	. . . 4 ⊢ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 → 𝒫 𝑋 ≼ 𝒫 𝑌)
15	14	exlimiv 1937	. . 3 ⊢ (∃𝑧 𝑧:𝑌–onto→𝑋 → 𝒫 𝑋 ≼ 𝒫 𝑌)
16	11, 15	biimtrdi 254	. 2 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝒫 𝑋 ≼ 𝒫 𝑌))
17	10, 16	pm2.61ine 3017	1 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝒫 𝑋 ≼ 𝒫 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261  𝒫 cpw 4529   class class class wbr 5072  –onto→wfo 6483   ≼ cdom 8881   ≼^* cwdom 9469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-dom 8885  df-wdom 9470

This theorem is referenced by:  isfin32i  10278  hsmexlem1  10339  hsmexlem3  10341  gchhar  10593