Theorem wdompwdom 9464

Description: Weak dominance strengthens to usual dominance on the power sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wdompwdom	⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝒫 𝑋 ≼ 𝒫 𝑌)

Proof of Theorem wdompwdom

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relwdom 9452	. . . . . 6 ⊢ Rel ≼*
2	1	brrelex2i 5671	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝑌 ∈ V)
3	2	pwexd 5315	. . . 4 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝒫 𝑌 ∈ V)
4		0ss 4347	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ 𝑌
5	4	sspwi 4559	. . . 4 ⊢ 𝒫 ∅ ⊆ 𝒫 𝑌
6		ssdomg 8922	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝑌 ∈ V → (𝒫 ∅ ⊆ 𝒫 𝑌 → 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝑌))
7	3, 5, 6	mpisyl 21	. . 3 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝑌)
8		pweq 4561	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → 𝒫 𝑋 = 𝒫 ∅)
9	8	breq1d 5099	. . 3 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝒫 𝑋 ≼ 𝒫 𝑌 ↔ 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝑌))
10	7, 9	imbitrrid 246	. 2 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝒫 𝑋 ≼ 𝒫 𝑌))
11		brwdomn0 9455	. . 3 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑧 𝑧:𝑌–onto→𝑋))
12		vex 3440	. . . . 5 ⊢ 𝑧 ∈ V
13		fopwdom 8998	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ V ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → 𝒫 𝑋 ≼ 𝒫 𝑌)
14	12, 13	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 → 𝒫 𝑋 ≼ 𝒫 𝑌)
15	14	exlimiv 1931	. . 3 ⊢ (∃𝑧 𝑧:𝑌–onto→𝑋 → 𝒫 𝑋 ≼ 𝒫 𝑌)
16	11, 15	biimtrdi 253	. 2 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝒫 𝑋 ≼ 𝒫 𝑌))
17	10, 16	pm2.61ine 3011	1 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝒫 𝑋 ≼ 𝒫 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897  ∅c0 4280  𝒫 cpw 4547   class class class wbr 5089  –onto→wfo 6479   ≼ cdom 8867   ≼^* cwdom 9450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-dom 8871  df-wdom 9451

This theorem is referenced by:  isfin32i  10256  hsmexlem1  10317  hsmexlem3  10319  gchhar  10570