Theorem wspthsswwlknon 29439

Description: The set of simple paths of a fixed length between two vertices is a subset of the set of walks of the fixed length between the two vertices. (Contributed by AV, 15-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wspthsswwlknon	⊢ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) ⊆ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵)

Proof of Theorem wspthsswwlknon

Dummy variables 𝑓 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	wspthnonp 29377	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑤 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑤)))
3		simp3l 1200	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑤 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑤)) → 𝑤 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) → 𝑤 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵))
5	4	ssriv 3987	1 ⊢ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) ⊆ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵)

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∃wex 1780   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   ⊆ wss 3949   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412  ℕ₀cn0 12477  Vtxcvtx 28520  SPathsOncspthson 29236   WWalksNOn cwwlksnon 29345   WSPathsNOn cwwspthsnon 29347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-wwlksnon 29350  df-wspthsnon 29352

This theorem is referenced by:  wspthnonfi  29440