Theorem wspthsswwlknon 29986

Description: The set of simple paths of a fixed length between two vertices is a subset of the set of walks of the fixed length between the two vertices. (Contributed by AV, 15-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wspthsswwlknon	⊢ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) ⊆ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵)

Proof of Theorem wspthsswwlknon

Dummy variables 𝑓 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	wspthnonp 29924	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑤 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑤)))
3		simp3l 1203	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑤 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑤)) → 𝑤 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) → 𝑤 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵))
5	4	ssriv 3926	1 ⊢ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) ⊆ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵)

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  ‘cfv 6496  (class class class)co 7364  ℕ₀cn0 12434  Vtxcvtx 29062  SPathsOncspthson 29778   WWalksNOn cwwlksnon 29892   WSPathsNOn cwwspthsnon 29894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5523  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-1st 7939  df-2nd 7940  df-wwlksnon 29897  df-wspthsnon 29899

This theorem is referenced by:  wspthnonfi  29987