Theorem wspthsswwlknon 29851

Description: The set of simple paths of a fixed length between two vertices is a subset of the set of walks of the fixed length between the two vertices. (Contributed by AV, 15-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wspthsswwlknon	⊢ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) ⊆ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵)

Proof of Theorem wspthsswwlknon

Dummy variables 𝑓 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	wspthnonp 29789	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑤 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑤)))
3		simp3l 1202	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑤 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑤)) → 𝑤 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) → 𝑤 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵))
5	4	ssriv 3950	1 ⊢ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) ⊆ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵)

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℕ₀cn0 12442  Vtxcvtx 28923  SPathsOncspthson 29643   WWalksNOn cwwlksnon 29757   WSPathsNOn cwwspthsnon 29759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-wwlksnon 29762  df-wspthsnon 29764

This theorem is referenced by:  wspthnonfi  29852