Theorem wspthnonp 30441

Description: Properties of a set being a simple path of a fixed length between two vertices as word. (Contributed by AV, 14-May-2021.) (Proof shortened by AV, 15-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
wspthnonp.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wspthnonp	⊢ (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑊)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝑓,𝐺   𝑓,𝑁   𝑓,𝑉   𝑓,𝑊

Proof of Theorem wspthnonp

Dummy variables 𝑤 𝑎 𝑏 𝑔 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6896	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝑔) ∈ V
2	1, 1	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ ((Vtx‘𝑔) ∈ V ∧ (Vtx‘𝑔) ∈ V)
3	2	rgen2w 3082	. . 3 ⊢ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ∀𝑔 ∈ V ((Vtx‘𝑔) ∈ V ∧ (Vtx‘𝑔) ∈ V)
4		df-wspthsnon 30416	. . . 4 ⊢ WSPathsNOn = (𝑛 ∈ ℕ0, 𝑔 ∈ V ↦ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝑔), 𝑏 ∈ (Vtx‘𝑔) ↦ {𝑤 ∈ (𝑎(𝑛 WWalksNOn 𝑔)𝑏) ∣ ∃𝑓 𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝑔)𝑏)𝑤}))
5		fveq2 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Vtx‘𝑔) = (Vtx‘𝐺))
6	5, 5	jca 521	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((Vtx‘𝑔) = (Vtx‘𝐺) ∧ (Vtx‘𝑔) = (Vtx‘𝐺)))
7	6	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((Vtx‘𝑔) = (Vtx‘𝐺) ∧ (Vtx‘𝑔) = (Vtx‘𝐺)))
8	4, 7	el2mpocl 8095	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ0 ∀𝑔 ∈ V ((Vtx‘𝑔) ∈ V ∧ (Vtx‘𝑔) ∈ V) → (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)))))
9	3, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))))
10		simprl 783	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V))
11		wspthnonp.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
12	11	eleq2i 2853	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 ↔ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
13	11	eleq2i 2853	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 ↔ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))
14	12, 13	anbi12i 640	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ↔ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)))
15	14	bilanri 512	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
16	15	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
17		wspthnon 30440	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) ↔ (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑊))
18	17	birani 509	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑊))
19	10, 16, 18	3jca 1146	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑊)))
20	9, 19	mpdan 700	1 ⊢ (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑊)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  {crab 3413  Vcvv 3451   class class class wbr 5103  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℕ₀cn0 12599  Vtxcvtx 29567  SPathsOncspthson 30291   WWalksNOn cwwlksnon 30409   WSPathsNOn cwwspthsnon 30411

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-wwlksnon 30414  df-wspthsnon 30416

This theorem is used by:  wspthneq1eq2  30442  wspthsnonn0vne  30499  wspthsswwlknon  30503