Theorem wspthnonp 27637

Description: Properties of a set being a simple path of a fixed length between two vertices as word. (Contributed by AV, 14-May-2021.) (Proof shortened by AV, 15-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
wspthnonp.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wspthnonp	⊢ (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑊)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝑓,𝐺   𝑓,𝑁   𝑓,𝑉   𝑓,𝑊

Proof of Theorem wspthnonp

Dummy variables 𝑤 𝑎 𝑏 𝑔 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6683	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝑔) ∈ V
2	1, 1	pm3.2i 473	. . . 4 ⊢ ((Vtx‘𝑔) ∈ V ∧ (Vtx‘𝑔) ∈ V)
3	2	rgen2w 3151	. . 3 ⊢ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ∀𝑔 ∈ V ((Vtx‘𝑔) ∈ V ∧ (Vtx‘𝑔) ∈ V)
4		df-wspthsnon 27612	. . . 4 ⊢ WSPathsNOn = (𝑛 ∈ ℕ0, 𝑔 ∈ V ↦ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝑔), 𝑏 ∈ (Vtx‘𝑔) ↦ {𝑤 ∈ (𝑎(𝑛 WWalksNOn 𝑔)𝑏) ∣ ∃𝑓 𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝑔)𝑏)𝑤}))
5		fveq2 6670	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Vtx‘𝑔) = (Vtx‘𝐺))
6	5, 5	jca 514	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((Vtx‘𝑔) = (Vtx‘𝐺) ∧ (Vtx‘𝑔) = (Vtx‘𝐺)))
7	6	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((Vtx‘𝑔) = (Vtx‘𝐺) ∧ (Vtx‘𝑔) = (Vtx‘𝐺)))
8	4, 7	el2mpocl 7781	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ0 ∀𝑔 ∈ V ((Vtx‘𝑔) ∈ V ∧ (Vtx‘𝑔) ∈ V) → (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)))))
9	3, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))))
10		simprl 769	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V))
11		wspthnonp.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
12	11	eleq2i 2904	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 ↔ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
13	11	eleq2i 2904	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 ↔ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))
14	12, 13	anbi12i 628	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ↔ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)))
15	14	biimpri 230	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
16	15	adantl 484	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
17	16	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
18		wspthnon 27636	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) ↔ (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑊))
19	18	biimpi 218	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) → (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑊))
20	19	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑊))
21	10, 17, 20	3jca 1124	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑊)))
22	9, 21	mpdan 685	1 ⊢ (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537  ∃wex 1780   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138  {crab 3142  Vcvv 3494   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℕ₀cn0 11898  Vtxcvtx 26781  SPathsOncspthson 27496   WWalksNOn cwwlksnon 27605   WSPathsNOn cwwspthsnon 27607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wwlksnon 27610  df-wspthsnon 27612

This theorem is referenced by:  wspthneq1eq2  27638  wspthsnonn0vne  27696  wspthsswwlknon  27700