Theorem wspthnonp 27225

Description: Properties of a set being a simple path of a fixed length between two vertices as word. (Contributed by AV, 14-May-2021.) (Proof shortened by AV, 15-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
wspthnonp.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wspthnonp	⊢ (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑊)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝑓,𝐺   𝑓,𝑁   𝑓,𝑉   𝑓,𝑊

Proof of Theorem wspthnonp

Dummy variables 𝑤 𝑎 𝑏 𝑔 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6461	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝑔) ∈ V
2	1, 1	pm3.2i 464	. . . 4 ⊢ ((Vtx‘𝑔) ∈ V ∧ (Vtx‘𝑔) ∈ V)
3	2	rgen2w 3107	. . 3 ⊢ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ∀𝑔 ∈ V ((Vtx‘𝑔) ∈ V ∧ (Vtx‘𝑔) ∈ V)
4		df-wspthsnon 27200	. . . 4 ⊢ WSPathsNOn = (𝑛 ∈ ℕ0, 𝑔 ∈ V ↦ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝑔), 𝑏 ∈ (Vtx‘𝑔) ↦ {𝑤 ∈ (𝑎(𝑛 WWalksNOn 𝑔)𝑏) ∣ ∃𝑓 𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝑔)𝑏)𝑤}))
5		fveq2 6448	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Vtx‘𝑔) = (Vtx‘𝐺))
6	5, 5	jca 507	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((Vtx‘𝑔) = (Vtx‘𝐺) ∧ (Vtx‘𝑔) = (Vtx‘𝐺)))
7	6	adantl 475	. . . 4 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((Vtx‘𝑔) = (Vtx‘𝐺) ∧ (Vtx‘𝑔) = (Vtx‘𝐺)))
8	4, 7	el2mpt2cl 7533	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ0 ∀𝑔 ∈ V ((Vtx‘𝑔) ∈ V ∧ (Vtx‘𝑔) ∈ V) → (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)))))
9	3, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))))
10		simprl 761	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V))
11		wspthnonp.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
12	11	eleq2i 2851	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 ↔ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
13	11	eleq2i 2851	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 ↔ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))
14	12, 13	anbi12i 620	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ↔ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)))
15	14	biimpri 220	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
16	15	adantl 475	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
17	16	adantl 475	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
18		wspthnon 27224	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) ↔ (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑊))
19	18	biimpi 208	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) → (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑊))
20	19	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑊))
21	10, 17, 20	3jca 1119	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑊)))
22	9, 21	mpdan 677	1 ⊢ (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601  ∃wex 1823   ∈ wcel 2107  ∀wral 3090  {crab 3094  Vcvv 3398   class class class wbr 4888  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  ℕ₀cn0 11647  Vtxcvtx 26361  SPathsOncspthson 27084   WWalksNOn cwwlksnon 27193   WSPathsNOn cwwspthsnon 27195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wwlksnon 27198  df-wspthsnon 27200

This theorem is referenced by:  wspthneq1eq2  27226  wspthsnonn0vne  27314  wspthsswwlknon  27318