NFE Home New Foundations Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  df1st2 GIF version

Theorem df1st2 4738
Description: Express the 1st function via the set construction functions. (Contributed by SF, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
df1st2 1st = ⋃11((((V ×k V) ×k V) ∩ k ∼ (( Ins3k SIk SIk SkIns2k ( Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)) “k ( ∼ (( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c) “k 11c))

Proof of Theorem df1st2
Dummy variables x y z t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opkex 4113 . . . . . 6 x, y V
21elimak 4259 . . . . 5 (⟪x, y ( ∼ (( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c) “k 11c) ↔ t 1 1ct, ⟪x, y⟫⟫ ∼ (( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c))
3 df-rex 2620 . . . . . 6 (t 1 1ct, ⟪x, y⟫⟫ ∼ (( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c) ↔ t(t 11c t, ⟪x, y⟫⟫ ∼ (( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)))
4 elpw11c 4147 . . . . . . . . . 10 (t 11cz t = {{z}})
54anbi1i 676 . . . . . . . . 9 ((t 11c t, ⟪x, y⟫⟫ ∼ (( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)) ↔ (z t = {{z}} t, ⟪x, y⟫⟫ ∼ (( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)))
6 19.41v 1901 . . . . . . . . 9 (z(t = {{z}} t, ⟪x, y⟫⟫ ∼ (( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)) ↔ (z t = {{z}} t, ⟪x, y⟫⟫ ∼ (( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)))
75, 6bitr4i 243 . . . . . . . 8 ((t 11c t, ⟪x, y⟫⟫ ∼ (( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)) ↔ z(t = {{z}} t, ⟪x, y⟫⟫ ∼ (( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)))
87exbii 1582 . . . . . . 7 (t(t 11c t, ⟪x, y⟫⟫ ∼ (( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)) ↔ tz(t = {{z}} t, ⟪x, y⟫⟫ ∼ (( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)))
9 excom 1741 . . . . . . 7 (zt(t = {{z}} t, ⟪x, y⟫⟫ ∼ (( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)) ↔ tz(t = {{z}} t, ⟪x, y⟫⟫ ∼ (( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)))
108, 9bitr4i 243 . . . . . 6 (t(t 11c t, ⟪x, y⟫⟫ ∼ (( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)) ↔ zt(t = {{z}} t, ⟪x, y⟫⟫ ∼ (( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)))
113, 10bitri 240 . . . . 5 (t 1 1ct, ⟪x, y⟫⟫ ∼ (( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c) ↔ zt(t = {{z}} t, ⟪x, y⟫⟫ ∼ (( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)))
122, 11bitri 240 . . . 4 (⟪x, y ( ∼ (( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c) “k 11c) ↔ zt(t = {{z}} t, ⟪x, y⟫⟫ ∼ (( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)))
13 snex 4111 . . . . . . 7 {{z}} V
14 opkeq1 4059 . . . . . . . 8 (t = {{z}} → ⟪t, ⟪x, y⟫⟫ = ⟪{{z}}, ⟪x, y⟫⟫)
1514eleq1d 2419 . . . . . . 7 (t = {{z}} → (⟪t, ⟪x, y⟫⟫ ∼ (( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c) ↔ ⟪{{z}}, ⟪x, y⟫⟫ ∼ (( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)))
1613, 15ceqsexv 2894 . . . . . 6 (t(t = {{z}} t, ⟪x, y⟫⟫ ∼ (( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)) ↔ ⟪{{z}}, ⟪x, y⟫⟫ ∼ (( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c))
17 vex 2862 . . . . . . 7 x V
18 vex 2862 . . . . . . 7 y V
19 vex 2862 . . . . . . 7 z V
2017, 18, 19setconslem7 4737 . . . . . 6 (⟪{{z}}, ⟪x, y⟫⟫ ∼ (( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c) ↔ x = y, z)
2116, 20bitri 240 . . . . 5 (t(t = {{z}} t, ⟪x, y⟫⟫ ∼ (( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)) ↔ x = y, z)
2221exbii 1582 . . . 4 (zt(t = {{z}} t, ⟪x, y⟫⟫ ∼ (( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)) ↔ z x = y, z)
2312, 22bitri 240 . . 3 (⟪x, y ( ∼ (( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c) “k 11c) ↔ z x = y, z)
2423opabbii 4626 . 2 {x, y x, y ( ∼ (( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c) “k 11c)} = {x, y z x = y, z}
25 setconslem4 4734 . 2 11((((V ×k V) ×k V) ∩ k ∼ (( Ins3k SIk SIk SkIns2k ( Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)) “k ( ∼ (( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c) “k 11c)) = {x, y x, y ( ∼ (( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c) “k 11c)}
26 df-1st 4723 . 2 1st = {x, y z x = y, z}
2724, 25, 263eqtr4ri 2384 1 1st = ⋃11((((V ×k V) ×k V) ∩ k ∼ (( Ins3k SIk SIk SkIns2k ( Ins3k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins2k (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c)) “k ( ∼ (( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk k SIk kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k SkIns3k SIk ∼ (( Ins2k SkIns3k ((kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 111c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn ×k V))) k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k V))) “k 111c)) “k 111c))) “k 11111c) “k 11c))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   wa 358  wex 1541   = wceq 1642   wcel 1710  wrex 2615  Vcvv 2859  ccompl 3205   cdif 3206  cun 3207  cin 3208  csymdif 3209  {csn 3737  copk 4057  1cuni1 4133  1cc1c 4134  1cpw1 4135   ×k cxpk 4174  kccnvk 4175   Ins2k cins2k 4176   Ins3k cins3k 4177  k cimak 4179   k ccomk 4180   SIk csik 4181  Imagekcimagek 4182   Sk cssetk 4183   Ik cidk 4184   Nn cnnc 4373  0cc0c 4374  cop 4561  {copab 4622  1st c1st 4717
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-phi 4565  df-op 4566  df-opab 4623  df-1st 4723
This theorem is referenced by:  1stex  4739
  Copyright terms: Public domain W3C validator