Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | opkex 4114 |
. . . . . . 7
⊢ ⟪{{C}}, ⟪A,
B⟫⟫ ∈ V |
2 | 1 | elimak 4260 |
. . . . . 6
⊢ (⟪{{C}}, ⟪A,
B⟫⟫ ∈ (( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c))) “k ℘1℘1℘1℘11c) ↔ ∃t ∈
℘1 ℘1℘1℘11c⟪t, ⟪{{C}}, ⟪A, B⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins3k Sk ⊕
( Ins2k Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)))) |
3 | | df-rex 2621 |
. . . . . . 7
⊢ (∃t ∈ ℘1
℘1℘1℘11c⟪t, ⟪{{C}}, ⟪A,
B⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c))) ↔ ∃t(t
∈ ℘1℘1℘1℘11c ∧
⟪t, ⟪{{C}},
⟪A, B⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c))))) |
4 | | elpw141c 4151 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (t ∈ ℘1℘1℘1℘11c ↔ ∃x t = {{{{{x}}}}}) |
5 | 4 | anbi1i 676 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((t ∈ ℘1℘1℘1℘11c ∧ ⟪t,
⟪{{C}}, ⟪A, B⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)))) ↔ (∃x t
= {{{{{x}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{C}}, ⟪A, B⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins3k Sk ⊕
( Ins2k Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c))))) |
6 | | 19.41v 1901 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (∃x(t = {{{{{x}}}}}
∧ ⟪t, ⟪{{C}}, ⟪A,
B⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)))) ↔ (∃x t
= {{{{{x}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{C}}, ⟪A, B⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins3k Sk ⊕
( Ins2k Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c))))) |
7 | 5, 6 | bitr4i 243 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((t ∈ ℘1℘1℘1℘11c ∧ ⟪t,
⟪{{C}}, ⟪A, B⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)))) ↔ ∃x(t
= {{{{{x}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{C}}, ⟪A, B⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins3k Sk ⊕
( Ins2k Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c))))) |
8 | 7 | exbii 1582 |
. . . . . . . 8
⊢ (∃t(t ∈ ℘1℘1℘1℘11c ∧ ⟪t,
⟪{{C}}, ⟪A, B⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)))) ↔ ∃t∃x(t
= {{{{{x}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{C}}, ⟪A, B⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins3k Sk ⊕
( Ins2k Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c))))) |
9 | | excom 1741 |
. . . . . . . 8
⊢ (∃x∃t(t = {{{{{x}}}}}
∧ ⟪t, ⟪{{C}}, ⟪A,
B⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)))) ↔ ∃t∃x(t
= {{{{{x}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{C}}, ⟪A, B⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins3k Sk ⊕
( Ins2k Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c))))) |
10 | 8, 9 | bitr4i 243 |
. . . . . . 7
⊢ (∃t(t ∈ ℘1℘1℘1℘11c ∧ ⟪t,
⟪{{C}}, ⟪A, B⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)))) ↔ ∃x∃t(t
= {{{{{x}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{C}}, ⟪A, B⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins3k Sk ⊕
( Ins2k Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c))))) |
11 | 3, 10 | bitri 240 |
. . . . . 6
⊢ (∃t ∈ ℘1
℘1℘1℘11c⟪t, ⟪{{C}}, ⟪A,
B⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c))) ↔ ∃x∃t(t
= {{{{{x}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{C}}, ⟪A, B⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins3k Sk ⊕
( Ins2k Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c))))) |
12 | 2, 11 | bitri 240 |
. . . . 5
⊢ (⟪{{C}}, ⟪A,
B⟫⟫ ∈ (( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c))) “k ℘1℘1℘1℘11c) ↔ ∃x∃t(t
= {{{{{x}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{C}}, ⟪A, B⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins3k Sk ⊕
( Ins2k Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c))))) |
13 | | snex 4112 |
. . . . . . . 8
⊢ {{{{{x}}}}} ∈
V |
14 | | opkeq1 4060 |
. . . . . . . . 9
⊢ (t = {{{{{x}}}}}
→ ⟪t, ⟪{{C}}, ⟪A,
B⟫⟫⟫ =
⟪{{{{{x}}}}}, ⟪{{C}}, ⟪A,
B⟫⟫⟫) |
15 | 14 | eleq1d 2419 |
. . . . . . . 8
⊢ (t = {{{{{x}}}}}
→ (⟪t, ⟪{{C}}, ⟪A,
B⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c))) ↔ ⟪{{{{{x}}}}}, ⟪{{C}}, ⟪A, B⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins3k Sk ⊕
( Ins2k Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c))))) |
16 | 13, 15 | ceqsexv 2895 |
. . . . . . 7
⊢ (∃t(t = {{{{{x}}}}}
∧ ⟪t, ⟪{{C}}, ⟪A,
B⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)))) ↔ ⟪{{{{{x}}}}}, ⟪{{C}}, ⟪A, B⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins3k Sk ⊕
( Ins2k Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)))) |
17 | | elsymdif 3224 |
. . . . . . . 8
⊢
(⟪{{{{{x}}}}},
⟪{{C}}, ⟪A, B⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c))) ↔ ¬ (⟪{{{{{x}}}}}, ⟪{{C}}, ⟪A, B⟫⟫⟫ ∈ Ins2k Ins3k Sk ↔
⟪{{{{{x}}}}}, ⟪{{C}}, ⟪A, B⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins2k (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)))) |
18 | | snex 4112 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ {{{x}}} ∈
V |
19 | | snex 4112 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ {{C}} ∈
V |
20 | | opkex 4114 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ⟪A, B⟫
∈ V |
21 | 18, 19, 20 | otkelins2k 4256 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(⟪{{{{{x}}}}},
⟪{{C}}, ⟪A, B⟫⟫⟫ ∈ Ins2k Ins3k Sk ↔ ⟪{{{x}}}, ⟪A,
B⟫⟫ ∈ Ins3k Sk ) |
22 | | snex 4112 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ {x} ∈
V |
23 | | setconslem7.1 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ A ∈
V |
24 | | setconslem7.2 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ B ∈
V |
25 | 22, 23, 24 | otkelins3k 4257 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(⟪{{{x}}}, ⟪A, B⟫⟫ ∈ Ins3k Sk ↔ ⟪{x}, A⟫
∈ Sk ) |
26 | | vex 2863 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ x ∈
V |
27 | 26, 23 | elssetk 4271 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (⟪{x}, A⟫
∈ Sk ↔ x ∈ A) |
28 | 25, 27 | bitri 240 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(⟪{{{x}}}, ⟪A, B⟫⟫ ∈ Ins3k Sk ↔ x ∈ A) |
29 | 21, 28 | bitri 240 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(⟪{{{{{x}}}}},
⟪{{C}}, ⟪A, B⟫⟫⟫ ∈ Ins2k Ins3k Sk ↔ x ∈ A) |
30 | | elun 3221 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(⟪{{{{{x}}}}},
⟪{{C}}, ⟪A, B⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ↔ (⟪{{{{{x}}}}}, ⟪{{C}}, ⟪A, B⟫⟫⟫ ∈ Ins2k Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∨ ⟪{{{{{x}}}}}, ⟪{{C}}, ⟪A, B⟫⟫⟫ ∈ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c))) |
31 | 18, 19, 20 | otkelins2k 4256 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(⟪{{{{{x}}}}},
⟪{{C}}, ⟪A, B⟫⟫⟫ ∈ Ins2k Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ↔ ⟪{{{x}}},
⟪A, B⟫⟫ ∈ Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))))) |
32 | 22, 23, 24 | otkelins2k 4256 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(⟪{{{x}}}, ⟪A, B⟫⟫ ∈ Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ↔ ⟪{x}, B⟫ ∈ ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))))) |
33 | 26, 24 | setconslem1 4732 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (⟪{x}, B⟫
∈ ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ↔ ∃y ∈ B
x = Phi y) |
34 | 32, 33 | bitri 240 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(⟪{{{x}}}, ⟪A, B⟫⟫ ∈ Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ↔ ∃y ∈ B
x = Phi y) |
35 | 31, 34 | bitri 240 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(⟪{{{{{x}}}}},
⟪{{C}}, ⟪A, B⟫⟫⟫ ∈ Ins2k Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ↔ ∃y ∈ B
x = Phi y) |
36 | 18, 19, 20 | otkelins3k 4257 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(⟪{{{{{x}}}}},
⟪{{C}}, ⟪A, B⟫⟫⟫ ∈ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k SIk ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ↔ ⟪{{{x}}}, {{C}}⟫ ∈ SIk SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k
SIk ∼ (( Ins2k Sk ⊕
Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) |
37 | | snex 4112 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ {{x}} ∈
V |
38 | | snex 4112 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ {C} ∈
V |
39 | 37, 38 | opksnelsik 4266 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(⟪{{{x}}}, {{C}}⟫ ∈
SIk SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k SIk ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ↔ ⟪{{x}}, {C}⟫ ∈ SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) |
40 | | setconslem7.3 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ C ∈
V |
41 | 22, 40 | opksnelsik 4266 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (⟪{{x}}, {C}⟫
∈ SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k SIk ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ↔ ⟪{x}, C⟫ ∈ (( Ins2k Sk ∩ Ins3k
SIk ∼ (( Ins2k Sk ⊕
Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) |
42 | 26, 40 | setconslem2 4733 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (⟪{x}, C⟫
∈ (( Ins2k Sk ∩ Ins3k SIk ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ↔ ∃y ∈
C x = ( Phi
y ∪ {0c})) |
43 | 41, 42 | bitri 240 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (⟪{{x}}, {C}⟫
∈ SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k SIk ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ↔ ∃y ∈
C x = ( Phi
y ∪ {0c})) |
44 | 39, 43 | bitri 240 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(⟪{{{x}}}, {{C}}⟫ ∈
SIk SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k SIk ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ↔ ∃y ∈
C x = ( Phi
y ∪ {0c})) |
45 | 36, 44 | bitri 240 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(⟪{{{{{x}}}}},
⟪{{C}}, ⟪A, B⟫⟫⟫ ∈ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k SIk ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ↔ ∃y ∈
C x = ( Phi
y ∪ {0c})) |
46 | 35, 45 | orbi12i 507 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((⟪{{{{{x}}}}},
⟪{{C}}, ⟪A, B⟫⟫⟫ ∈ Ins2k Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∨ ⟪{{{{{x}}}}}, ⟪{{C}}, ⟪A, B⟫⟫⟫ ∈ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ↔ (∃y ∈
B x = Phi
y ∨ ∃y ∈
C x = ( Phi
y ∪ {0c}))) |
47 | 30, 46 | bitri 240 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(⟪{{{{{x}}}}},
⟪{{C}}, ⟪A, B⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ↔ (∃y ∈
B x = Phi
y ∨ ∃y ∈
C x = ( Phi
y ∪ {0c}))) |
48 | 29, 47 | bibi12i 306 |
. . . . . . . . 9
⊢
((⟪{{{{{x}}}}},
⟪{{C}}, ⟪A, B⟫⟫⟫ ∈ Ins2k Ins3k Sk ↔ ⟪{{{{{x}}}}}, ⟪{{C}}, ⟪A,
B⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c))) ↔ (x ∈ A
↔ (∃y ∈ B x
= Phi y
∨ ∃y ∈ C x
= ( Phi y ∪
{0c})))) |
49 | 48 | notbii 287 |
. . . . . . . 8
⊢ (¬
(⟪{{{{{x}}}}}, ⟪{{C}}, ⟪A,
B⟫⟫⟫ ∈ Ins2k Ins3k Sk ↔ ⟪{{{{{x}}}}}, ⟪{{C}}, ⟪A,
B⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c))) ↔ ¬ (x ∈ A
↔ (∃y ∈ B x
= Phi y
∨ ∃y ∈ C x
= ( Phi y ∪
{0c})))) |
50 | 17, 49 | bitri 240 |
. . . . . . 7
⊢
(⟪{{{{{x}}}}},
⟪{{C}}, ⟪A, B⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c))) ↔ ¬ (x ∈ A
↔ (∃y ∈ B x
= Phi y
∨ ∃y ∈ C x
= ( Phi y ∪
{0c})))) |
51 | 16, 50 | bitri 240 |
. . . . . 6
⊢ (∃t(t = {{{{{x}}}}}
∧ ⟪t, ⟪{{C}}, ⟪A,
B⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)))) ↔ ¬ (x ∈ A
↔ (∃y ∈ B x
= Phi y
∨ ∃y ∈ C x
= ( Phi y ∪
{0c})))) |
52 | 51 | exbii 1582 |
. . . . 5
⊢ (∃x∃t(t = {{{{{x}}}}}
∧ ⟪t, ⟪{{C}}, ⟪A,
B⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)))) ↔ ∃x ¬ (x ∈ A
↔ (∃y ∈ B x
= Phi y
∨ ∃y ∈ C x
= ( Phi y ∪
{0c})))) |
53 | 12, 52 | bitri 240 |
. . . 4
⊢ (⟪{{C}}, ⟪A,
B⟫⟫ ∈ (( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c))) “k ℘1℘1℘1℘11c) ↔ ∃x ¬ (x ∈ A
↔ (∃y ∈ B x
= Phi y
∨ ∃y ∈ C x
= ( Phi y ∪
{0c})))) |
54 | | exnal 1574 |
. . . 4
⊢ (∃x ¬
(x ∈
A ↔ (∃y ∈ B x = Phi y ∨ ∃y ∈ C x = ( Phi y ∪ {0c}))) ↔ ¬ ∀x(x ∈ A ↔ (∃y ∈ B x = Phi y ∨ ∃y ∈ C x = ( Phi y ∪ {0c})))) |
55 | 53, 54 | bitri 240 |
. . 3
⊢ (⟪{{C}}, ⟪A,
B⟫⟫ ∈ (( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c))) “k ℘1℘1℘1℘11c) ↔ ¬ ∀x(x
∈ A ↔ (∃y ∈
B x = Phi
y ∨ ∃y ∈
C x = ( Phi
y ∪ {0c})))) |
56 | 55 | con2bii 322 |
. 2
⊢ (∀x(x ∈ A ↔ (∃y ∈ B x = Phi y ∨ ∃y ∈ C x = ( Phi y ∪ {0c}))) ↔ ¬
⟪{{C}}, ⟪A, B⟫⟫ ∈ (( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c))) “k ℘1℘1℘1℘11c)) |
57 | | eqop 4612 |
. 2
⊢ (A = 〈B, C〉 ↔ ∀x(x ∈ A ↔ (∃y ∈ B x = Phi y ∨ ∃y ∈ C x = ( Phi y ∪ {0c})))) |
58 | 1 | elcompl 3226 |
. 2
⊢ (⟪{{C}}, ⟪A,
B⟫⟫ ∈ ∼ (( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c))) “k ℘1℘1℘1℘11c) ↔ ¬ ⟪{{C}}, ⟪A, B⟫⟫ ∈ (( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c))) “k ℘1℘1℘1℘11c)) |
59 | 56, 57, 58 | 3bitr4ri 269 |
1
⊢ (⟪{{C}}, ⟪A,
B⟫⟫ ∈ ∼ (( Ins2k Ins3k Sk ⊕ ( Ins2k Ins2k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c))) “k ℘1℘1℘1℘11c) ↔ A = 〈B,
C〉) |