New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  tfinpw1 GIF version

Theorem tfinpw1 4494
 Description: The finite T operator on a natural contains the unit power class of any element of the natural. Theorem X.1.31 of [Rosser] p. 528. (Contributed by SF, 24-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
tfinpw1 ((M Nn A M) → 1A Tfin M)

Proof of Theorem tfinpw1
Dummy variables b n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ne0i 3556 . . 3 (A MM)
2 tfinprop 4489 . . 3 ((M Nn M) → ( Tfin M Nn b M 1b Tfin M))
31, 2sylan2 460 . 2 ((M Nn A M) → ( Tfin M Nn b M 1b Tfin M))
4 ncfinraise 4481 . . . . . . . 8 ((M Nn A M b M) → n Nn (1A n 1b n))
543expa 1151 . . . . . . 7 (((M Nn A M) b M) → n Nn (1A n 1b n))
65adantrr 697 . . . . . 6 (((M Nn A M) (b M 1b Tfin M)) → n Nn (1A n 1b n))
7 simp3rl 1028 . . . . . . . . . 10 (((M Nn A M) (b M 1b Tfin M) (n Nn (1A n 1b n))) → 1A n)
8 simp3l 983 . . . . . . . . . . 11 (((M Nn A M) (b M 1b Tfin M) (n Nn (1A n 1b n))) → n Nn )
9 simp1l 979 . . . . . . . . . . . 12 (((M Nn A M) (b M 1b Tfin M) (n Nn (1A n 1b n))) → M Nn )
10 tfincl 4492 . . . . . . . . . . . 12 (M NnTfin M Nn )
119, 10syl 15 . . . . . . . . . . 11 (((M Nn A M) (b M 1b Tfin M) (n Nn (1A n 1b n))) → Tfin M Nn )
12 simp3rr 1029 . . . . . . . . . . 11 (((M Nn A M) (b M 1b Tfin M) (n Nn (1A n 1b n))) → 1b n)
13 simp2r 982 . . . . . . . . . . 11 (((M Nn A M) (b M 1b Tfin M) (n Nn (1A n 1b n))) → 1b Tfin M)
14 nnceleq 4430 . . . . . . . . . . 11 (((n Nn Tfin M Nn ) (1b n 1b Tfin M)) → n = Tfin M)
158, 11, 12, 13, 14syl22anc 1183 . . . . . . . . . 10 (((M Nn A M) (b M 1b Tfin M) (n Nn (1A n 1b n))) → n = Tfin M)
167, 15eleqtrd 2429 . . . . . . . . 9 (((M Nn A M) (b M 1b Tfin M) (n Nn (1A n 1b n))) → 1A Tfin M)
17163expa 1151 . . . . . . . 8 ((((M Nn A M) (b M 1b Tfin M)) (n Nn (1A n 1b n))) → 1A Tfin M)
1817expr 598 . . . . . . 7 ((((M Nn A M) (b M 1b Tfin M)) n Nn ) → ((1A n 1b n) → 1A Tfin M))
1918rexlimdva 2738 . . . . . 6 (((M Nn A M) (b M 1b Tfin M)) → (n Nn (1A n 1b n) → 1A Tfin M))
206, 19mpd 14 . . . . 5 (((M Nn A M) (b M 1b Tfin M)) → 1A Tfin M)
2120expr 598 . . . 4 (((M Nn A M) b M) → (1b Tfin M1A Tfin M))
2221rexlimdva 2738 . . 3 ((M Nn A M) → (b M 1b Tfin M1A Tfin M))
2322adantld 453 . 2 ((M Nn A M) → (( Tfin M Nn b M 1b Tfin M) → 1A Tfin M))
243, 23mpd 14 1 ((M Nn A M) → 1A Tfin M)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 358   ∧ w3a 934   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2516  ∃wrex 2615  ∅c0 3550  ℘1cpw1 4135   Nn cnnc 4373   Tfin ctfin 4435 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-tfin 4443 This theorem is referenced by:  ncfintfin  4495  tfindi  4496  tfin0c  4497  tfinsuc  4498  sfintfin  4532  sfinltfin  4535  vfinspsslem1  4550
 Copyright terms: Public domain W3C validator