Theorem tfinpw1 4494

Description: The finite T operator on a natural contains the unit power class of any element of the natural. Theorem X.1.31 of [Rosser] p. 528. (Contributed by SF, 24-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tfinpw1	⊢ ((M ∈ Nn ∧ A ∈ M) → ℘1A ∈ Tfin M)

Proof of Theorem tfinpw1

Dummy variables b n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 3556	. . 3 ⊢ (A ∈ M → M ≠ ∅)
2		tfinprop 4489	. . 3 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ M ≠ ∅) → ( Tfin M ∈ Nn ∧ ∃b ∈ M ℘1b ∈ Tfin M))
3	1, 2	sylan2 460	. 2 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ A ∈ M) → ( Tfin M ∈ Nn ∧ ∃b ∈ M ℘1b ∈ Tfin M))
4		ncfinraise 4481	. . . . . . . 8 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ A ∈ M ∧ b ∈ M) → ∃n ∈ Nn (℘1A ∈ n ∧ ℘1b ∈ n))
5	4	3expa 1151	. . . . . . 7 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ A ∈ M) ∧ b ∈ M) → ∃n ∈ Nn (℘1A ∈ n ∧ ℘1b ∈ n))
6	5	adantrr 697	. . . . . 6 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ A ∈ M) ∧ (b ∈ M ∧ ℘1b ∈ Tfin M)) → ∃n ∈ Nn (℘1A ∈ n ∧ ℘1b ∈ n))
7		simp3rl 1028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ A ∈ M) ∧ (b ∈ M ∧ ℘1b ∈ Tfin M) ∧ (n ∈ Nn ∧ (℘1A ∈ n ∧ ℘1b ∈ n))) → ℘1A ∈ n)
8		simp3l 983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ A ∈ M) ∧ (b ∈ M ∧ ℘1b ∈ Tfin M) ∧ (n ∈ Nn ∧ (℘1A ∈ n ∧ ℘1b ∈ n))) → n ∈ Nn )
9		simp1l 979	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ A ∈ M) ∧ (b ∈ M ∧ ℘1b ∈ Tfin M) ∧ (n ∈ Nn ∧ (℘1A ∈ n ∧ ℘1b ∈ n))) → M ∈ Nn )
10		tfincl 4492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (M ∈ Nn → Tfin M ∈ Nn )
11	9, 10	syl 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ A ∈ M) ∧ (b ∈ M ∧ ℘1b ∈ Tfin M) ∧ (n ∈ Nn ∧ (℘1A ∈ n ∧ ℘1b ∈ n))) → Tfin M ∈ Nn )
12		simp3rr 1029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ A ∈ M) ∧ (b ∈ M ∧ ℘1b ∈ Tfin M) ∧ (n ∈ Nn ∧ (℘1A ∈ n ∧ ℘1b ∈ n))) → ℘1b ∈ n)
13		simp2r 982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ A ∈ M) ∧ (b ∈ M ∧ ℘1b ∈ Tfin M) ∧ (n ∈ Nn ∧ (℘1A ∈ n ∧ ℘1b ∈ n))) → ℘1b ∈ Tfin M)
14		nnceleq 4430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((n ∈ Nn ∧ Tfin M ∈ Nn ) ∧ (℘1b ∈ n ∧ ℘1b ∈ Tfin M)) → n = Tfin M)
15	8, 11, 12, 13, 14	syl22anc 1183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ A ∈ M) ∧ (b ∈ M ∧ ℘1b ∈ Tfin M) ∧ (n ∈ Nn ∧ (℘1A ∈ n ∧ ℘1b ∈ n))) → n = Tfin M)
16	7, 15	eleqtrd 2429	. . . . . . . . 9 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ A ∈ M) ∧ (b ∈ M ∧ ℘1b ∈ Tfin M) ∧ (n ∈ Nn ∧ (℘1A ∈ n ∧ ℘1b ∈ n))) → ℘1A ∈ Tfin M)
17	16	3expa 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((((M ∈ Nn ∧ A ∈ M) ∧ (b ∈ M ∧ ℘1b ∈ Tfin M)) ∧ (n ∈ Nn ∧ (℘1A ∈ n ∧ ℘1b ∈ n))) → ℘1A ∈ Tfin M)
18	17	expr 598	. . . . . . 7 ⊢ ((((M ∈ Nn ∧ A ∈ M) ∧ (b ∈ M ∧ ℘1b ∈ Tfin M)) ∧ n ∈ Nn ) → ((℘1A ∈ n ∧ ℘1b ∈ n) → ℘1A ∈ Tfin M))
19	18	rexlimdva 2738	. . . . . 6 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ A ∈ M) ∧ (b ∈ M ∧ ℘1b ∈ Tfin M)) → (∃n ∈ Nn (℘1A ∈ n ∧ ℘1b ∈ n) → ℘1A ∈ Tfin M))
20	6, 19	mpd 14	. . . . 5 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ A ∈ M) ∧ (b ∈ M ∧ ℘1b ∈ Tfin M)) → ℘1A ∈ Tfin M)
21	20	expr 598	. . . 4 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ A ∈ M) ∧ b ∈ M) → (℘1b ∈ Tfin M → ℘1A ∈ Tfin M))
22	21	rexlimdva 2738	. . 3 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ A ∈ M) → (∃b ∈ M ℘1b ∈ Tfin M → ℘1A ∈ Tfin M))
23	22	adantld 453	. 2 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ A ∈ M) → (( Tfin M ∈ Nn ∧ ∃b ∈ M ℘1b ∈ Tfin M) → ℘1A ∈ Tfin M))
24	3, 23	mpd 14	1 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ A ∈ M) → ℘1A ∈ Tfin M)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 358   ∧ w3a 934   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2516  ∃wrex 2615  ∅c0 3550  ℘₁cpw1 4135   Nn cnnc 4373   T_fin ctfin 4435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-tfin 4443

This theorem is referenced by:  ncfintfin  4495  tfindi  4496  tfin0c  4497  tfinsuc  4498  sfintfin  4532  sfinltfin  4535  vfinspsslem1  4550