Theorem tfinpw1 4495

Description: The finite T operator on a natural contains the unit power class of any element of the natural. Theorem X.1.31 of [Rosser] p. 528. (Contributed by SF, 24-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tfinpw1	⊢ ((M ∈ Nn ∧ A ∈ M) → 𝒫1A ∈ Tfin M)

Proof of Theorem tfinpw1

Dummy variables b n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 3557	. . 3 ⊢ (A ∈ M → M ≠ ∅)
2		tfinprop 4490	. . 3 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ M ≠ ∅) → ( Tfin M ∈ Nn ∧ ∃b ∈ M 𝒫1b ∈ Tfin M))
3	1, 2	sylan2 460	. 2 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ A ∈ M) → ( Tfin M ∈ Nn ∧ ∃b ∈ M 𝒫1b ∈ Tfin M))
4		ncfinraise 4482	. . . . . . . 8 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ A ∈ M ∧ b ∈ M) → ∃n ∈ Nn (𝒫1A ∈ n ∧ 𝒫1b ∈ n))
5	4	3expa 1151	. . . . . . 7 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ A ∈ M) ∧ b ∈ M) → ∃n ∈ Nn (𝒫1A ∈ n ∧ 𝒫1b ∈ n))
6	5	adantrr 697	. . . . . 6 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ A ∈ M) ∧ (b ∈ M ∧ 𝒫1b ∈ Tfin M)) → ∃n ∈ Nn (𝒫1A ∈ n ∧ 𝒫1b ∈ n))
7		simp3rl 1028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ A ∈ M) ∧ (b ∈ M ∧ 𝒫1b ∈ Tfin M) ∧ (n ∈ Nn ∧ (𝒫1A ∈ n ∧ 𝒫1b ∈ n))) → 𝒫1A ∈ n)
8		simp3l 983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ A ∈ M) ∧ (b ∈ M ∧ 𝒫1b ∈ Tfin M) ∧ (n ∈ Nn ∧ (𝒫1A ∈ n ∧ 𝒫1b ∈ n))) → n ∈ Nn )
9		simp1l 979	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ A ∈ M) ∧ (b ∈ M ∧ 𝒫1b ∈ Tfin M) ∧ (n ∈ Nn ∧ (𝒫1A ∈ n ∧ 𝒫1b ∈ n))) → M ∈ Nn )
10		tfincl 4493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (M ∈ Nn → Tfin M ∈ Nn )
11	9, 10	syl 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ A ∈ M) ∧ (b ∈ M ∧ 𝒫1b ∈ Tfin M) ∧ (n ∈ Nn ∧ (𝒫1A ∈ n ∧ 𝒫1b ∈ n))) → Tfin M ∈ Nn )
12		simp3rr 1029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ A ∈ M) ∧ (b ∈ M ∧ 𝒫1b ∈ Tfin M) ∧ (n ∈ Nn ∧ (𝒫1A ∈ n ∧ 𝒫1b ∈ n))) → 𝒫1b ∈ n)
13		simp2r 982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ A ∈ M) ∧ (b ∈ M ∧ 𝒫1b ∈ Tfin M) ∧ (n ∈ Nn ∧ (𝒫1A ∈ n ∧ 𝒫1b ∈ n))) → 𝒫1b ∈ Tfin M)
14		nnceleq 4431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((n ∈ Nn ∧ Tfin M ∈ Nn ) ∧ (𝒫1b ∈ n ∧ 𝒫1b ∈ Tfin M)) → n = Tfin M)
15	8, 11, 12, 13, 14	syl22anc 1183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ A ∈ M) ∧ (b ∈ M ∧ 𝒫1b ∈ Tfin M) ∧ (n ∈ Nn ∧ (𝒫1A ∈ n ∧ 𝒫1b ∈ n))) → n = Tfin M)
16	7, 15	eleqtrd 2429	. . . . . . . . 9 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ A ∈ M) ∧ (b ∈ M ∧ 𝒫1b ∈ Tfin M) ∧ (n ∈ Nn ∧ (𝒫1A ∈ n ∧ 𝒫1b ∈ n))) → 𝒫1A ∈ Tfin M)
17	16	3expa 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((((M ∈ Nn ∧ A ∈ M) ∧ (b ∈ M ∧ 𝒫1b ∈ Tfin M)) ∧ (n ∈ Nn ∧ (𝒫1A ∈ n ∧ 𝒫1b ∈ n))) → 𝒫1A ∈ Tfin M)
18	17	expr 598	. . . . . . 7 ⊢ ((((M ∈ Nn ∧ A ∈ M) ∧ (b ∈ M ∧ 𝒫1b ∈ Tfin M)) ∧ n ∈ Nn ) → ((𝒫1A ∈ n ∧ 𝒫1b ∈ n) → 𝒫1A ∈ Tfin M))
19	18	rexlimdva 2739	. . . . . 6 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ A ∈ M) ∧ (b ∈ M ∧ 𝒫1b ∈ Tfin M)) → (∃n ∈ Nn (𝒫1A ∈ n ∧ 𝒫1b ∈ n) → 𝒫1A ∈ Tfin M))
20	6, 19	mpd 14	. . . . 5 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ A ∈ M) ∧ (b ∈ M ∧ 𝒫1b ∈ Tfin M)) → 𝒫1A ∈ Tfin M)
21	20	expr 598	. . . 4 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ A ∈ M) ∧ b ∈ M) → (𝒫1b ∈ Tfin M → 𝒫1A ∈ Tfin M))
22	21	rexlimdva 2739	. . 3 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ A ∈ M) → (∃b ∈ M 𝒫1b ∈ Tfin M → 𝒫1A ∈ Tfin M))
23	22	adantld 453	. 2 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ A ∈ M) → (( Tfin M ∈ Nn ∧ ∃b ∈ M 𝒫1b ∈ Tfin M) → 𝒫1A ∈ Tfin M))
24	3, 23	mpd 14	1 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ A ∈ M) → 𝒫1A ∈ Tfin M)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 358   ∧ w3a 934   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2517  ∃wrex 2616  ∅c0 3551  𝒫₁cpw1 4136   Nn cnnc 4374   T_fin ctfin 4436

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This proof depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-tfin 4444

This theorem is used by:  ncfintfin  4496  tfindi  4497  tfin0c  4498  tfinsuc  4499  sfintfin  4533  sfinltfin  4536  vfinspsslem1  4551