Theorem tfincl 4492

Description: Closure law for finite T operation. (Contributed by SF, 2-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tfincl	⊢ (N ∈ Nn → Tfin N ∈ Nn )

Proof of Theorem tfincl

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfinnul 4491	. . . . 5 ⊢ Tfin ∅ = ∅
2		tfineq 4488	. . . . 5 ⊢ (N = ∅ → Tfin N = Tfin ∅)
3		id 19	. . . . 5 ⊢ (N = ∅ → N = ∅)
4	1, 2, 3	3eqtr4a 2411	. . . 4 ⊢ (N = ∅ → Tfin N = N)
5	4	eleq1d 2419	. . 3 ⊢ (N = ∅ → ( Tfin N ∈ Nn ↔ N ∈ Nn ))
6	5	biimprd 214	. 2 ⊢ (N = ∅ → (N ∈ Nn → Tfin N ∈ Nn ))
7		tfinprop 4489	. . . 4 ⊢ ((N ∈ Nn ∧ N ≠ ∅) → ( Tfin N ∈ Nn ∧ ∃a ∈ N ℘1a ∈ Tfin N))
8	7	simpld 445	. . 3 ⊢ ((N ∈ Nn ∧ N ≠ ∅) → Tfin N ∈ Nn )
9	8	expcom 424	. 2 ⊢ (N ≠ ∅ → (N ∈ Nn → Tfin N ∈ Nn ))
10	6, 9	pm2.61ine 2592	1 ⊢ (N ∈ Nn → Tfin N ∈ Nn )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2516  ∃wrex 2615  ∅c0 3550  ℘₁cpw1 4135   Nn cnnc 4373   T_fin ctfin 4435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-tfin 4443

This theorem is referenced by:  tfin11  4493  tfinpw1  4494  ncfintfin  4495  tfindi  4496  tfin0c  4497  tfinsuc  4498  tfinlefin  4502  vfinspsslem1  4550  vfinncsp  4554