Theorem 1rinv 14144

Description: The inverse of the ring unity is the ring unity. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
1rinv.1	|- I = ( invr ` R )
1rinv.2	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
1rinv	|- ( R e. Ring -> ( I ` .1. ) = .1. )

Proof of Theorem 1rinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . . . 5 |- (Unit ` R ) = (Unit ` R )
2		1rinv.2	. . . . 5 |- .1. = ( 1r ` R )
3	1, 2	1unit 14123	. . . 4 |- ( R e. Ring -> .1. e. (Unit ` R ) )
4		1rinv.1	. . . . 5 |- I = ( invr ` R )
5		eqid 2231	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
6	1, 4, 5	ringinvcl 14141	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ .1. e. (Unit ` R ) ) -> ( I ` .1. ) e. ( Base ` R ) )
7	3, 6	mpdan 421	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( I ` .1. ) e. ( Base ` R ) )
8		eqid 2231	. . . 4 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
9	5, 8, 2	ringlidm 14038	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( I ` .1. ) e. ( Base ` R ) ) -> ( .1. ( .r ` R ) ( I ` .1. ) ) = ( I ` .1. ) )
10	7, 9	mpdan 421	. 2 |- ( R e. Ring -> ( .1. ( .r ` R ) ( I ` .1. ) ) = ( I ` .1. ) )
11	1, 4, 8, 2	unitrinv 14143	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ .1. e. (Unit ` R ) ) -> ( .1. ( .r ` R ) ( I ` .1. ) ) = .1. )
12	3, 11	mpdan 421	. 2 |- ( R e. Ring -> ( .1. ( .r ` R ) ( I ` .1. ) ) = .1. )
13	10, 12	eqtr3d 2266	1 |- ( R e. Ring -> ( I ` .1. ) = .1. )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   Basecbs 13083   .rcmulr 13162   1rcur 13974   Ringcrg 14011  Unitcui 14102   invrcinvr 14136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-tpos 6411  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-ndx 13086  df-slot 13087  df-base 13089  df-sets 13090  df-iress 13091  df-plusg 13174  df-mulr 13175  df-0g 13342  df-mgm 13440  df-sgrp 13486  df-mnd 13501  df-grp 13587  df-minusg 13588  df-cmn 13874  df-abl 13875  df-mgp 13936  df-ur 13975  df-srg 13979  df-ring 14013  df-oppr 14083  df-dvdsr 14104  df-unit 14105  df-invr 14137

This theorem is referenced by:  dvr1  14154