Theorem 0unit 14093

Description: The additive identity is a unit if and only if 1 = 0, i.e. we are in the zero ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
0unit.1	|- U = (Unit ` R )
0unit.2	|- .0. = ( 0g ` R )
0unit.3	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
0unit	|- ( R e. Ring -> ( .0. e. U <-> .1. = .0. ) )

Proof of Theorem 0unit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0unit.1	. . . 4 |- U = (Unit ` R )
2		eqid 2229	. . . 4 |- ( invr ` R ) = ( invr ` R )
3		eqid 2229	. . . 4 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
4		0unit.3	. . . 4 |- .1. = ( 1r ` R )
5	1, 2, 3, 4	unitrinv 14091	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ .0. e. U ) -> ( .0. ( .r ` R ) ( ( invr ` R ) ` .0. ) ) = .1. )
6		eqid 2229	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
7	1, 2, 6	ringinvcl 14089	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ .0. e. U ) -> ( ( invr ` R ) ` .0. ) e. ( Base ` R ) )
8		0unit.2	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` R )
9	6, 3, 8	ringlz 14006	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( invr ` R ) ` .0. ) e. ( Base ` R ) ) -> ( .0. ( .r ` R ) ( ( invr ` R ) ` .0. ) ) = .0. )
10	7, 9	syldan 282	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ .0. e. U ) -> ( .0. ( .r ` R ) ( ( invr ` R ) ` .0. ) ) = .0. )
11	5, 10	eqtr3d 2264	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ .0. e. U ) -> .1. = .0. )
12		simpr 110	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ .1. = .0. ) -> .1. = .0. )
13	1, 4	1unit 14071	. . . 4 |- ( R e. Ring -> .1. e. U )
14	13	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ .1. = .0. ) -> .1. e. U )
15	12, 14	eqeltrrd 2307	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ .1. = .0. ) -> .0. e. U )
16	11, 15	impbida 598	1 |- ( R e. Ring -> ( .0. e. U <-> .1. = .0. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   Basecbs 13032   .rcmulr 13111   0gc0g 13289   1rcur 13922   Ringcrg 13959  Unitcui 14050   invrcinvr 14084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-tpos 6391  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-ltxr 8186  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-sets 13039  df-iress 13040  df-plusg 13123  df-mulr 13124  df-0g 13291  df-mgm 13389  df-sgrp 13435  df-mnd 13450  df-grp 13536  df-minusg 13537  df-cmn 13823  df-abl 13824  df-mgp 13884  df-ur 13923  df-srg 13927  df-ring 13961  df-oppr 14031  df-dvdsr 14052  df-unit 14053  df-invr 14085

This theorem is referenced by:  nzrunit  14152  aprirr  14247