ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0unit Unicode version

Theorem 0unit 13303
Description: The additive identity is a unit if and only if  1  =  0, i.e. we are in the zero ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
0unit.1  |-  U  =  (Unit `  R )
0unit.2  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
0unit.3  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
0unit  |-  ( R  e.  Ring  ->  (  .0. 
e.  U  <->  .1.  =  .0.  ) )

Proof of Theorem 0unit
StepHypRef Expression
1 0unit.1 . . . 4  |-  U  =  (Unit `  R )
2 eqid 2177 . . . 4  |-  ( invr `  R )  =  (
invr `  R )
3 eqid 2177 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
4 0unit.3 . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
51, 2, 3, 4unitrinv 13301 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  .0.  e.  U )  ->  (  .0.  ( .r `  R
) ( ( invr `  R ) `  .0.  ) )  =  .1.  )
6 eqid 2177 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
71, 2, 6ringinvcl 13299 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  .0.  e.  U )  ->  (
( invr `  R ) `  .0.  )  e.  (
Base `  R )
)
8 0unit.2 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
96, 3, 8ringlz 13227 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( invr `  R ) `  .0.  )  e.  (
Base `  R )
)  ->  (  .0.  ( .r `  R ) ( ( invr `  R
) `  .0.  )
)  =  .0.  )
107, 9syldan 282 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  .0.  e.  U )  ->  (  .0.  ( .r `  R
) ( ( invr `  R ) `  .0.  ) )  =  .0.  )
115, 10eqtr3d 2212 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  .0.  e.  U )  ->  .1.  =  .0.  )
12 simpr 110 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  .1.  =  .0.  )  ->  .1.  =  .0.  )
131, 41unit 13281 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  U )
1413adantr 276 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  .1.  =  .0.  )  ->  .1.  e.  U )
1512, 14eqeltrrd 2255 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  .1.  =  .0.  )  ->  .0.  e.  U )
1611, 15impbida 596 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  (  .0. 
e.  U  <->  .1.  =  .0.  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   Basecbs 12464   .rcmulr 12539   0gc0g 12710   1rcur 13147   Ringcrg 13184  Unitcui 13261   invrcinvr 13294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-tpos 6248  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-iress 12472  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-minusg 12886  df-cmn 13095  df-abl 13096  df-mgp 13136  df-ur 13148  df-srg 13152  df-ring 13186  df-oppr 13245  df-dvdsr 13263  df-unit 13264  df-invr 13295
This theorem is referenced by:  nzrunit  13334  aprirr  13378
  Copyright terms: Public domain W3C validator