Theorem 1unit 13603

Description: The multiplicative identity is a unit. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unit.1	|- U = (Unit ` R )
unit.2	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
1unit	|- ( R e. Ring -> .1. e. U )

Proof of Theorem 1unit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2193	. . . 4 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		unit.2	. . . 4 |- .1. = ( 1r ` R )
3	1, 2	ringidcl 13516	. . 3 |- ( R e. Ring -> .1. e. ( Base ` R ) )
4		eqid 2193	. . . 4 |- ( ||r ` R ) = ( ||r ` R )
5	1, 4	dvdsrid 13596	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ .1. e. ( Base ` R ) ) -> .1. ( ||r ` R ) .1. )
6	3, 5	mpdan 421	. 2 |- ( R e. Ring -> .1. ( ||r ` R ) .1. )
7		eqid 2193	. . . 4 |- (oppr ` R ) = (oppr ` R )
8	7	opprring 13575	. . 3 |- ( R e. Ring -> (oppr ` R ) e. Ring )
9	7, 1	opprbasg 13571	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( Base ` R ) = ( Base ` (oppr ` R ) ) )
10	3, 9	eleqtrd 2272	. . 3 |- ( R e. Ring -> .1. e. ( Base ` (oppr ` R ) ) )
11		eqid 2193	. . . 4 |- ( Base ` (oppr ` R ) ) = ( Base ` (oppr ` R ) )
12		eqid 2193	. . . 4 |- ( ||r ` (oppr ` R ) ) = ( ||r ` (oppr ` R ) )
13	11, 12	dvdsrid 13596	. . 3 |- ( ( (oppr ` R ) e. Ring /\ .1. e. ( Base ` (oppr ` R ) ) ) -> .1. ( ||r ` (oppr ` R ) ) .1. )
14	8, 10, 13	syl2anc 411	. 2 |- ( R e. Ring -> .1. ( ||r ` (oppr ` R ) ) .1. )
15		unit.1	. . . 4 |- U = (Unit ` R )
16	15	a1i 9	. . 3 |- ( R e. Ring -> U = (Unit ` R ) )
17	2	a1i 9	. . 3 |- ( R e. Ring -> .1. = ( 1r ` R ) )
18		eqidd 2194	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( ||r ` R ) = ( ||r ` R ) )
19		eqidd 2194	. . 3 |- ( R e. Ring -> (oppr ` R ) = (oppr ` R ) )
20		eqidd 2194	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( ||r ` (oppr ` R ) ) = ( ||r ` (oppr ` R ) ) )
21		ringsrg 13543	. . 3 |- ( R e. Ring -> R e. SRing )
22	16, 17, 18, 19, 20, 21	isunitd 13602	. 2 |- ( R e. Ring -> ( .1. e. U <-> ( .1. ( ||r ` R ) .1. /\ .1. ( ||r ` (oppr ` R ) ) .1. ) ) )
23	6, 14, 22	mpbir2and 946	1 |- ( R e. Ring -> .1. e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4029   ` cfv 5254   Basecbs 12618   1rcur 13455   Ringcrg 13492  opp_rcoppr 13563   ||_rcdsr 13582  Unitcui 13583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-tpos 6298  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-cmn 13356  df-abl 13357  df-mgp 13417  df-ur 13456  df-srg 13460  df-ring 13494  df-oppr 13564  df-dvdsr 13585  df-unit 13586

This theorem is referenced by:  unitgrp  13612  unitgrpid  13614  unitsubm  13615  1rinv  13624  0unit  13625  dvr1  13634  subrgugrp  13736