Theorem dvr1 13386

Description: A ring element divided by the ring unity is itself. (div1 8674 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvr1.b	|- B = ( Base ` R )
dvr1.d	|- ./ = (/r ` R )
dvr1.o	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
dvr1	|- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( X ./ .1. ) = X )

Proof of Theorem dvr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvr1.b	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> B = ( Base ` R ) )
3		eqidd 2188	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( .r ` R ) = ( .r ` R ) )
4		eqidd 2188	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> (Unit ` R ) = (Unit ` R ) )
5		eqidd 2188	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( invr ` R ) = ( invr ` R ) )
6		dvr1.d	. . . 4 |- ./ = (/r ` R )
7	6	a1i 9	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ./ = (/r ` R ) )
8		simpl 109	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> R e. Ring )
9		simpr 110	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> X e. B )
10		eqid 2187	. . . . 5 |- (Unit ` R ) = (Unit ` R )
11		dvr1.o	. . . . 5 |- .1. = ( 1r ` R )
12	10, 11	1unit 13355	. . . 4 |- ( R e. Ring -> .1. e. (Unit ` R ) )
13	12	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> .1. e. (Unit ` R ) )
14	2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 13	dvrvald 13382	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( X ./ .1. ) = ( X ( .r ` R ) ( ( invr ` R ) ` .1. ) ) )
15		eqid 2187	. . . . 5 |- ( invr ` R ) = ( invr ` R )
16	15, 11	1rinv 13376	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( ( invr ` R ) ` .1. ) = .1. )
17	16	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( ( invr ` R ) ` .1. ) = .1. )
18	17	oveq2d 5904	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( X ( .r ` R ) ( ( invr ` R ) ` .1. ) ) = ( X ( .r ` R ) .1. ) )
19		eqid 2187	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
20	1, 19, 11	ringridm 13276	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( X ( .r ` R ) .1. ) = X )
21	14, 18, 20	3eqtrd 2224	1 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( X ./ .1. ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1363   e. wcel 2158   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   Basecbs 12476   .rcmulr 12552   1rcur 13211   Ringcrg 13248  Unitcui 13335   invrcinvr 13368  /_rcdvr 13379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-ltadd 7941

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-tpos 6260  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-ltxr 8011  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-ndx 12479  df-slot 12480  df-base 12482  df-sets 12483  df-iress 12484  df-plusg 12564  df-mulr 12565  df-0g 12725  df-mgm 12794  df-sgrp 12827  df-mnd 12840  df-grp 12902  df-minusg 12903  df-cmn 13123  df-abl 13124  df-mgp 13173  df-ur 13212  df-srg 13216  df-ring 13250  df-oppr 13316  df-dvdsr 13337  df-unit 13338  df-invr 13369  df-dvr 13380

This theorem is referenced by: (None)