Theorem 2idlvalg 14700

Description: Definition of a two-sided ideal. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
2idlval.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
2idlval.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
2idlval.j	⊢ 𝐽 = (LIdeal‘𝑂)
2idlval.t	⊢ 𝑇 = (2Ideal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
2idlvalg	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑇 = (𝐼 ∩ 𝐽))

Proof of Theorem 2idlvalg

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2idlval.t	. 2 ⊢ 𝑇 = (2Ideal‘𝑅)
2		df-2idl 14697	. . 3 ⊢ 2Ideal = (𝑟 ∈ V ↦ ((LIdeal‘𝑟) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑟))))
3		fveq2 5672	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (LIdeal‘𝑟) = (LIdeal‘𝑅))
4		2idlval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
5	3, 4	eqtr4di 2285	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (LIdeal‘𝑟) = 𝐼)
6		fveq2 5672	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (oppr‘𝑟) = (oppr‘𝑅))
7		2idlval.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
8	6, 7	eqtr4di 2285	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (oppr‘𝑟) = 𝑂)
9	8	fveq2d 5676	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (LIdeal‘(oppr‘𝑟)) = (LIdeal‘𝑂))
10		2idlval.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (LIdeal‘𝑂)
11	9, 10	eqtr4di 2285	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (LIdeal‘(oppr‘𝑟)) = 𝐽)
12	5, 11	ineq12d 3425	. . 3 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((LIdeal‘𝑟) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑟))) = (𝐼 ∩ 𝐽))
13		elex 2827	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
14		lidlex 14670	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (LIdeal‘𝑅) ∈ V)
15	4, 14	eqeltrid 2321	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ V)
16		inex1g 4248	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝐼 ∩ 𝐽) ∈ V)
17	15, 16	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐼 ∩ 𝐽) ∈ V)
18	2, 12, 13, 17	fvmptd3 5773	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (2Ideal‘𝑅) = (𝐼 ∩ 𝐽))
19	1, 18	eqtrid 2279	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑇 = (𝐼 ∩ 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   ∩ cin 3212  ‘cfv 5354  opp_rcoppr 14232  LIdealclidl 14664  2Idealc2idl 14696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1re 8226  ax-addrcl 8229

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-5 9304  df-6 9305  df-7 9306  df-8 9307  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-sets 13240  df-iress 13241  df-mulr 13325  df-sca 13327  df-vsca 13328  df-ip 13329  df-lssm 14550  df-sra 14632  df-rgmod 14633  df-lidl 14666  df-2idl 14697

This theorem is referenced by:  2idlelb  14702  2idllidld  14703  2idlridld  14704  2idl0  14709  2idl1  14710  qus1  14723  crng2idl  14728