Theorem 2idlvalg 14541

Description: Definition of a two-sided ideal. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
2idlval.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
2idlval.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
2idlval.j	⊢ 𝐽 = (LIdeal‘𝑂)
2idlval.t	⊢ 𝑇 = (2Ideal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
2idlvalg	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑇 = (𝐼 ∩ 𝐽))

Proof of Theorem 2idlvalg

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2idlval.t	. 2 ⊢ 𝑇 = (2Ideal‘𝑅)
2		df-2idl 14538	. . 3 ⊢ 2Ideal = (𝑟 ∈ V ↦ ((LIdeal‘𝑟) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑟))))
3		fveq2 5642	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (LIdeal‘𝑟) = (LIdeal‘𝑅))
4		2idlval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
5	3, 4	eqtr4di 2281	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (LIdeal‘𝑟) = 𝐼)
6		fveq2 5642	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (oppr‘𝑟) = (oppr‘𝑅))
7		2idlval.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
8	6, 7	eqtr4di 2281	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (oppr‘𝑟) = 𝑂)
9	8	fveq2d 5646	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (LIdeal‘(oppr‘𝑟)) = (LIdeal‘𝑂))
10		2idlval.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (LIdeal‘𝑂)
11	9, 10	eqtr4di 2281	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (LIdeal‘(oppr‘𝑟)) = 𝐽)
12	5, 11	ineq12d 3408	. . 3 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((LIdeal‘𝑟) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑟))) = (𝐼 ∩ 𝐽))
13		elex 2813	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
14		lidlex 14511	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (LIdeal‘𝑅) ∈ V)
15	4, 14	eqeltrid 2317	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ V)
16		inex1g 4226	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝐼 ∩ 𝐽) ∈ V)
17	15, 16	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐼 ∩ 𝐽) ∈ V)
18	2, 12, 13, 17	fvmptd3 5743	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (2Ideal‘𝑅) = (𝐼 ∩ 𝐽))
19	1, 18	eqtrid 2275	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑇 = (𝐼 ∩ 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  Vcvv 2801   ∩ cin 3198  ‘cfv 5328  opp_rcoppr 14104  LIdealclidl 14505  2Idealc2idl 14537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1re 8131  ax-addrcl 8134

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-sets 13112  df-iress 13113  df-mulr 13197  df-sca 13199  df-vsca 13200  df-ip 13201  df-lssm 14391  df-sra 14473  df-rgmod 14474  df-lidl 14507  df-2idl 14538

This theorem is referenced by:  2idlelb  14543  2idllidld  14544  2idlridld  14545  2idl0  14550  2idl1  14551  qus1  14564  crng2idl  14569