Theorem 2idlvalg 13814

Description: Definition of a two-sided ideal. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
2idlval.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
2idlval.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
2idlval.j	⊢ 𝐽 = (LIdeal‘𝑂)
2idlval.t	⊢ 𝑇 = (2Ideal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
2idlvalg	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑇 = (𝐼 ∩ 𝐽))

Proof of Theorem 2idlvalg

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2idlval.t	. 2 ⊢ 𝑇 = (2Ideal‘𝑅)
2		df-2idl 13813	. . 3 ⊢ 2Ideal = (𝑟 ∈ V ↦ ((LIdeal‘𝑟) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑟))))
3		fveq2 5534	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (LIdeal‘𝑟) = (LIdeal‘𝑅))
4		2idlval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
5	3, 4	eqtr4di 2240	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (LIdeal‘𝑟) = 𝐼)
6		fveq2 5534	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (oppr‘𝑟) = (oppr‘𝑅))
7		2idlval.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
8	6, 7	eqtr4di 2240	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (oppr‘𝑟) = 𝑂)
9	8	fveq2d 5538	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (LIdeal‘(oppr‘𝑟)) = (LIdeal‘𝑂))
10		2idlval.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (LIdeal‘𝑂)
11	9, 10	eqtr4di 2240	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (LIdeal‘(oppr‘𝑟)) = 𝐽)
12	5, 11	ineq12d 3352	. . 3 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((LIdeal‘𝑟) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑟))) = (𝐼 ∩ 𝐽))
13		elex 2763	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
14		lidlex 13786	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (LIdeal‘𝑅) ∈ V)
15	4, 14	eqeltrid 2276	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ V)
16		inex1g 4154	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝐼 ∩ 𝐽) ∈ V)
17	15, 16	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐼 ∩ 𝐽) ∈ V)
18	2, 12, 13, 17	fvmptd3 5629	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (2Ideal‘𝑅) = (𝐼 ∩ 𝐽))
19	1, 18	eqtrid 2234	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑇 = (𝐼 ∩ 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  Vcvv 2752   ∩ cin 3143  ‘cfv 5235  opp_rcoppr 13414  LIdealclidl 13780  2Idealc2idl 13812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1re 7934  ax-addrcl 7937

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-inn 8949  df-2 9007  df-3 9008  df-4 9009  df-5 9010  df-6 9011  df-7 9012  df-8 9013  df-ndx 12514  df-slot 12515  df-base 12517  df-sets 12518  df-iress 12519  df-mulr 12600  df-sca 12602  df-vsca 12603  df-ip 12604  df-lssm 13666  df-sra 13748  df-rgmod 13749  df-lidl 13782  df-2idl 13813

This theorem is referenced by:  2idlelb  13817  2idllidld  13818  2idlridld  13819  2idl0  13824  2idl1  13825  qus1  13838  crng2idl  13842