Theorem crng2idl 13845

Description: In a commutative ring, a two-sided ideal is the same as a left ideal. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
crng2idl.i	|- I = (LIdeal ` R )

Assertion

Ref	Expression
crng2idl	|- ( R e. CRing -> I = (2Ideal ` R ) )

Proof of Theorem crng2idl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inidm 3359	. . 3 |- ( I i^i I ) = I
2		crng2idl.i	. . . . 5 |- I = (LIdeal ` R )
3		eqid 2189	. . . . 5 |- (oppr ` R ) = (oppr ` R )
4	2, 3	crngridl 13844	. . . 4 |- ( R e. CRing -> I = (LIdeal ` (oppr ` R ) ) )
5	4	ineq2d 3351	. . 3 |- ( R e. CRing -> ( I i^i I ) = ( I i^i (LIdeal ` (oppr ` R ) ) ) )
6	1, 5	eqtr3id 2236	. 2 |- ( R e. CRing -> I = ( I i^i (LIdeal ` (oppr ` R ) ) ) )
7		eqid 2189	. . 3 |- (LIdeal ` (oppr ` R ) ) = (LIdeal ` (oppr ` R ) )
8		eqid 2189	. . 3 |- (2Ideal ` R ) = (2Ideal ` R )
9	2, 3, 7, 8	2idlvalg 13817	. 2 |- ( R e. CRing -> (2Ideal ` R ) = ( I i^i (LIdeal ` (oppr ` R ) ) ) )
10	6, 9	eqtr4d 2225	1 |- ( R e. CRing -> I = (2Ideal ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2160   i^i cin 3143   ` cfv 5235   CRingccrg 13351  opp_rcoppr 13417  LIdealclidl 13783  2Idealc2idl 13815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-addcom 7941  ax-addass 7943  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-ltadd 7957

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-tpos 6270  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-ltxr 8027  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-5 9011  df-6 9012  df-7 9013  df-8 9014  df-ndx 12515  df-slot 12516  df-base 12518  df-sets 12519  df-iress 12520  df-plusg 12602  df-mulr 12603  df-sca 12605  df-vsca 12606  df-ip 12607  df-cmn 13225  df-mgp 13275  df-cring 13353  df-oppr 13418  df-lssm 13669  df-lsp 13703  df-sra 13751  df-rgmod 13752  df-lidl 13785  df-rsp 13786  df-2idl 13816

This theorem is referenced by:  quscrng  13847