Theorem 2ndexg 6226

Description: Existence of the first member of a set. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
2ndexg	|- ( A e. V -> ( 2nd ` A ) e. _V )

Proof of Theorem 2ndexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2774	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
2		fo2nd 6216	. . . 4 |- 2nd : _V -onto-> _V
3		fofn 5482	. . . 4 |- ( 2nd : _V -onto-> _V -> 2nd Fn _V )
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 |- 2nd Fn _V
5		funfvex 5575	. . . 4 |- ( ( Fun 2nd /\ A e. dom 2nd ) -> ( 2nd ` A ) e. _V )
6	5	funfni 5358	. . 3 |- ( ( 2nd Fn _V /\ A e. _V ) -> ( 2nd ` A ) e. _V )
7	4, 6	mpan 424	. 2 |- ( A e. _V -> ( 2nd ` A ) e. _V )
8	1, 7	syl 14	1 |- ( A e. V -> ( 2nd ` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   Fn wfn 5253   -onto->wfo 5256   ` cfv 5258   2ndc2nd 6197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fo 5264  df-fv 5266  df-2nd 6199

This theorem is referenced by:  elxp7  6228  xpopth  6234  eqop  6235  op1steq  6237  2nd1st  6238  2ndrn  6241  dfoprab3  6249  elopabi  6253  mpofvex  6263  dfmpo  6281  cnvf1olem  6282  cnvoprab  6292  f1od2  6293  xpmapenlem  6910  cc2lem  7333  cnref1o  9725  fsumcnv  11602  fprodcnv  11790  qredeu  12265  qdenval  12354  xpsff1o  12992  txbas  14494  txdis  14513