Theorem 2ndexg 6128

Description: Existence of the first member of a set. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
2ndexg	|- ( A e. V -> ( 2nd ` A ) e. _V )

Proof of Theorem 2ndexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2732	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
2		fo2nd 6118	. . . 4 |- 2nd : _V -onto-> _V
3		fofn 5406	. . . 4 |- ( 2nd : _V -onto-> _V -> 2nd Fn _V )
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 |- 2nd Fn _V
5		funfvex 5497	. . . 4 |- ( ( Fun 2nd /\ A e. dom 2nd ) -> ( 2nd ` A ) e. _V )
6	5	funfni 5282	. . 3 |- ( ( 2nd Fn _V /\ A e. _V ) -> ( 2nd ` A ) e. _V )
7	4, 6	mpan 421	. 2 |- ( A e. _V -> ( 2nd ` A ) e. _V )
8	1, 7	syl 14	1 |- ( A e. V -> ( 2nd ` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2135   _Vcvv 2721   Fn wfn 5177   -onto->wfo 5180   ` cfv 5182   2ndc2nd 6099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-sbc 2947  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-fo 5188  df-fv 5190  df-2nd 6101

This theorem is referenced by:  elxp7  6130  xpopth  6136  eqop  6137  op1steq  6139  2nd1st  6140  2ndrn  6143  dfoprab3  6151  elopabi  6155  mpofvex  6163  dfmpo  6182  cnvf1olem  6183  cnvoprab  6193  f1od2  6194  xpmapenlem  6806  cc2lem  7198  cnref1o  9579  fsumcnv  11364  fprodcnv  11552  qredeu  12008  qdenval  12095  txbas  12799  txdis  12818