Theorem evennn2n 11888

Description: A positive integer is even iff it is twice another positive integer. (Contributed by AV, 12-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
evennn2n	|- ( N e. NN -> ( 2 || N <-> E. n e. NN ( 2 x. n ) = N ) )

Distinct variable group:   n, N

Proof of Theorem evennn2n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2240	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. n ) = N -> ( ( 2 x. n ) e. NN <-> N e. NN ) )
2		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. n ) e. NN /\ n e. ZZ ) -> n e. ZZ )
3		2re 8989	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR
4	3	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. n ) e. NN /\ n e. ZZ ) -> 2 e. RR )
5		zre 9257	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> n e. RR )
6	5	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. n ) e. NN /\ n e. ZZ ) -> n e. RR )
7		0le2 9009	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 <_ 2
8	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. n ) e. NN /\ n e. ZZ ) -> 0 <_ 2 )
9		nngt0 8944	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 x. n ) e. NN -> 0 < ( 2 x. n ) )
10	9	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. n ) e. NN /\ n e. ZZ ) -> 0 < ( 2 x. n ) )
11		prodgt0 8809	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 e. RR /\ n e. RR ) /\ ( 0 <_ 2 /\ 0 < ( 2 x. n ) ) ) -> 0 < n )
12	4, 6, 8, 10, 11	syl22anc 1239	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. n ) e. NN /\ n e. ZZ ) -> 0 < n )
13		elnnz 9263	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN <-> ( n e. ZZ /\ 0 < n ) )
14	2, 12, 13	sylanbrc 417	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. n ) e. NN /\ n e. ZZ ) -> n e. NN )
15	14	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. n ) e. NN -> ( n e. ZZ -> n e. NN ) )
16	1, 15	syl6bir 164	. . . . . . 7 |- ( ( 2 x. n ) = N -> ( N e. NN -> ( n e. ZZ -> n e. NN ) ) )
17	16	com13 80	. . . . . 6 |- ( n e. ZZ -> ( N e. NN -> ( ( 2 x. n ) = N -> n e. NN ) ) )
18	17	impcom 125	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) -> ( ( 2 x. n ) = N -> n e. NN ) )
19	18	pm4.71rd 394	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) -> ( ( 2 x. n ) = N <-> ( n e. NN /\ ( 2 x. n ) = N ) ) )
20	19	bicomd 141	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) -> ( ( n e. NN /\ ( 2 x. n ) = N ) <-> ( 2 x. n ) = N ) )
21	20	rexbidva 2474	. 2 |- ( N e. NN -> ( E. n e. ZZ ( n e. NN /\ ( 2 x. n ) = N ) <-> E. n e. ZZ ( 2 x. n ) = N ) )
22		nnssz 9270	. . 3 |- NN C_ ZZ
23		rexss 3223	. . 3 |- ( NN C_ ZZ -> ( E. n e. NN ( 2 x. n ) = N <-> E. n e. ZZ ( n e. NN /\ ( 2 x. n ) = N ) ) )
24	22, 23	mp1i 10	. 2 |- ( N e. NN -> ( E. n e. NN ( 2 x. n ) = N <-> E. n e. ZZ ( n e. NN /\ ( 2 x. n ) = N ) ) )
25		even2n 11879	. . 3 |- ( 2 || N <-> E. n e. ZZ ( 2 x. n ) = N )
26	25	a1i 9	. 2 |- ( N e. NN -> ( 2 || N <-> E. n e. ZZ ( 2 x. n ) = N ) )
27	21, 24, 26	3bitr4rd 221	1 |- ( N e. NN -> ( 2 || N <-> E. n e. NN ( 2 x. n ) = N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456   C_ wss 3130   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875   RRcr 7810   0cc0 7811   x. cmul 7816   < clt 7992   <_ cle 7993   NNcn 8919   2c2 8970   ZZcz 9253   || cdvds 11794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-n0 9177  df-z 9254  df-dvds 11795

This theorem is referenced by: (None)