Theorem evennn2n 12443

Description: A positive integer is even iff it is twice another positive integer. (Contributed by AV, 12-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
evennn2n	|- ( N e. NN -> ( 2 || N <-> E. n e. NN ( 2 x. n ) = N ) )

Distinct variable group:   n, N

Proof of Theorem evennn2n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2294	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. n ) = N -> ( ( 2 x. n ) e. NN <-> N e. NN ) )
2		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. n ) e. NN /\ n e. ZZ ) -> n e. ZZ )
3		2re 9212	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR
4	3	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. n ) e. NN /\ n e. ZZ ) -> 2 e. RR )
5		zre 9482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> n e. RR )
6	5	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. n ) e. NN /\ n e. ZZ ) -> n e. RR )
7		0le2 9232	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 <_ 2
8	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. n ) e. NN /\ n e. ZZ ) -> 0 <_ 2 )
9		nngt0 9167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 x. n ) e. NN -> 0 < ( 2 x. n ) )
10	9	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. n ) e. NN /\ n e. ZZ ) -> 0 < ( 2 x. n ) )
11		prodgt0 9031	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 e. RR /\ n e. RR ) /\ ( 0 <_ 2 /\ 0 < ( 2 x. n ) ) ) -> 0 < n )
12	4, 6, 8, 10, 11	syl22anc 1274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. n ) e. NN /\ n e. ZZ ) -> 0 < n )
13		elnnz 9488	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN <-> ( n e. ZZ /\ 0 < n ) )
14	2, 12, 13	sylanbrc 417	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. n ) e. NN /\ n e. ZZ ) -> n e. NN )
15	14	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. n ) e. NN -> ( n e. ZZ -> n e. NN ) )
16	1, 15	biimtrrdi 164	. . . . . . 7 |- ( ( 2 x. n ) = N -> ( N e. NN -> ( n e. ZZ -> n e. NN ) ) )
17	16	com13 80	. . . . . 6 |- ( n e. ZZ -> ( N e. NN -> ( ( 2 x. n ) = N -> n e. NN ) ) )
18	17	impcom 125	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) -> ( ( 2 x. n ) = N -> n e. NN ) )
19	18	pm4.71rd 394	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) -> ( ( 2 x. n ) = N <-> ( n e. NN /\ ( 2 x. n ) = N ) ) )
20	19	bicomd 141	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) -> ( ( n e. NN /\ ( 2 x. n ) = N ) <-> ( 2 x. n ) = N ) )
21	20	rexbidva 2529	. 2 |- ( N e. NN -> ( E. n e. ZZ ( n e. NN /\ ( 2 x. n ) = N ) <-> E. n e. ZZ ( 2 x. n ) = N ) )
22		nnssz 9495	. . 3 |- NN C_ ZZ
23		rexss 3294	. . 3 |- ( NN C_ ZZ -> ( E. n e. NN ( 2 x. n ) = N <-> E. n e. ZZ ( n e. NN /\ ( 2 x. n ) = N ) ) )
24	22, 23	mp1i 10	. 2 |- ( N e. NN -> ( E. n e. NN ( 2 x. n ) = N <-> E. n e. ZZ ( n e. NN /\ ( 2 x. n ) = N ) ) )
25		even2n 12434	. . 3 |- ( 2 || N <-> E. n e. ZZ ( 2 x. n ) = N )
26	25	a1i 9	. 2 |- ( N e. NN -> ( 2 || N <-> E. n e. ZZ ( 2 x. n ) = N ) )
27	21, 24, 26	3bitr4rd 221	1 |- ( N e. NN -> ( 2 || N <-> E. n e. NN ( 2 x. n ) = N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   E.wrex 2511   C_ wss 3200   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017   RRcr 8030   0cc0 8031   x. cmul 8036   < clt 8213   <_ cle 8214   NNcn 9142   2c2 9193   ZZcz 9478   || cdvds 12347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-n0 9402  df-z 9479  df-dvds 12348

This theorem is referenced by: (None)