ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  evennn2n Unicode version

Theorem evennn2n 11476
Description: A positive integer is even iff it is twice another positive integer. (Contributed by AV, 12-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
evennn2n  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  ||  N  <->  E. n  e.  NN  ( 2  x.  n )  =  N ) )
Distinct variable group:    n, N

Proof of Theorem evennn2n
StepHypRef Expression
1 eleq1 2178 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  n )  =  N  ->  (
( 2  x.  n
)  e.  NN  <->  N  e.  NN ) )
2 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  ->  n  e.  ZZ )
3 2re 8747 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
43a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  ->  2  e.  RR )
5 zre 9009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  RR )
65adantl 273 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  ->  n  e.  RR )
7 0le2 8767 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  2
87a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  ->  0  <_  2 )
9 nngt0 8702 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  n )  e.  NN  ->  0  <  ( 2  x.  n
) )
109adantr 272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  ->  0  <  ( 2  x.  n ) )
11 prodgt0 8567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  n  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
2  /\  0  <  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <  n )
124, 6, 8, 10, 11syl22anc 1200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  ->  0  <  n )
13 elnnz 9015 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  <->  ( n  e.  ZZ  /\  0  < 
n ) )
142, 12, 13sylanbrc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  ->  n  e.  NN )
1514ex 114 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  n )  e.  NN  ->  (
n  e.  ZZ  ->  n  e.  NN ) )
161, 15syl6bir 163 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  n )  =  N  ->  ( N  e.  NN  ->  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  NN ) ) )
1716com13 80 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ZZ  ->  ( N  e.  NN  ->  ( ( 2  x.  n
)  =  N  ->  n  e.  NN )
) )
1817impcom 124 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  n )  =  N  ->  n  e.  NN ) )
1918pm4.71rd 389 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  n )  =  N  <-> 
( n  e.  NN  /\  ( 2  x.  n
)  =  N ) ) )
2019bicomd 140 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( n  e.  NN  /\  ( 2  x.  n )  =  N )  <->  ( 2  x.  n )  =  N ) )
2120rexbidva 2409 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( n  e.  NN  /\  ( 2  x.  n
)  =  N )  <->  E. n  e.  ZZ  ( 2  x.  n
)  =  N ) )
22 nnssz 9022 . . 3  |-  NN  C_  ZZ
23 rexss 3132 . . 3  |-  ( NN  C_  ZZ  ->  ( E. n  e.  NN  (
2  x.  n )  =  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( n  e.  NN  /\  ( 2  x.  n )  =  N ) ) )
2422, 23mp1i 10 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( E. n  e.  NN  ( 2  x.  n
)  =  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( n  e.  NN  /\  ( 2  x.  n )  =  N ) ) )
25 even2n 11467 . . 3  |-  ( 2 
||  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( 2  x.  n )  =  N )
2625a1i 9 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( 2  x.  n )  =  N ) )
2721, 24, 263bitr4rd 220 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  ||  N  <->  E. n  e.  NN  ( 2  x.  n )  =  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1314    e. wcel 1463   E.wrex 2392    C_ wss 3039   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740   RRcr 7583   0cc0 7584    x. cmul 7589    < clt 7764    <_ cle 7765   NNcn 8677   2c2 8728   ZZcz 9005    || cdvds 11389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-n0 8929  df-z 9006  df-dvds 11390
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator