Theorem evennn2n 12594

Description: A positive integer is even iff it is twice another positive integer. (Contributed by AV, 12-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
evennn2n	|- ( N e. NN -> ( 2 || N <-> E. n e. NN ( 2 x. n ) = N ) )

Distinct variable group:   n, N

Proof of Theorem evennn2n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2297	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. n ) = N -> ( ( 2 x. n ) e. NN <-> N e. NN ) )
2		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. n ) e. NN /\ n e. ZZ ) -> n e. ZZ )
3		2re 9324	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR
4	3	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. n ) e. NN /\ n e. ZZ ) -> 2 e. RR )
5		zre 9598	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> n e. RR )
6	5	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. n ) e. NN /\ n e. ZZ ) -> n e. RR )
7		0le2 9344	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 <_ 2
8	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. n ) e. NN /\ n e. ZZ ) -> 0 <_ 2 )
9		nngt0 9279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 x. n ) e. NN -> 0 < ( 2 x. n ) )
10	9	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. n ) e. NN /\ n e. ZZ ) -> 0 < ( 2 x. n ) )
11		prodgt0 9143	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 e. RR /\ n e. RR ) /\ ( 0 <_ 2 /\ 0 < ( 2 x. n ) ) ) -> 0 < n )
12	4, 6, 8, 10, 11	syl22anc 1275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. n ) e. NN /\ n e. ZZ ) -> 0 < n )
13		elnnz 9604	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN <-> ( n e. ZZ /\ 0 < n ) )
14	2, 12, 13	sylanbrc 417	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. n ) e. NN /\ n e. ZZ ) -> n e. NN )
15	14	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. n ) e. NN -> ( n e. ZZ -> n e. NN ) )
16	1, 15	biimtrrdi 164	. . . . . . 7 |- ( ( 2 x. n ) = N -> ( N e. NN -> ( n e. ZZ -> n e. NN ) ) )
17	16	com13 80	. . . . . 6 |- ( n e. ZZ -> ( N e. NN -> ( ( 2 x. n ) = N -> n e. NN ) ) )
18	17	impcom 125	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) -> ( ( 2 x. n ) = N -> n e. NN ) )
19	18	pm4.71rd 394	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) -> ( ( 2 x. n ) = N <-> ( n e. NN /\ ( 2 x. n ) = N ) ) )
20	19	bicomd 141	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) -> ( ( n e. NN /\ ( 2 x. n ) = N ) <-> ( 2 x. n ) = N ) )
21	20	rexbidva 2541	. 2 |- ( N e. NN -> ( E. n e. ZZ ( n e. NN /\ ( 2 x. n ) = N ) <-> E. n e. ZZ ( 2 x. n ) = N ) )
22		nnssz 9611	. . 3 |- NN C_ ZZ
23		rexss 3309	. . 3 |- ( NN C_ ZZ -> ( E. n e. NN ( 2 x. n ) = N <-> E. n e. ZZ ( n e. NN /\ ( 2 x. n ) = N ) ) )
24	22, 23	mp1i 10	. 2 |- ( N e. NN -> ( E. n e. NN ( 2 x. n ) = N <-> E. n e. ZZ ( n e. NN /\ ( 2 x. n ) = N ) ) )
25		even2n 12585	. . 3 |- ( 2 || N <-> E. n e. ZZ ( 2 x. n ) = N )
26	25	a1i 9	. 2 |- ( N e. NN -> ( 2 || N <-> E. n e. ZZ ( 2 x. n ) = N ) )
27	21, 24, 26	3bitr4rd 221	1 |- ( N e. NN -> ( 2 || N <-> E. n e. NN ( 2 x. n ) = N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   E.wrex 2523   C_ wss 3214   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058   RRcr 8142   0cc0 8143   x. cmul 8148   < clt 8324   <_ cle 8325   NNcn 9254   2c2 9305   ZZcz 9594   || cdvds 12498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-n0 9514  df-z 9595  df-dvds 12499

This theorem is referenced by: (None)