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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > apexp1 | Unicode version |
Description: Exponentiation and apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jul-2024.) |
Ref | Expression |
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apexp1 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | oveq2 5822 |
. . . . . . 7
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2 | oveq2 5822 |
. . . . . . 7
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3 | 1, 2 | breq12d 3974 |
. . . . . 6
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4 | 3 | imbi1d 230 |
. . . . 5
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5 | 4 | imbi2d 229 |
. . . 4
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6 | oveq2 5822 |
. . . . . . 7
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7 | oveq2 5822 |
. . . . . . 7
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8 | 6, 7 | breq12d 3974 |
. . . . . 6
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9 | 8 | imbi1d 230 |
. . . . 5
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10 | 9 | imbi2d 229 |
. . . 4
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11 | oveq2 5822 |
. . . . . . 7
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12 | oveq2 5822 |
. . . . . . 7
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13 | 11, 12 | breq12d 3974 |
. . . . . 6
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14 | 13 | imbi1d 230 |
. . . . 5
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15 | 14 | imbi2d 229 |
. . . 4
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16 | oveq2 5822 |
. . . . . . 7
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17 | oveq2 5822 |
. . . . . . 7
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18 | 16, 17 | breq12d 3974 |
. . . . . 6
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19 | 18 | imbi1d 230 |
. . . . 5
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20 | 19 | imbi2d 229 |
. . . 4
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21 | simpl 108 |
. . . . . . 7
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22 | 21 | exp1d 10523 |
. . . . . 6
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23 | simpr 109 |
. . . . . . 7
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24 | 23 | exp1d 10523 |
. . . . . 6
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25 | 22, 24 | breq12d 3974 |
. . . . 5
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26 | 25 | biimpd 143 |
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27 | simpr 109 |
. . . . . . . 8
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28 | simpllr 524 |
. . . . . . . 8
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29 | 27, 28 | mpd 13 |
. . . . . . 7
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30 | simpr 109 |
. . . . . . 7
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31 | simpr 109 |
. . . . . . . . 9
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32 | 21 | ad3antlr 485 |
. . . . . . . . . 10
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33 | nnnn0 9076 |
. . . . . . . . . . 11
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34 | 33 | ad3antrrr 484 |
. . . . . . . . . 10
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35 | 32, 34 | expp1d 10529 |
. . . . . . . . 9
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36 | 23 | ad3antlr 485 |
. . . . . . . . . 10
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37 | 36, 34 | expp1d 10529 |
. . . . . . . . 9
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38 | 31, 35, 37 | 3brtr3d 3991 |
. . . . . . . 8
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39 | 32, 34 | expcld 10528 |
. . . . . . . . 9
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40 | 36, 34 | expcld 10528 |
. . . . . . . . 9
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41 | mulext 8468 |
. . . . . . . . 9
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42 | 39, 32, 40, 36, 41 | syl22anc 1218 |
. . . . . . . 8
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43 | 38, 42 | mpd 13 |
. . . . . . 7
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44 | 29, 30, 43 | mpjaodan 788 |
. . . . . 6
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45 | 44 | exp41 368 |
. . . . 5
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46 | 45 | a2d 26 |
. . . 4
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47 | 5, 10, 15, 20, 26, 46 | nnind 8828 |
. . 3
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48 | 47 | impcom 124 |
. 2
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49 | 48 | 3impa 1177 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1481 ax-10 1482 ax-11 1483 ax-i12 1484 ax-bndl 1486 ax-4 1487 ax-17 1503 ax-i9 1507 ax-ial 1511 ax-i5r 1512 ax-13 2127 ax-14 2128 ax-ext 2136 ax-coll 4075 ax-sep 4078 ax-nul 4086 ax-pow 4130 ax-pr 4164 ax-un 4388 ax-setind 4490 ax-iinf 4541 ax-cnex 7802 ax-resscn 7803 ax-1cn 7804 ax-1re 7805 ax-icn 7806 ax-addcl 7807 ax-addrcl 7808 ax-mulcl 7809 ax-mulrcl 7810 ax-addcom 7811 ax-mulcom 7812 ax-addass 7813 ax-mulass 7814 ax-distr 7815 ax-i2m1 7816 ax-0lt1 7817 ax-1rid 7818 ax-0id 7819 ax-rnegex 7820 ax-precex 7821 ax-cnre 7822 ax-pre-ltirr 7823 ax-pre-ltwlin 7824 ax-pre-lttrn 7825 ax-pre-apti 7826 ax-pre-ltadd 7827 ax-pre-mulgt0 7828 ax-pre-mulext 7829 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1740 df-eu 2006 df-mo 2007 df-clab 2141 df-cleq 2147 df-clel 2150 df-nfc 2285 df-ne 2325 df-nel 2420 df-ral 2437 df-rex 2438 df-reu 2439 df-rmo 2440 df-rab 2441 df-v 2711 df-sbc 2934 df-csb 3028 df-dif 3100 df-un 3102 df-in 3104 df-ss 3111 df-nul 3391 df-if 3502 df-pw 3541 df-sn 3562 df-pr 3563 df-op 3565 df-uni 3769 df-int 3804 df-iun 3847 df-br 3962 df-opab 4022 df-mpt 4023 df-tr 4059 df-id 4248 df-po 4251 df-iso 4252 df-iord 4321 df-on 4323 df-ilim 4324 df-suc 4326 df-iom 4544 df-xp 4585 df-rel 4586 df-cnv 4587 df-co 4588 df-dm 4589 df-rn 4590 df-res 4591 df-ima 4592 df-iota 5128 df-fun 5165 df-fn 5166 df-f 5167 df-f1 5168 df-fo 5169 df-f1o 5170 df-fv 5171 df-riota 5770 df-ov 5817 df-oprab 5818 df-mpo 5819 df-1st 6078 df-2nd 6079 df-recs 6242 df-frec 6328 df-pnf 7893 df-mnf 7894 df-xr 7895 df-ltxr 7896 df-le 7897 df-sub 8027 df-neg 8028 df-reap 8429 df-ap 8436 df-div 8525 df-inn 8813 df-n0 9070 df-z 9147 df-uz 9419 df-seqfrec 10323 df-exp 10397 |
This theorem is referenced by: logbgcd1irraplemap 13225 |
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