Theorem 3brtr3d 4120

Description: Substitution of equality into both sides of a binary relation. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
3brtr3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
3brtr3d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
3brtr3d.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
3brtr3d	⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Proof of Theorem 3brtr3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3brtr3d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
2		3brtr3d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
3		3brtr3d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)
4	2, 3	breq12d 4102	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐶𝑅𝐷))
5	1, 4	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   class class class wbr 4089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1810  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-v 2803  df-un 3203  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-br 4090

This theorem is referenced by:  ofrval  6251  phplem2  7044  ltaddnq  7632  prarloclemarch2  7644  prmuloclemcalc  7790  axcaucvglemcau  8123  apreap  8772  ltmul1  8777  divap1d  8986  div2subap  9022  lemul2a  9044  mul2lt0rlt0  9999  xleadd2a  10114  monoord2  10754  expubnd  10864  bernneq2  10929  nn0ltexp2  10977  apexp1  10986  resqrexlemcalc2  11598  resqrexlemcalc3  11599  abs2dif2  11690  bdtrilem  11822  bdtri  11823  xrmaxaddlem  11843  fsum00  12046  iserabs  12059  geosergap  12090  mertenslemi1  12119  eftlub  12274  eirraplem  12361  bitscmp  12542  unitmulcl  14151  unitgrp  14154  xblss2  15158  xmstri2  15223  mstri2  15224  xmstri  15225  mstri  15226  xmstri3  15227  mstri3  15228  msrtri  15229  logdivlti  15634  perfectlem2  15753  2sqlem8  15881  apdifflemr  16718