ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  3brtr3d GIF version

Theorem 3brtr3d 3959
Description: Substitution of equality into both sides of a binary relation. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
3brtr3d.1 (𝜑𝐴𝑅𝐵)
3brtr3d.2 (𝜑𝐴 = 𝐶)
3brtr3d.3 (𝜑𝐵 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
3brtr3d (𝜑𝐶𝑅𝐷)

Proof of Theorem 3brtr3d
StepHypRef Expression
1 3brtr3d.1 . 2 (𝜑𝐴𝑅𝐵)
2 3brtr3d.2 . . 3 (𝜑𝐴 = 𝐶)
3 3brtr3d.3 . . 3 (𝜑𝐵 = 𝐷)
42, 3breq12d 3942 . 2 (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵𝐶𝑅𝐷))
51, 4mpbid 146 1 (𝜑𝐶𝑅𝐷)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1331   class class class wbr 3929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-un 3075  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930
This theorem is referenced by:  ofrval  5992  phplem2  6747  ltaddnq  7222  prarloclemarch2  7234  prmuloclemcalc  7380  axcaucvglemcau  7713  apreap  8356  ltmul1  8361  subap0d  8413  divap1d  8568  div2subap  8603  lemul2a  8624  mul2lt0rlt0  9553  xleadd2a  9664  monoord2  10257  expubnd  10357  bernneq2  10420  resqrexlemcalc2  10794  resqrexlemcalc3  10795  abs2dif2  10886  bdtrilem  11017  bdtri  11018  xrmaxaddlem  11036  fsum00  11238  iserabs  11251  geosergap  11282  mertenslemi1  11311  eftlub  11403  eirraplem  11490  xblss2  12584  xmstri2  12649  mstri2  12650  xmstri  12651  mstri  12652  xmstri3  12653  mstri3  12654  msrtri  12655
  Copyright terms: Public domain W3C validator