Theorem 3brtr3d 4145

Description: Substitution of equality into both sides of a binary relation. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
3brtr3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
3brtr3d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
3brtr3d.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
3brtr3d	⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Proof of Theorem 3brtr3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3brtr3d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
2		3brtr3d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
3		3brtr3d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)
4	2, 3	breq12d 4127	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐶𝑅𝐷))
5	1, 4	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   class class class wbr 4114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-un 3218  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-br 4115

This theorem is referenced by:  ofrval  6286  phplem2  7120  ltaddnq  7738  prarloclemarch2  7750  prmuloclemcalc  7896  axcaucvglemcau  8229  apreap  8878  ltmul1  8883  divap1d  9092  div2subap  9128  lemul2a  9150  mul2lt0rlt0  10110  xleadd2a  10226  monoord2  10872  expubnd  10982  bernneq2  11048  nn0ltexp2  11096  apexp1  11105  resqrexlemcalc2  11725  resqrexlemcalc3  11726  abs2dif2  11817  bdtrilem  11949  bdtri  11950  xrmaxaddlem  11970  fsum00  12173  iserabs  12186  geosergap  12217  mertenslemi1  12246  eftlub  12401  eirraplem  12488  bitscmp  12669  unitmulcl  14343  unitgrp  14346  xblss2  15382  xmstri2  15447  mstri2  15448  xmstri  15449  mstri  15450  xmstri3  15451  mstri3  15452  msrtri  15453  logdivlti  15858  perfectlem2  15980  2sqlem8  16108  apdifflemr  16943