Theorem 3brtr3d 4159

Description: Substitution of equality into both sides of a binary relation. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
3brtr3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
3brtr3d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
3brtr3d.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
3brtr3d	⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Proof of Theorem 3brtr3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3brtr3d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
2		3brtr3d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
3		3brtr3d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)
4	2, 3	breq12d 4141	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐶𝑅𝐷))
5	1, 4	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   class class class wbr 4128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-br 4129

This theorem is referenced by:  ofrval  6307  phplem2  7148  ltaddnq  7768  prarloclemarch2  7780  prmuloclemcalc  7926  axcaucvglemcau  8259  apreap  8909  ltmul1  8914  divap1d  9125  div2subap  9161  lemul2a  9183  mul2lt0rlt0  10143  xleadd2a  10259  monoord2  10906  expubnd  11016  bernneq2  11082  nn0ltexp2  11130  apexp1  11139  resqrexlemcalc2  11764  resqrexlemcalc3  11765  abs2dif2  11856  bdtrilem  11988  bdtri  11989  xrmaxaddlem  12009  fsum00  12212  iserabs  12225  geosergap  12256  mertenslemi1  12285  eftlub  12440  eirraplem  12527  bitscmp  12708  unitmulcl  14403  unitgrp  14406  xblss2  15489  xmstri2  15554  mstri2  15555  xmstri  15556  mstri  15557  xmstri3  15558  mstri3  15559  msrtri  15560  logdivlti  15965  perfectlem2  16097  2sqlem8  16225  apdifflemr  17070