Theorem 3brtr3d 4139

Description: Substitution of equality into both sides of a binary relation. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
3brtr3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
3brtr3d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
3brtr3d.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
3brtr3d	⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Proof of Theorem 3brtr3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3brtr3d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
2		3brtr3d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
3		3brtr3d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)
4	2, 3	breq12d 4121	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐶𝑅𝐷))
5	1, 4	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   class class class wbr 4108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2814  df-un 3214  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-br 4109

This theorem is referenced by:  ofrval  6276  phplem2  7106  ltaddnq  7721  prarloclemarch2  7733  prmuloclemcalc  7879  axcaucvglemcau  8212  apreap  8860  ltmul1  8865  divap1d  9074  div2subap  9110  lemul2a  9132  mul2lt0rlt0  10091  xleadd2a  10206  monoord2  10847  expubnd  10957  bernneq2  11022  nn0ltexp2  11070  apexp1  11079  resqrexlemcalc2  11696  resqrexlemcalc3  11697  abs2dif2  11788  bdtrilem  11920  bdtri  11921  xrmaxaddlem  11941  fsum00  12144  iserabs  12157  geosergap  12188  mertenslemi1  12217  eftlub  12372  eirraplem  12459  bitscmp  12640  unitmulcl  14250  unitgrp  14253  xblss2  15262  xmstri2  15327  mstri2  15328  xmstri  15329  mstri  15330  xmstri3  15331  mstri3  15332  msrtri  15333  logdivlti  15738  perfectlem2  15860  2sqlem8  15988  apdifflemr  16823