Theorem 3brtr3d 4162

Description: Substitution of equality into both sides of a binary relation. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
3brtr3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
3brtr3d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
3brtr3d.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
3brtr3d	⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Proof of Theorem 3brtr3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3brtr3d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
2		3brtr3d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
3		3brtr3d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)
4	2, 3	breq12d 4144	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐶𝑅𝐷))
5	1, 4	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   class class class wbr 4131

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132

This theorem is used by:  ofrval  6317  phplem2  7159  ltaddnq  7781  prarloclemarch2  7793  prmuloclemcalc  7939  axcaucvglemcau  8272  apreap  8924  ltmul1  8929  divap1d  9140  div2subap  9176  lemul2a  9198  mul2lt0rlt0  10178  xleadd2a  10294  monoord2  10945  expubnd  11055  bernneq2  11121  nn0ltexp2  11170  apexp1  11179  resqrexlemcalc2  11804  resqrexlemcalc3  11805  abs2dif2  11897  bdtrilem  12031  bdtri  12032  xrmaxaddlem  12052  fsum00  12255  iserabs  12268  geosergap  12299  mertenslemi1  12328  eftlub  12483  eirraplem  12570  bitscmp  12751  unitmulcl  14530  unitgrp  14533  xblss2  15643  xmstri2  15708  mstri2  15709  xmstri  15710  mstri  15711  xmstri3  15712  mstri3  15713  msrtri  15714  logdivlti  16123  ppiqp1le  16279  ppiqeq0  16292  chtublem  16307  chtqub  16308  perfectlem2  16312  bposlem9  16331  2sqlem8  16459  apdifflemr  17315