Theorem 3brtr3d 3967

Description: Substitution of equality into both sides of a binary relation. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
3brtr3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
3brtr3d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
3brtr3d.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
3brtr3d	⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Proof of Theorem 3brtr3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3brtr3d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
2		3brtr3d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
3		3brtr3d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)
4	2, 3	breq12d 3950	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐶𝑅𝐷))
5	1, 4	mpbid 146	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1332   class class class wbr 3937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691  df-un 3080  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938

This theorem is referenced by:  ofrval  6000  phplem2  6755  ltaddnq  7239  prarloclemarch2  7251  prmuloclemcalc  7397  axcaucvglemcau  7730  apreap  8373  ltmul1  8378  subap0d  8430  divap1d  8585  div2subap  8620  lemul2a  8641  mul2lt0rlt0  9576  xleadd2a  9687  monoord2  10281  expubnd  10381  bernneq2  10444  apexp1  10496  resqrexlemcalc2  10819  resqrexlemcalc3  10820  abs2dif2  10911  bdtrilem  11042  bdtri  11043  xrmaxaddlem  11061  fsum00  11263  iserabs  11276  geosergap  11307  mertenslemi1  11336  eftlub  11433  eirraplem  11519  xblss2  12613  xmstri2  12678  mstri2  12679  xmstri  12680  mstri  12681  xmstri3  12682  mstri3  12683  msrtri  12684  logdivlti  13010  apdifflemr  13415