Theorem 3brtr3d 4119

Description: Substitution of equality into both sides of a binary relation. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
3brtr3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
3brtr3d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
3brtr3d.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
3brtr3d	⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Proof of Theorem 3brtr3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3brtr3d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
2		3brtr3d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
3		3brtr3d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)
4	2, 3	breq12d 4101	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐶𝑅𝐷))
5	1, 4	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   class class class wbr 4088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-un 3204  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089

This theorem is referenced by:  ofrval  6246  phplem2  7039  ltaddnq  7627  prarloclemarch2  7639  prmuloclemcalc  7785  axcaucvglemcau  8118  apreap  8767  ltmul1  8772  divap1d  8981  div2subap  9017  lemul2a  9039  mul2lt0rlt0  9994  xleadd2a  10109  monoord2  10749  expubnd  10859  bernneq2  10924  nn0ltexp2  10972  apexp1  10981  resqrexlemcalc2  11580  resqrexlemcalc3  11581  abs2dif2  11672  bdtrilem  11804  bdtri  11805  xrmaxaddlem  11825  fsum00  12028  iserabs  12041  geosergap  12072  mertenslemi1  12101  eftlub  12256  eirraplem  12343  bitscmp  12524  unitmulcl  14133  unitgrp  14136  xblss2  15135  xmstri2  15200  mstri2  15201  xmstri  15202  mstri  15203  xmstri3  15204  mstri3  15205  msrtri  15206  logdivlti  15611  perfectlem2  15730  2sqlem8  15858  apdifflemr  16677