Theorem 3brtr3d 4162

Description: Substitution of equality into both sides of a binary relation. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
3brtr3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
3brtr3d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
3brtr3d.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
3brtr3d	⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Proof of Theorem 3brtr3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3brtr3d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
2		3brtr3d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
3		3brtr3d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)
4	2, 3	breq12d 4144	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐶𝑅𝐷))
5	1, 4	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   class class class wbr 4131

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132

This theorem is used by:  ofrval  6317  phplem2  7160  ltaddnq  7781  prarloclemarch2  7793  prmuloclemcalc  7939  axcaucvglemcau  8272  apreap  8924  ltmul1  8929  divap1d  9140  div2subap  9176  lemul2a  9198  mul2lt0rlt0  10177  xleadd2a  10293  monoord2  10944  expubnd  11054  bernneq2  11120  nn0ltexp2  11169  apexp1  11178  resqrexlemcalc2  11803  resqrexlemcalc3  11804  abs2dif2  11896  bdtrilem  12030  bdtri  12031  xrmaxaddlem  12051  fsum00  12254  iserabs  12267  geosergap  12298  mertenslemi1  12327  eftlub  12482  eirraplem  12569  bitscmp  12750  unitmulcl  14529  unitgrp  14532  xblss2  15664  xmstri2  15729  mstri2  15730  xmstri  15731  mstri  15732  xmstri3  15733  mstri3  15734  msrtri  15735  logdivlti  16144  ppiqp1le  16300  ppiqeq0  16313  chtublem  16328  chtqub  16329  perfectlem2  16333  bposlem9  16352  2sqlem8  16480  apdifflemr  17336