Theorem 3brtr3d 4065

Description: Substitution of equality into both sides of a binary relation. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
3brtr3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
3brtr3d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
3brtr3d.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
3brtr3d	⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Proof of Theorem 3brtr3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3brtr3d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
2		3brtr3d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
3		3brtr3d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)
4	2, 3	breq12d 4047	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐶𝑅𝐷))
5	1, 4	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   class class class wbr 4034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035

This theorem is referenced by:  ofrval  6150  phplem2  6923  ltaddnq  7493  prarloclemarch2  7505  prmuloclemcalc  7651  axcaucvglemcau  7984  apreap  8633  ltmul1  8638  divap1d  8847  div2subap  8883  lemul2a  8905  mul2lt0rlt0  9853  xleadd2a  9968  monoord2  10597  expubnd  10707  bernneq2  10772  nn0ltexp2  10820  apexp1  10829  resqrexlemcalc2  11199  resqrexlemcalc3  11200  abs2dif2  11291  bdtrilem  11423  bdtri  11424  xrmaxaddlem  11444  fsum00  11646  iserabs  11659  geosergap  11690  mertenslemi1  11719  eftlub  11874  eirraplem  11961  bitscmp  12142  unitmulcl  13747  unitgrp  13750  xblss2  14749  xmstri2  14814  mstri2  14815  xmstri  14816  mstri  14817  xmstri3  14818  mstri3  14819  msrtri  14820  logdivlti  15225  perfectlem2  15344  2sqlem8  15472  apdifflemr  15804