Theorem 3brtr3d 4113

Description: Substitution of equality into both sides of a binary relation. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
3brtr3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
3brtr3d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
3brtr3d.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
3brtr3d	⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Proof of Theorem 3brtr3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3brtr3d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
2		3brtr3d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
3		3brtr3d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)
4	2, 3	breq12d 4095	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐶𝑅𝐷))
5	1, 4	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   class class class wbr 4082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-un 3201  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4083

This theorem is referenced by:  ofrval  6219  phplem2  7002  ltaddnq  7582  prarloclemarch2  7594  prmuloclemcalc  7740  axcaucvglemcau  8073  apreap  8722  ltmul1  8727  divap1d  8936  div2subap  8972  lemul2a  8994  mul2lt0rlt0  9943  xleadd2a  10058  monoord2  10695  expubnd  10805  bernneq2  10870  nn0ltexp2  10918  apexp1  10927  resqrexlemcalc2  11512  resqrexlemcalc3  11513  abs2dif2  11604  bdtrilem  11736  bdtri  11737  xrmaxaddlem  11757  fsum00  11959  iserabs  11972  geosergap  12003  mertenslemi1  12032  eftlub  12187  eirraplem  12274  bitscmp  12455  unitmulcl  14062  unitgrp  14065  xblss2  15064  xmstri2  15129  mstri2  15130  xmstri  15131  mstri  15132  xmstri3  15133  mstri3  15134  msrtri  15135  logdivlti  15540  perfectlem2  15659  2sqlem8  15787  apdifflemr  16346