Theorem 3brtr3d 4161

Description: Substitution of equality into both sides of a binary relation. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
3brtr3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
3brtr3d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
3brtr3d.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
3brtr3d	⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Proof of Theorem 3brtr3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3brtr3d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
2		3brtr3d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
3		3brtr3d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)
4	2, 3	breq12d 4143	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐶𝑅𝐷))
5	1, 4	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   class class class wbr 4130

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131

This theorem is used by:  ofrval  6313  phplem2  7154  ltaddnq  7775  prarloclemarch2  7787  prmuloclemcalc  7933  axcaucvglemcau  8266  apreap  8918  ltmul1  8923  divap1d  9134  div2subap  9170  lemul2a  9192  mul2lt0rlt0  10171  xleadd2a  10287  monoord2  10937  expubnd  11047  bernneq2  11113  nn0ltexp2  11162  apexp1  11171  resqrexlemcalc2  11796  resqrexlemcalc3  11797  abs2dif2  11889  bdtrilem  12023  bdtri  12024  xrmaxaddlem  12044  fsum00  12247  iserabs  12260  geosergap  12291  mertenslemi1  12320  eftlub  12475  eirraplem  12562  bitscmp  12743  unitmulcl  14471  unitgrp  14474  xblss2  15558  xmstri2  15623  mstri2  15624  xmstri  15625  mstri  15626  xmstri3  15627  mstri3  15628  msrtri  15629  logdivlti  16036  ppiqp1le  16189  ppiqeq0  16202  chtublem  16217  chtqub  16218  perfectlem2  16222  2sqlem8  16364  apdifflemr  17218