Theorem 3brtr3d 4145

Description: Substitution of equality into both sides of a binary relation. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
3brtr3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
3brtr3d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
3brtr3d.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
3brtr3d	⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Proof of Theorem 3brtr3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3brtr3d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
2		3brtr3d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
3		3brtr3d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)
4	2, 3	breq12d 4127	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐶𝑅𝐷))
5	1, 4	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   class class class wbr 4114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-un 3218  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-br 4115

This theorem is referenced by:  ofrval  6286  phplem2  7120  ltaddnq  7738  prarloclemarch2  7750  prmuloclemcalc  7896  axcaucvglemcau  8229  apreap  8879  ltmul1  8884  divap1d  9095  div2subap  9131  lemul2a  9153  mul2lt0rlt0  10113  xleadd2a  10229  monoord2  10875  expubnd  10985  bernneq2  11051  nn0ltexp2  11099  apexp1  11108  resqrexlemcalc2  11729  resqrexlemcalc3  11730  abs2dif2  11821  bdtrilem  11953  bdtri  11954  xrmaxaddlem  11974  fsum00  12177  iserabs  12190  geosergap  12221  mertenslemi1  12250  eftlub  12405  eirraplem  12492  bitscmp  12673  unitmulcl  14362  unitgrp  14365  xblss2  15400  xmstri2  15465  mstri2  15466  xmstri  15467  mstri  15468  xmstri3  15469  mstri3  15470  msrtri  15471  logdivlti  15876  perfectlem2  15998  2sqlem8  16126  apdifflemr  16971