Theorem 3brtr3d 4124

Description: Substitution of equality into both sides of a binary relation. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
3brtr3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
3brtr3d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
3brtr3d.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
3brtr3d	⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Proof of Theorem 3brtr3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3brtr3d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
2		3brtr3d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
3		3brtr3d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)
4	2, 3	breq12d 4106	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐶𝑅𝐷))
5	1, 4	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   class class class wbr 4093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-un 3205  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094

This theorem is referenced by:  ofrval  6255  phplem2  7082  ltaddnq  7670  prarloclemarch2  7682  prmuloclemcalc  7828  axcaucvglemcau  8161  apreap  8810  ltmul1  8815  divap1d  9024  div2subap  9060  lemul2a  9082  mul2lt0rlt0  10037  xleadd2a  10152  monoord2  10792  expubnd  10902  bernneq2  10967  nn0ltexp2  11015  apexp1  11024  resqrexlemcalc2  11636  resqrexlemcalc3  11637  abs2dif2  11728  bdtrilem  11860  bdtri  11861  xrmaxaddlem  11881  fsum00  12084  iserabs  12097  geosergap  12128  mertenslemi1  12157  eftlub  12312  eirraplem  12399  bitscmp  12580  unitmulcl  14189  unitgrp  14192  xblss2  15196  xmstri2  15261  mstri2  15262  xmstri  15263  mstri  15264  xmstri3  15265  mstri3  15266  msrtri  15267  logdivlti  15672  perfectlem2  15794  2sqlem8  15922  apdifflemr  16759