Theorem 3brtr3d 4161

Description: Substitution of equality into both sides of a binary relation. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
3brtr3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
3brtr3d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
3brtr3d.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
3brtr3d	⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Proof of Theorem 3brtr3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3brtr3d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
2		3brtr3d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
3		3brtr3d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)
4	2, 3	breq12d 4143	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐶𝑅𝐷))
5	1, 4	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   class class class wbr 4130

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131

This theorem is used by:  ofrval  6313  phplem2  7154  ltaddnq  7774  prarloclemarch2  7786  prmuloclemcalc  7932  axcaucvglemcau  8265  apreap  8916  ltmul1  8921  divap1d  9132  div2subap  9168  lemul2a  9190  mul2lt0rlt0  10162  xleadd2a  10278  monoord2  10925  expubnd  11035  bernneq2  11101  nn0ltexp2  11149  apexp1  11158  resqrexlemcalc2  11783  resqrexlemcalc3  11784  abs2dif2  11875  bdtrilem  12007  bdtri  12008  xrmaxaddlem  12028  fsum00  12231  iserabs  12244  geosergap  12275  mertenslemi1  12304  eftlub  12459  eirraplem  12546  bitscmp  12727  unitmulcl  14422  unitgrp  14425  xblss2  15508  xmstri2  15573  mstri2  15574  xmstri  15575  mstri  15576  xmstri3  15577  mstri3  15578  msrtri  15579  logdivlti  15986  perfectlem2  16120  2sqlem8  16254  apdifflemr  17108