Theorem 3brtr3d 4065

Description: Substitution of equality into both sides of a binary relation. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
3brtr3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
3brtr3d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
3brtr3d.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
3brtr3d	⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Proof of Theorem 3brtr3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3brtr3d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
2		3brtr3d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
3		3brtr3d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)
4	2, 3	breq12d 4047	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐶𝑅𝐷))
5	1, 4	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   class class class wbr 4034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035

This theorem is referenced by:  ofrval  6150  phplem2  6923  ltaddnq  7491  prarloclemarch2  7503  prmuloclemcalc  7649  axcaucvglemcau  7982  apreap  8631  ltmul1  8636  divap1d  8845  div2subap  8881  lemul2a  8903  mul2lt0rlt0  9851  xleadd2a  9966  monoord2  10595  expubnd  10705  bernneq2  10770  nn0ltexp2  10818  apexp1  10827  resqrexlemcalc2  11197  resqrexlemcalc3  11198  abs2dif2  11289  bdtrilem  11421  bdtri  11422  xrmaxaddlem  11442  fsum00  11644  iserabs  11657  geosergap  11688  mertenslemi1  11717  eftlub  11872  eirraplem  11959  bitscmp  12140  unitmulcl  13745  unitgrp  13748  xblss2  14725  xmstri2  14790  mstri2  14791  xmstri  14792  mstri  14793  xmstri3  14794  mstri3  14795  msrtri  14796  logdivlti  15201  perfectlem2  15320  2sqlem8  15448  apdifflemr  15778