Theorem 3brtr3d 3959

Description: Substitution of equality into both sides of a binary relation. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
3brtr3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
3brtr3d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
3brtr3d.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
3brtr3d	⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Proof of Theorem 3brtr3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3brtr3d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
2		3brtr3d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
3		3brtr3d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐷)
4	2, 3	breq12d 3942	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐶𝑅𝐷))
5	1, 4	mpbid 146	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   class class class wbr 3929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-un 3075  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930

This theorem is referenced by:  ofrval  5992  phplem2  6747  ltaddnq  7215  prarloclemarch2  7227  prmuloclemcalc  7373  axcaucvglemcau  7706  apreap  8349  ltmul1  8354  subap0d  8406  divap1d  8561  div2subap  8596  lemul2a  8617  mul2lt0rlt0  9546  xleadd2a  9657  monoord2  10250  expubnd  10350  bernneq2  10413  resqrexlemcalc2  10787  resqrexlemcalc3  10788  abs2dif2  10879  bdtrilem  11010  bdtri  11011  xrmaxaddlem  11029  fsum00  11231  iserabs  11244  geosergap  11275  mertenslemi1  11304  eftlub  11396  eirraplem  11483  xblss2  12574  xmstri2  12639  mstri2  12640  xmstri  12641  mstri  12642  xmstri3  12643  mstri3  12644  msrtri  12645