Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iserabs Unicode version

Theorem iserabs 11256
 Description: Generalized triangle inequality: the absolute value of an infinite sum is less than or equal to the sum of absolute values. (Contributed by Paul Chapman, 10-Sep-2007.) (Revised by Jim Kingdon, 14-Dec-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iserabs.1
iserabs.2
iserabs.3
iserabs.5
iserabs.6
iserabs.7
Assertion
Ref Expression
iserabs
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem iserabs
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iserabs.1 . 2
2 iserabs.5 . 2
3 iserabs.2 . . 3
4 zex 9075 . . . . . . 7
5 uzssz 9357 . . . . . . 7
64, 5ssexi 4066 . . . . . 6
71, 6eqeltri 2212 . . . . 5
87mptex 5646 . . . 4
98a1i 9 . . 3
10 iserabs.6 . . . . 5
111, 2, 10serf 10259 . . . 4
1211ffvelrnda 5555 . . 3
13 simpr 109 . . . 4
1412abscld 10965 . . . 4
15 2fveq3 5426 . . . . 5
16 eqid 2139 . . . . 5
1715, 16fvmptg 5497 . . . 4
1813, 14, 17syl2anc 408 . . 3
191, 3, 9, 2, 12, 18climabs 11101 . 2
20 iserabs.3 . 2
2118, 14eqeltrd 2216 . 2
22 iserabs.7 . . . . 5
2310abscld 10965 . . . . 5
2422, 23eqeltrd 2216 . . . 4
251, 2, 24serfre 10260 . . 3
2625ffvelrnda 5555 . 2
272adantr 274 . . . . . 6
28 eluzelz 9347 . . . . . . . 8
2928, 1eleq2s 2234 . . . . . . 7
3029adantl 275 . . . . . 6
3127, 30fzfigd 10216 . . . . 5
32 elfzuz 9814 . . . . . . . 8
3332, 1eleqtrrdi 2233 . . . . . . 7
3433, 10sylan2 284 . . . . . 6
3534adantlr 468 . . . . 5
3631, 35fsumabs 11246 . . . 4
37 eqidd 2140 . . . . . 6
381eleq2i 2206 . . . . . . . 8
3938biimpi 119 . . . . . . 7
4039adantl 275 . . . . . 6
411eleq2i 2206 . . . . . . . 8
4241, 10sylan2br 286 . . . . . . 7
4342adantlr 468 . . . . . 6
4437, 40, 43fsum3ser 11178 . . . . 5
4544fveq2d 5425 . . . 4
4622adantlr 468 . . . . . 6
4741, 46sylan2br 286 . . . . 5
4823adantlr 468 . . . . . . 7
4941, 48sylan2br 286 . . . . . 6
5049recnd 7806 . . . . 5
5147, 40, 50fsum3ser 11178 . . . 4
5236, 45, 513brtr3d 3959 . . 3
5318, 52eqbrtrd 3950 . 2
541, 2, 19, 20, 21, 26, 53climle 11115 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wceq 1331   wcel 1480  cvv 2686   class class class wbr 3929   cmpt 3989  cfv 5123  (class class class)co 5774  cc 7630  cr 7631   caddc 7635   cle 7813  cz 9066  cuz 9338  cfz 9802   cseq 10230  cabs 10781   cli 11059  csu 11134 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751  ax-caucvg 7752 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-q 9424  df-rp 9454  df-fz 9803  df-fzo 9932  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-ihash 10534  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628  df-rsqrt 10782  df-abs 10783  df-clim 11060  df-sumdc 11135 This theorem is referenced by:  eftlub  11408
 Copyright terms: Public domain W3C validator