Theorem avgle1 9427

Description: Ordering property for average. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
avgle1	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> A <_ ( ( A + B ) / 2 ) ) )

Proof of Theorem avgle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		avglt2 9426	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B < A <-> ( ( B + A ) / 2 ) < A ) )
2	1	ancoms 268	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B < A <-> ( ( B + A ) / 2 ) < A ) )
3		recn 8208	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> A e. CC )
4		recn 8208	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> B e. CC )
5		addcom 8358	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) = ( B + A ) )
6	3, 4, 5	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + B ) = ( B + A ) )
7	6	oveq1d 6043	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A + B ) / 2 ) = ( ( B + A ) / 2 ) )
8	7	breq1d 4103	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( A + B ) / 2 ) < A <-> ( ( B + A ) / 2 ) < A ) )
9	2, 8	bitr4d 191	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B < A <-> ( ( A + B ) / 2 ) < A ) )
10	9	notbid 673	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -. B < A <-> -. ( ( A + B ) / 2 ) < A ) )
11		lenlt 8297	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
12		readdcl 8201	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + B ) e. RR )
13		rehalfcl 9413	. . . 4 |- ( ( A + B ) e. RR -> ( ( A + B ) / 2 ) e. RR )
14	12, 13	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A + B ) / 2 ) e. RR )
15		lenlt 8297	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ ( ( A + B ) / 2 ) e. RR ) -> ( A <_ ( ( A + B ) / 2 ) <-> -. ( ( A + B ) / 2 ) < A ) )
16	14, 15	syldan 282	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ ( ( A + B ) / 2 ) <-> -. ( ( A + B ) / 2 ) < A ) )
17	10, 11, 16	3bitr4d 220	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> A <_ ( ( A + B ) / 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   CCcc 8073   RRcr 8074   + caddc 8078   < clt 8256   <_ cle 8257   / cdiv 8894   2c2 9236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-2 9244

This theorem is referenced by: (None)