ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  avgle1 Unicode version

Theorem avgle1 9105
Description: Ordering property for average. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
avgle1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  A  <_  ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) )

Proof of Theorem avgle1
StepHypRef Expression
1 avglt2 9104 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <  A  <->  ( ( B  +  A
)  /  2 )  <  A ) )
21ancoms 266 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <  A  <->  ( ( B  +  A
)  /  2 )  <  A ) )
3 recn 7894 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
4 recn 7894 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
5 addcom 8043 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  =  ( B  +  A ) )
63, 4, 5syl2an 287 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  B
)  =  ( B  +  A ) )
76oveq1d 5865 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  +  B )  /  2
)  =  ( ( B  +  A )  /  2 ) )
87breq1d 3997 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  <  A  <->  ( ( B  +  A
)  /  2 )  <  A ) )
92, 8bitr4d 190 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <  A  <->  ( ( A  +  B
)  /  2 )  <  A ) )
109notbid 662 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  B  < 
A  <->  -.  ( ( A  +  B )  /  2 )  < 
A ) )
11 lenlt 7982 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
12 readdcl 7887 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
13 rehalfcl 9092 . . . 4  |-  ( ( A  +  B )  e.  RR  ->  (
( A  +  B
)  /  2 )  e.  RR )
1412, 13syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  RR )
15 lenlt 7982 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  RR )  ->  ( A  <_ 
( ( A  +  B )  /  2
)  <->  -.  ( ( A  +  B )  /  2 )  < 
A ) )
1614, 15syldan 280 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  (
( A  +  B
)  /  2 )  <->  -.  ( ( A  +  B )  /  2
)  <  A )
)
1710, 11, 163bitr4d 219 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  A  <_  ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1348    e. wcel 2141   class class class wbr 3987  (class class class)co 5850   CCcc 7759   RRcr 7760    + caddc 7764    < clt 7941    <_ cle 7942    / cdiv 8576   2c2 8916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-2 8924
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator