Theorem avgle1 9105

Description: Ordering property for average. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
avgle1	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> A <_ ( ( A + B ) / 2 ) ) )

Proof of Theorem avgle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		avglt2 9104	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B < A <-> ( ( B + A ) / 2 ) < A ) )
2	1	ancoms 266	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B < A <-> ( ( B + A ) / 2 ) < A ) )
3		recn 7894	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> A e. CC )
4		recn 7894	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> B e. CC )
5		addcom 8043	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) = ( B + A ) )
6	3, 4, 5	syl2an 287	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + B ) = ( B + A ) )
7	6	oveq1d 5865	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A + B ) / 2 ) = ( ( B + A ) / 2 ) )
8	7	breq1d 3997	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( A + B ) / 2 ) < A <-> ( ( B + A ) / 2 ) < A ) )
9	2, 8	bitr4d 190	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B < A <-> ( ( A + B ) / 2 ) < A ) )
10	9	notbid 662	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -. B < A <-> -. ( ( A + B ) / 2 ) < A ) )
11		lenlt 7982	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
12		readdcl 7887	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + B ) e. RR )
13		rehalfcl 9092	. . . 4 |- ( ( A + B ) e. RR -> ( ( A + B ) / 2 ) e. RR )
14	12, 13	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A + B ) / 2 ) e. RR )
15		lenlt 7982	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ ( ( A + B ) / 2 ) e. RR ) -> ( A <_ ( ( A + B ) / 2 ) <-> -. ( ( A + B ) / 2 ) < A ) )
16	14, 15	syldan 280	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ ( ( A + B ) / 2 ) <-> -. ( ( A + B ) / 2 ) < A ) )
17	10, 11, 16	3bitr4d 219	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> A <_ ( ( A + B ) / 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   class class class wbr 3987  (class class class)co 5850   CCcc 7759   RRcr 7760   + caddc 7764   < clt 7941   <_ cle 7942   / cdiv 8576   2c2 8916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-2 8924

This theorem is referenced by: (None)