ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  avgle1 Unicode version

Theorem avgle1 8953
Description: Ordering property for average. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
avgle1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  A  <_  ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) )

Proof of Theorem avgle1
StepHypRef Expression
1 avglt2 8952 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <  A  <->  ( ( B  +  A
)  /  2 )  <  A ) )
21ancoms 266 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <  A  <->  ( ( B  +  A
)  /  2 )  <  A ) )
3 recn 7746 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
4 recn 7746 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
5 addcom 7892 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  =  ( B  +  A ) )
63, 4, 5syl2an 287 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  B
)  =  ( B  +  A ) )
76oveq1d 5782 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  +  B )  /  2
)  =  ( ( B  +  A )  /  2 ) )
87breq1d 3934 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  <  A  <->  ( ( B  +  A
)  /  2 )  <  A ) )
92, 8bitr4d 190 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <  A  <->  ( ( A  +  B
)  /  2 )  <  A ) )
109notbid 656 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  B  < 
A  <->  -.  ( ( A  +  B )  /  2 )  < 
A ) )
11 lenlt 7833 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
12 readdcl 7739 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
13 rehalfcl 8940 . . . 4  |-  ( ( A  +  B )  e.  RR  ->  (
( A  +  B
)  /  2 )  e.  RR )
1412, 13syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  RR )
15 lenlt 7833 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  RR )  ->  ( A  <_ 
( ( A  +  B )  /  2
)  <->  -.  ( ( A  +  B )  /  2 )  < 
A ) )
1614, 15syldan 280 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  (
( A  +  B
)  /  2 )  <->  -.  ( ( A  +  B )  /  2
)  <  A )
)
1710, 11, 163bitr4d 219 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  A  <_  ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   CCcc 7611   RRcr 7612    + caddc 7616    < clt 7793    <_ cle 7794    / cdiv 8425   2c2 8764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-2 8772
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator