Theorem avgle1 9363

Description: Ordering property for average. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
avgle1	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> A <_ ( ( A + B ) / 2 ) ) )

Proof of Theorem avgle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		avglt2 9362	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B < A <-> ( ( B + A ) / 2 ) < A ) )
2	1	ancoms 268	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B < A <-> ( ( B + A ) / 2 ) < A ) )
3		recn 8143	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> A e. CC )
4		recn 8143	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> B e. CC )
5		addcom 8294	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) = ( B + A ) )
6	3, 4, 5	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + B ) = ( B + A ) )
7	6	oveq1d 6022	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A + B ) / 2 ) = ( ( B + A ) / 2 ) )
8	7	breq1d 4093	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( A + B ) / 2 ) < A <-> ( ( B + A ) / 2 ) < A ) )
9	2, 8	bitr4d 191	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B < A <-> ( ( A + B ) / 2 ) < A ) )
10	9	notbid 671	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -. B < A <-> -. ( ( A + B ) / 2 ) < A ) )
11		lenlt 8233	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
12		readdcl 8136	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + B ) e. RR )
13		rehalfcl 9349	. . . 4 |- ( ( A + B ) e. RR -> ( ( A + B ) / 2 ) e. RR )
14	12, 13	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A + B ) / 2 ) e. RR )
15		lenlt 8233	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ ( ( A + B ) / 2 ) e. RR ) -> ( A <_ ( ( A + B ) / 2 ) <-> -. ( ( A + B ) / 2 ) < A ) )
16	14, 15	syldan 282	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ ( ( A + B ) / 2 ) <-> -. ( ( A + B ) / 2 ) < A ) )
17	10, 11, 16	3bitr4d 220	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> A <_ ( ( A + B ) / 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007   CCcc 8008   RRcr 8009   + caddc 8013   < clt 8192   <_ cle 8193   / cdiv 8830   2c2 9172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-2 9180

This theorem is referenced by: (None)