Theorem avgle2 9235

Description: Ordering property for average. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
avgle2	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( ( A + B ) / 2 ) <_ B ) )

Proof of Theorem avgle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		avglt1 9232	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B < A <-> B < ( ( B + A ) / 2 ) ) )
2	1	ancoms 268	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B < A <-> B < ( ( B + A ) / 2 ) ) )
3		recn 8014	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> A e. CC )
4		recn 8014	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> B e. CC )
5		addcom 8165	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) = ( B + A ) )
6	3, 4, 5	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + B ) = ( B + A ) )
7	6	oveq1d 5938	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A + B ) / 2 ) = ( ( B + A ) / 2 ) )
8	7	breq2d 4046	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B < ( ( A + B ) / 2 ) <-> B < ( ( B + A ) / 2 ) ) )
9	2, 8	bitr4d 191	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B < A <-> B < ( ( A + B ) / 2 ) ) )
10	9	notbid 668	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -. B < A <-> -. B < ( ( A + B ) / 2 ) ) )
11		lenlt 8104	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
12		readdcl 8007	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + B ) e. RR )
13		rehalfcl 9220	. . . 4 |- ( ( A + B ) e. RR -> ( ( A + B ) / 2 ) e. RR )
14	12, 13	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A + B ) / 2 ) e. RR )
15		lenlt 8104	. . 3 |- ( ( ( ( A + B ) / 2 ) e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( A + B ) / 2 ) <_ B <-> -. B < ( ( A + B ) / 2 ) ) )
16	14, 15	sylancom 420	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( A + B ) / 2 ) <_ B <-> -. B < ( ( A + B ) / 2 ) ) )
17	10, 11, 16	3bitr4d 220	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( ( A + B ) / 2 ) <_ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5923   CCcc 7879   RRcr 7880   + caddc 7884   < clt 8063   <_ cle 8064   / cdiv 8701   2c2 9043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998  ax-pre-mulext 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-ap 8611  df-div 8702  df-2 9051

This theorem is referenced by:  qavgle  10350