ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  avgle2 Unicode version

Theorem avgle2 8657
Description: Ordering property for average. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
avgle2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( ( A  +  B
)  /  2 )  <_  B ) )

Proof of Theorem avgle2
StepHypRef Expression
1 avglt1 8654 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <  A  <->  B  <  ( ( B  +  A )  / 
2 ) ) )
21ancoms 264 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <  A  <->  B  <  ( ( B  +  A )  / 
2 ) ) )
3 recn 7475 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
4 recn 7475 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
5 addcom 7619 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  =  ( B  +  A ) )
63, 4, 5syl2an 283 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  B
)  =  ( B  +  A ) )
76oveq1d 5667 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  +  B )  /  2
)  =  ( ( B  +  A )  /  2 ) )
87breq2d 3857 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <  (
( A  +  B
)  /  2 )  <-> 
B  <  ( ( B  +  A )  /  2 ) ) )
92, 8bitr4d 189 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <  A  <->  B  <  ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) )
109notbid 627 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  B  < 
A  <->  -.  B  <  ( ( A  +  B
)  /  2 ) ) )
11 lenlt 7561 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
12 readdcl 7468 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
13 rehalfcl 8643 . . . 4  |-  ( ( A  +  B )  e.  RR  ->  (
( A  +  B
)  /  2 )  e.  RR )
1412, 13syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  RR )
15 lenlt 7561 . . 3  |-  ( ( ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  <_  B  <->  -.  B  <  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) )
1614, 15sylancom 411 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  <_  B  <->  -.  B  <  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) )
1710, 11, 163bitr4d 218 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( ( A  +  B
)  /  2 )  <_  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652   CCcc 7348   RRcr 7349    + caddc 7353    < clt 7522    <_ cle 7523    / cdiv 8139   2c2 8473
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-mulrcl 7444  ax-addcom 7445  ax-mulcom 7446  ax-addass 7447  ax-mulass 7448  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-1rid 7452  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-precex 7455  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-apti 7460  ax-pre-ltadd 7461  ax-pre-mulgt0 7462  ax-pre-mulext 7463
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-reap 8052  df-ap 8059  df-div 8140  df-2 8481
This theorem is referenced by:  qavgle  9670
  Copyright terms: Public domain W3C validator