ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  avgle2 Unicode version

Theorem avgle2 8961
Description: Ordering property for average. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
avgle2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( ( A  +  B
)  /  2 )  <_  B ) )

Proof of Theorem avgle2
StepHypRef Expression
1 avglt1 8958 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <  A  <->  B  <  ( ( B  +  A )  / 
2 ) ) )
21ancoms 266 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <  A  <->  B  <  ( ( B  +  A )  / 
2 ) ) )
3 recn 7753 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
4 recn 7753 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
5 addcom 7899 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  =  ( B  +  A ) )
63, 4, 5syl2an 287 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  B
)  =  ( B  +  A ) )
76oveq1d 5789 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  +  B )  /  2
)  =  ( ( B  +  A )  /  2 ) )
87breq2d 3941 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <  (
( A  +  B
)  /  2 )  <-> 
B  <  ( ( B  +  A )  /  2 ) ) )
92, 8bitr4d 190 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <  A  <->  B  <  ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) )
109notbid 656 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  B  < 
A  <->  -.  B  <  ( ( A  +  B
)  /  2 ) ) )
11 lenlt 7840 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
12 readdcl 7746 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
13 rehalfcl 8947 . . . 4  |-  ( ( A  +  B )  e.  RR  ->  (
( A  +  B
)  /  2 )  e.  RR )
1412, 13syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  RR )
15 lenlt 7840 . . 3  |-  ( ( ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  <_  B  <->  -.  B  <  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) )
1614, 15sylancom 416 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  <_  B  <->  -.  B  <  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) )
1710, 11, 163bitr4d 219 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( ( A  +  B
)  /  2 )  <_  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   CCcc 7618   RRcr 7619    + caddc 7623    < clt 7800    <_ cle 7801    / cdiv 8432   2c2 8771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-2 8779
This theorem is referenced by:  qavgle  10036
  Copyright terms: Public domain W3C validator