Theorem avglt1 9523

Description: Ordering property for average. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
avglt1	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> A < ( ( A + B ) / 2 ) ) )

Proof of Theorem avglt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltadd2 8737	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A e. RR ) -> ( A < B <-> ( A + A ) < ( A + B ) ) )
2	1	3anidm13 1337	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> ( A + A ) < ( A + B ) ) )
3		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A e. RR )
4	3	recnd 8344	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A e. CC )
5		times2 9412	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A x. 2 ) = ( A + A ) )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A x. 2 ) = ( A + A ) )
7	6	breq1d 4135	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A x. 2 ) < ( A + B ) <-> ( A + A ) < ( A + B ) ) )
8		readdcl 8295	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + B ) e. RR )
9		2re 9353	. . . . 5 |- 2 e. RR
10		2pos 9374	. . . . 5 |- 0 < 2
11	9, 10	pm3.2i 272	. . . 4 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
12	11	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
13		ltmuldiv 9194	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ ( A + B ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( A x. 2 ) < ( A + B ) <-> A < ( ( A + B ) / 2 ) ) )
14	3, 8, 12, 13	syl3anc 1278	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A x. 2 ) < ( A + B ) <-> A < ( ( A + B ) / 2 ) ) )
15	2, 7, 14	3bitr2d 216	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> A < ( ( A + B ) / 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075   CCcc 8167   RRcr 8168   0cc0 8169   + caddc 8172   x. cmul 8174   < clt 8350   / cdiv 8992   2c2 9334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-2 9342

This theorem is referenced by:  avgle2  9526  apdifflemf  17000