Theorem axresscn 7547

Description: The real numbers are a subset of the complex numbers. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-resscn 7587. (Contributed by NM, 1-Mar-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axresscn	|- RR C_ CC

Proof of Theorem axresscn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 7446	. . 3 |- 0R e. R.
2		snssi 3611	. . 3 |- ( 0R e. R. -> { 0R } C_ R. )
3		xpss2 4588	. . 3 |- ( { 0R } C_ R. -> ( R. X. { 0R } ) C_ ( R. X. R. ) )
4	1, 2, 3	mp2b 8	. 2 |- ( R. X. { 0R } ) C_ ( R. X. R. )
5		df-r 7510	. 2 |- RR = ( R. X. { 0R } )
6		df-c 7506	. 2 |- CC = ( R. X. R. )
7	4, 5, 6	3sstr4i 3088	1 |- RR C_ CC

Syntax hints:   e. wcel 1448   C_ wss 3021   {csn 3474   X. cxp 4475   R.cnr 7006   0Rc0r 7007   CCcc 7498   RRcr 7499

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-eprel 4149  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-irdg 6197  df-1o 6243  df-oadd 6247  df-omul 6248  df-er 6359  df-ec 6361  df-qs 6365  df-ni 7013  df-pli 7014  df-mi 7015  df-lti 7016  df-plpq 7053  df-mpq 7054  df-enq 7056  df-nqqs 7057  df-plqqs 7058  df-mqqs 7059  df-1nqqs 7060  df-rq 7061  df-ltnqqs 7062  df-inp 7175  df-i1p 7176  df-enr 7422  df-nr 7423  df-0r 7427  df-c 7506  df-r 7510

This theorem is referenced by:  ax1cn  7548  rereceu  7574  recriota  7575  peano5nnnn  7577