Theorem axresscn 7927

Description: The real numbers are a subset of the complex numbers. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-resscn 7971. (Contributed by NM, 1-Mar-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axresscn	|- RR C_ CC

Proof of Theorem axresscn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 7817	. . 3 |- 0R e. R.
2		snssi 3766	. . 3 |- ( 0R e. R. -> { 0R } C_ R. )
3		xpss2 4774	. . 3 |- ( { 0R } C_ R. -> ( R. X. { 0R } ) C_ ( R. X. R. ) )
4	1, 2, 3	mp2b 8	. 2 |- ( R. X. { 0R } ) C_ ( R. X. R. )
5		df-r 7889	. 2 |- RR = ( R. X. { 0R } )
6		df-c 7885	. 2 |- CC = ( R. X. R. )
7	4, 5, 6	3sstr4i 3224	1 |- RR C_ CC

Syntax hints:   e. wcel 2167   C_ wss 3157   {csn 3622   X. cxp 4661   R.cnr 7364   0Rc0r 7365   CCcc 7877   RRcr 7878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-eprel 4324  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6592  df-ec 6594  df-qs 6598  df-ni 7371  df-pli 7372  df-mi 7373  df-lti 7374  df-plpq 7411  df-mpq 7412  df-enq 7414  df-nqqs 7415  df-plqqs 7416  df-mqqs 7417  df-1nqqs 7418  df-rq 7419  df-ltnqqs 7420  df-inp 7533  df-i1p 7534  df-enr 7793  df-nr 7794  df-0r 7798  df-c 7885  df-r 7889

This theorem is referenced by:  ax1cn  7928  rereceu  7956  recriota  7957  peano5nnnn  7959