Theorem axcnex 8216

Description: The complex numbers form a set. Use cnex 8293 instead. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axcnex	|- CC e. _V

Proof of Theorem axcnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 8175	. 2 |- CC = ( R. X. R. )
2		df-nr 8084	. . . 4 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
3		npex 7830	. . . . . . 7 |- P. e. _V
4	3, 3	xpex 4886	. . . . . 6 |- ( P. X. P. ) e. _V
5	4	pwex 4315	. . . . 5 |- ~P ( P. X. P. ) e. _V
6		enrer 8092	. . . . . . . 8 |- ~R Er ( P. X. P. )
7	6	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( T. -> ~R Er ( P. X. P. ) )
8	7	qsss 6858	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( P. X. P. ) /. ~R ) C_ ~P ( P. X. P. ) )
9	8	mptru 1411	. . . . 5 |- ( ( P. X. P. ) /. ~R ) C_ ~P ( P. X. P. )
10	5, 9	ssexi 4266	. . . 4 |- ( ( P. X. P. ) /. ~R ) e. _V
11	2, 10	eqeltri 2311	. . 3 |- R. e. _V
12	11, 11	xpex 4886	. 2 |- ( R. X. R. ) e. _V
13	1, 12	eqeltri 2311	1 |- CC e. _V

Syntax hints:   T. wtru 1403   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   ~Pcpw 3685   X. cxp 4767   Er wer 6794   /.cqs 6796   P.cnp 7648   ~R cer 7653   R.cnr 7654   CCcc 8167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-eprel 4429  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-1o 6677  df-2o 6678  df-oadd 6681  df-omul 6682  df-er 6797  df-ec 6799  df-qs 6803  df-ni 7661  df-pli 7662  df-mi 7663  df-lti 7664  df-plpq 7701  df-mpq 7702  df-enq 7704  df-nqqs 7705  df-plqqs 7706  df-mqqs 7707  df-1nqqs 7708  df-rq 7709  df-ltnqqs 7710  df-enq0 7781  df-nq0 7782  df-0nq0 7783  df-plq0 7784  df-mq0 7785  df-inp 7823  df-iplp 7825  df-enr 8083  df-nr 8084  df-c 8175

This theorem is referenced by:  peano5nnnn  8249