Theorem cats2catd 11563

Description: Closure of concatenation of concatenations with singleton words. (Contributed by AV, 1-Mar-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 19-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
cats2catd.b	|- ( ph -> B e. Word _V )
cats2catd.d	|- ( ph -> D e. Word _V )
cats2catd.x	|- ( ph -> X e. V )
cats2catd.y	|- ( ph -> Y e. W )
cats2catd.a	|- ( ph -> A = ( B ++ <" X "> ) )
cats2catd.c	|- ( ph -> C = ( <" Y "> ++ D ) )

Assertion

Ref	Expression
cats2catd	|- ( ph -> ( A ++ C ) = ( ( B ++ <" X Y "> ) ++ D ) )

Proof of Theorem cats2catd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cats2catd.a	. . 3 |- ( ph -> A = ( B ++ <" X "> ) )
2		cats2catd.c	. . 3 |- ( ph -> C = ( <" Y "> ++ D ) )
3	1, 2	oveq12d 6106	. 2 |- ( ph -> ( A ++ C ) = ( ( B ++ <" X "> ) ++ ( <" Y "> ++ D ) ) )
4		cats2catd.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. Word _V )
5		cats2catd.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. V )
6	5	s1cld 11412	. . . . 5 |- ( ph -> <" X "> e. Word V )
7		wrdv 11342	. . . . 5 |- ( <" X "> e. Word V -> <" X "> e. Word _V )
8	6, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> <" X "> e. Word _V )
9		ccatcl 11383	. . . 4 |- ( ( B e. Word _V /\ <" X "> e. Word _V ) -> ( B ++ <" X "> ) e. Word _V )
10	4, 8, 9	syl2anc 415	. . 3 |- ( ph -> ( B ++ <" X "> ) e. Word _V )
11		cats2catd.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. W )
12	11	s1cld 11412	. . . 4 |- ( ph -> <" Y "> e. Word W )
13		wrdv 11342	. . . 4 |- ( <" Y "> e. Word W -> <" Y "> e. Word _V )
14	12, 13	syl 14	. . 3 |- ( ph -> <" Y "> e. Word _V )
15		cats2catd.d	. . 3 |- ( ph -> D e. Word _V )
16		ccatass 11398	. . 3 |- ( ( ( B ++ <" X "> ) e. Word _V /\ <" Y "> e. Word _V /\ D e. Word _V ) -> ( ( ( B ++ <" X "> ) ++ <" Y "> ) ++ D ) = ( ( B ++ <" X "> ) ++ ( <" Y "> ++ D ) ) )
17	10, 14, 15, 16	syl3anc 1278	. 2 |- ( ph -> ( ( ( B ++ <" X "> ) ++ <" Y "> ) ++ D ) = ( ( B ++ <" X "> ) ++ ( <" Y "> ++ D ) ) )
18		ccatass 11398	. . . . 5 |- ( ( B e. Word _V /\ <" X "> e. Word _V /\ <" Y "> e. Word _V ) -> ( ( B ++ <" X "> ) ++ <" Y "> ) = ( B ++ ( <" X "> ++ <" Y "> ) ) )
19	4, 8, 14, 18	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ph -> ( ( B ++ <" X "> ) ++ <" Y "> ) = ( B ++ ( <" X "> ++ <" Y "> ) ) )
20		df-s2 11550	. . . . . 6 |- <" X Y "> = ( <" X "> ++ <" Y "> )
21	20	eqcomi 2242	. . . . 5 |- ( <" X "> ++ <" Y "> ) = <" X Y ">
22	21	oveq2i 6099	. . . 4 |- ( B ++ ( <" X "> ++ <" Y "> ) ) = ( B ++ <" X Y "> )
23	19, 22	eqtrdi 2287	. . 3 |- ( ph -> ( ( B ++ <" X "> ) ++ <" Y "> ) = ( B ++ <" X Y "> ) )
24	23	oveq1d 6103	. 2 |- ( ph -> ( ( ( B ++ <" X "> ) ++ <" Y "> ) ++ D ) = ( ( B ++ <" X Y "> ) ++ D ) )
25	3, 17, 24	3eqtr2d 2277	1 |- ( ph -> ( A ++ C ) = ( ( B ++ <" X Y "> ) ++ D ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821  (class class class)co 6088  Word cword 11326   ++ cconcat 11380   <"cs1 11405   <"cs2 11543

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-ihash 11237  df-word 11327  df-concat 11381  df-s1 11406  df-s2 11550

This theorem is used by:  s3s4d  11597  s2s5d  11598  s5s2d  11599