Theorem cats2catd 11524

Description: Closure of concatenation of concatenations with singleton words. (Contributed by AV, 1-Mar-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 19-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
cats2catd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Word V)
cats2catd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Word V)
cats2catd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
cats2catd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑊)
cats2catd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩))
cats2catd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (⟨“𝑌”⟩ ++ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
cats2catd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐶) = ((𝐵 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩) ++ 𝐷))

Proof of Theorem cats2catd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cats2catd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩))
2		cats2catd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (⟨“𝑌”⟩ ++ 𝐷))
3	1, 2	oveq12d 6097	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐶) = ((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ (⟨“𝑌”⟩ ++ 𝐷)))
4		cats2catd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Word V)
5		cats2catd.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
6	5	s1cld 11373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
7		wrdv 11303	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V)
8	6, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V)
9		ccatcl 11344	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V) → (𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word V)
10	4, 8, 9	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word V)
11		cats2catd.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑊)
12	11	s1cld 11373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝑊)
13		wrdv 11303	. . . 4 ⊢ (⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝑊 → ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word V)
14	12, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word V)
15		cats2catd.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Word V)
16		ccatass 11359	. . 3 ⊢ (((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word V ∧ ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word V ∧ 𝐷 ∈ Word V) → (((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ++ 𝐷) = ((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ (⟨“𝑌”⟩ ++ 𝐷)))
17	10, 14, 15, 16	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ++ 𝐷) = ((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ (⟨“𝑌”⟩ ++ 𝐷)))
18		ccatass 11359	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word V) → ((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝐵 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)))
19	4, 8, 14, 18	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝐵 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)))
20		df-s2 11511	. . . . . 6 ⊢ ⟨“𝑋𝑌”⟩ = (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)
21	20	eqcomi 2242	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩) = ⟨“𝑋𝑌”⟩
22	21	oveq2i 6090	. . . 4 ⊢ (𝐵 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)) = (𝐵 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩)
23	19, 22	eqtrdi 2287	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝐵 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩))
24	23	oveq1d 6094	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ++ 𝐷) = ((𝐵 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩) ++ 𝐷))
25	3, 17, 24	3eqtr2d 2277	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐶) = ((𝐵 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩) ++ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  (class class class)co 6079  Word cword 11287   ++ cconcat 11341  ⟨“cs1 11366  ⟨“cs2 11504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-1o 6681  df-er 6801  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-ihash 11198  df-word 11288  df-concat 11342  df-s1 11367  df-s2 11511

This theorem is referenced by:  s3s4d  11558  s2s5d  11559  s5s2d  11560