Theorem cats2catd 11262

Description: Closure of concatenation of concatenations with singleton words. (Contributed by AV, 1-Mar-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 19-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
cats2catd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Word V)
cats2catd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Word V)
cats2catd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
cats2catd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑊)
cats2catd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩))
cats2catd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (⟨“𝑌”⟩ ++ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
cats2catd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐶) = ((𝐵 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩) ++ 𝐷))

Proof of Theorem cats2catd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cats2catd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩))
2		cats2catd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (⟨“𝑌”⟩ ++ 𝐷))
3	1, 2	oveq12d 5987	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐶) = ((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ (⟨“𝑌”⟩ ++ 𝐷)))
4		cats2catd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Word V)
5		cats2catd.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
6	5	s1cld 11116	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
7		wrdv 11049	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V)
8	6, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V)
9		ccatcl 11089	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V) → (𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word V)
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word V)
11		cats2catd.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑊)
12	11	s1cld 11116	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝑊)
13		wrdv 11049	. . . 4 ⊢ (⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝑊 → ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word V)
14	12, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word V)
15		cats2catd.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Word V)
16		ccatass 11104	. . 3 ⊢ (((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word V ∧ ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word V ∧ 𝐷 ∈ Word V) → (((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ++ 𝐷) = ((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ (⟨“𝑌”⟩ ++ 𝐷)))
17	10, 14, 15, 16	syl3anc 1250	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ++ 𝐷) = ((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ (⟨“𝑌”⟩ ++ 𝐷)))
18		ccatass 11104	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word V) → ((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝐵 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)))
19	4, 8, 14, 18	syl3anc 1250	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝐵 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)))
20		df-s2 11249	. . . . . 6 ⊢ ⟨“𝑋𝑌”⟩ = (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)
21	20	eqcomi 2211	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩) = ⟨“𝑋𝑌”⟩
22	21	oveq2i 5980	. . . 4 ⊢ (𝐵 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)) = (𝐵 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩)
23	19, 22	eqtrdi 2256	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝐵 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩))
24	23	oveq1d 5984	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ++ 𝐷) = ((𝐵 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩) ++ 𝐷))
25	3, 17, 24	3eqtr2d 2246	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐶) = ((𝐵 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩) ++ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  Vcvv 2777  (class class class)co 5969  Word cword 11033   ++ cconcat 11086  ⟨“cs1 11109  ⟨“cs2 11242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4176  ax-sep 4179  ax-nul 4187  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499  ax-setind 4604  ax-iinf 4655  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-1cn 8055  ax-1re 8056  ax-icn 8057  ax-addcl 8058  ax-addrcl 8059  ax-mulcl 8060  ax-addcom 8062  ax-addass 8064  ax-distr 8066  ax-i2m1 8067  ax-0lt1 8068  ax-0id 8070  ax-rnegex 8071  ax-cnre 8073  ax-pre-ltirr 8074  ax-pre-ltwlin 8075  ax-pre-lttrn 8076  ax-pre-apti 8077  ax-pre-ltadd 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-csb 3103  df-dif 3177  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-nul 3470  df-if 3581  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-int 3901  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-tr 4160  df-id 4359  df-iord 4432  df-on 4434  df-ilim 4435  df-suc 4437  df-iom 4658  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-rn 4705  df-res 4706  df-ima 4707  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fn 5294  df-f 5295  df-f1 5296  df-fo 5297  df-f1o 5298  df-fv 5299  df-riota 5924  df-ov 5972  df-oprab 5973  df-mpo 5974  df-1st 6251  df-2nd 6252  df-recs 6416  df-frec 6502  df-1o 6527  df-er 6645  df-en 6853  df-dom 6854  df-fin 6855  df-pnf 8146  df-mnf 8147  df-xr 8148  df-ltxr 8149  df-le 8150  df-sub 8282  df-neg 8283  df-inn 9074  df-n0 9333  df-z 9410  df-uz 9686  df-fz 10168  df-fzo 10302  df-ihash 10960  df-word 11034  df-concat 11087  df-s1 11110  df-s2 11249

This theorem is referenced by: (None)