Theorem cats2catd 11301

Description: Closure of concatenation of concatenations with singleton words. (Contributed by AV, 1-Mar-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 19-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
cats2catd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Word V)
cats2catd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Word V)
cats2catd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
cats2catd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑊)
cats2catd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩))
cats2catd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (⟨“𝑌”⟩ ++ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
cats2catd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐶) = ((𝐵 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩) ++ 𝐷))

Proof of Theorem cats2catd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cats2catd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩))
2		cats2catd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (⟨“𝑌”⟩ ++ 𝐷))
3	1, 2	oveq12d 6019	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐶) = ((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ (⟨“𝑌”⟩ ++ 𝐷)))
4		cats2catd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Word V)
5		cats2catd.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
6	5	s1cld 11155	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
7		wrdv 11087	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V)
8	6, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V)
9		ccatcl 11128	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V) → (𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word V)
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word V)
11		cats2catd.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑊)
12	11	s1cld 11155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝑊)
13		wrdv 11087	. . . 4 ⊢ (⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝑊 → ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word V)
14	12, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word V)
15		cats2catd.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Word V)
16		ccatass 11143	. . 3 ⊢ (((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word V ∧ ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word V ∧ 𝐷 ∈ Word V) → (((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ++ 𝐷) = ((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ (⟨“𝑌”⟩ ++ 𝐷)))
17	10, 14, 15, 16	syl3anc 1271	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ++ 𝐷) = ((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ (⟨“𝑌”⟩ ++ 𝐷)))
18		ccatass 11143	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word V) → ((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝐵 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)))
19	4, 8, 14, 18	syl3anc 1271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝐵 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)))
20		df-s2 11288	. . . . . 6 ⊢ ⟨“𝑋𝑌”⟩ = (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)
21	20	eqcomi 2233	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩) = ⟨“𝑋𝑌”⟩
22	21	oveq2i 6012	. . . 4 ⊢ (𝐵 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)) = (𝐵 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩)
23	19, 22	eqtrdi 2278	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝐵 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩))
24	23	oveq1d 6016	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ++ 𝐷) = ((𝐵 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩) ++ 𝐷))
25	3, 17, 24	3eqtr2d 2268	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐶) = ((𝐵 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩) ++ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799  (class class class)co 6001  Word cword 11071   ++ cconcat 11125  ⟨“cs1 11148  ⟨“cs2 11281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-1o 6562  df-er 6680  df-en 6888  df-dom 6889  df-fin 6890  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-fz 10205  df-fzo 10339  df-ihash 10998  df-word 11072  df-concat 11126  df-s1 11149  df-s2 11288

This theorem is referenced by: (None)