Theorem cats2catd 11454

Description: Closure of concatenation of concatenations with singleton words. (Contributed by AV, 1-Mar-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 19-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
cats2catd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Word V)
cats2catd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Word V)
cats2catd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
cats2catd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑊)
cats2catd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩))
cats2catd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (⟨“𝑌”⟩ ++ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
cats2catd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐶) = ((𝐵 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩) ++ 𝐷))

Proof of Theorem cats2catd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cats2catd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩))
2		cats2catd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (⟨“𝑌”⟩ ++ 𝐷))
3	1, 2	oveq12d 6067	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐶) = ((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ (⟨“𝑌”⟩ ++ 𝐷)))
4		cats2catd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Word V)
5		cats2catd.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
6	5	s1cld 11303	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
7		wrdv 11233	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V)
8	6, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V)
9		ccatcl 11274	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V) → (𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word V)
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word V)
11		cats2catd.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑊)
12	11	s1cld 11303	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝑊)
13		wrdv 11233	. . . 4 ⊢ (⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝑊 → ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word V)
14	12, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word V)
15		cats2catd.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Word V)
16		ccatass 11289	. . 3 ⊢ (((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word V ∧ ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word V ∧ 𝐷 ∈ Word V) → (((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ++ 𝐷) = ((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ (⟨“𝑌”⟩ ++ 𝐷)))
17	10, 14, 15, 16	syl3anc 1274	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ++ 𝐷) = ((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ (⟨“𝑌”⟩ ++ 𝐷)))
18		ccatass 11289	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word V) → ((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝐵 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)))
19	4, 8, 14, 18	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝐵 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)))
20		df-s2 11441	. . . . . 6 ⊢ ⟨“𝑋𝑌”⟩ = (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)
21	20	eqcomi 2236	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩) = ⟨“𝑋𝑌”⟩
22	21	oveq2i 6060	. . . 4 ⊢ (𝐵 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)) = (𝐵 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩)
23	19, 22	eqtrdi 2281	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝐵 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩))
24	23	oveq1d 6064	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ++ 𝐷) = ((𝐵 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩) ++ 𝐷))
25	3, 17, 24	3eqtr2d 2271	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐶) = ((𝐵 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩) ++ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2812  (class class class)co 6049  Word cword 11217   ++ cconcat 11271  ⟨“cs1 11296  ⟨“cs2 11434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-addass 8225  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-1o 6646  df-er 6766  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-inn 9234  df-n0 9493  df-z 9574  df-uz 9850  df-fz 10339  df-fzo 10473  df-ihash 11134  df-word 11218  df-concat 11272  df-s1 11297  df-s2 11441

This theorem is referenced by:  s3s4d  11488  s2s5d  11489  s5s2d  11490