Theorem ccatcl 11024

Description: The concatenation of two words is a word. (Contributed by FL, 2-Feb-2014.) (Proof shortened by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 29-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ccatcl	|- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( S ++ T ) e. Word B )

Proof of Theorem ccatcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfin 10988	. . 3 |- ( S e. Word B -> S e. Fin )
2		wrdfin 10988	. . 3 |- ( T e. Word B -> T e. Fin )
3		ccatfvalfi 11023	. . 3 |- ( ( S e. Fin /\ T e. Fin ) -> ( S ++ T ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( S ++ T ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) )
5		wrdf 10975	. . . . . . 7 |- ( S e. Word B -> S : ( 0..^ (♯ ` S ) ) --> B )
6	5	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> S : ( 0..^ (♯ ` S ) ) --> B )
7	6	ffvelcdmda 5709	. . . . 5 |- ( ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) /\ x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> ( S ` x ) e. B )
8		wrdf 10975	. . . . . . 7 |- ( T e. Word B -> T : ( 0..^ (♯ ` T ) ) --> B )
9	8	ad3antlr 493	. . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) /\ -. x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> T : ( 0..^ (♯ ` T ) ) --> B )
10		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) )
11	10	anim1i 340	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) /\ -. x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) /\ -. x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )
12		lencl 10973	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. Word B -> (♯ ` S ) e. NN0 )
13	12	nn0zd 9475	. . . . . . . . 9 |- ( S e. Word B -> (♯ ` S ) e. ZZ )
14		lencl 10973	. . . . . . . . . 10 |- ( T e. Word B -> (♯ ` T ) e. NN0 )
15	14	nn0zd 9475	. . . . . . . . 9 |- ( T e. Word B -> (♯ ` T ) e. ZZ )
16	13, 15	anim12i 338	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( (♯ ` S ) e. ZZ /\ (♯ ` T ) e. ZZ ) )
17	16	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) /\ -. x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> ( (♯ ` S ) e. ZZ /\ (♯ ` T ) e. ZZ ) )
18		fzocatel 10309	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) /\ -. x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) /\ ( (♯ ` S ) e. ZZ /\ (♯ ` T ) e. ZZ ) ) -> ( x - (♯ ` S ) ) e. ( 0..^ (♯ ` T ) ) )
19	11, 17, 18	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) /\ -. x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> ( x - (♯ ` S ) ) e. ( 0..^ (♯ ` T ) ) )
20	9, 19	ffvelcdmd 5710	. . . . 5 |- ( ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) /\ -. x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) e. B )
21		elfzoelz 10251	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) -> x e. ZZ )
22	21	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> x e. ZZ )
23		0zd 9366	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> 0 e. ZZ )
24	13	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> (♯ ` S ) e. ZZ )
25		fzodcel 10257	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ (♯ ` S ) e. ZZ ) -> DECID x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
26	22, 23, 24, 25	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> DECID x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
27	7, 20, 26	ifcldadc 3599	. . . 4 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) e. B )
28	27	fmpttd 5729	. . 3 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) : ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) --> B )
29	12	adantr 276	. . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> (♯ ` S ) e. NN0 )
30	14	adantl 277	. . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> (♯ ` T ) e. NN0 )
31	29, 30	nn0addcld 9334	. . 3 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) e. NN0 )
32		iswrdinn0 10974	. . 3 |- ( ( ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) : ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) --> B /\ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) e. NN0 ) -> ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) e. Word B )
33	28, 31, 32	syl2anc 411	. 2 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) e. Word B )
34	4, 33	eqeltrd 2281	1 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( S ++ T ) e. Word B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 835   = wceq 1372   e. wcel 2175   ifcif 3570   |-> cmpt 4104   -->wf 5264   ` cfv 5268  (class class class)co 5934   Fincfn 6817   0cc0 7907   + caddc 7910   - cmin 8225   NN0cn0 9277   ZZcz 9354  ..^cfzo 10246  ♯chash 10901  Word cword 10969   ++ cconcat 11021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-iinf 4634  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-addcom 8007  ax-addass 8009  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-apti 8022  ax-pre-ltadd 8023

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4338  df-iord 4411  df-on 4413  df-ilim 4414  df-suc 4416  df-iom 4637  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-recs 6381  df-frec 6467  df-1o 6492  df-er 6610  df-en 6818  df-dom 6819  df-fin 6820  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-inn 9019  df-n0 9278  df-z 9355  df-uz 9631  df-fz 10113  df-fzo 10247  df-ihash 10902  df-word 10970  df-concat 11022

This theorem is referenced by:  ccatclab  11025  ccatsymb  11033  ccatass  11039  lswccatn0lsw  11042