ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ccatcl Unicode version
Theorem ccatcl 11072
Description: The concatenation of two words is a word. (Contributed by FL, 2-Feb-2014.) (Proof shortened by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 29-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
ccatcl |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( S ++ T ) e. Word B )
Proof of Theorem ccatcl
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wrdfin 11035 . . 3 |- ( S e. Word B -> S e. Fin )
2 wrdfin 11035 . . 3 |- ( T e. Word B -> T e. Fin )
3 ccatfvalfi 11071 . . 3 |- ( ( S e. Fin /\ T e. Fin ) -> ( S ++ T ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) )
41, 2, 3syl2an 289 . 2 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( S ++ T ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) )
5 wrdf 11022 . . . . . . 7 |- ( S e. Word B -> S : ( 0..^ (♯ ` S ) ) --> B )
65ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> S : ( 0..^ (♯ ` S ) ) --> B )
76ffvelcdmda 5728 . . . . 5 |- ( ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) /\ x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> ( S ` x ) e. B )
8 wrdf 11022 . . . . . . 7 |- ( T e. Word B -> T : ( 0..^ (♯ ` T ) ) --> B )
98ad3antlr 493 . . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) /\ -. x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> T : ( 0..^ (♯ ` T ) ) --> B )
10 simpr 110 . . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) )
1110anim1i 340 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) /\ -. x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) /\ -. x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )
12 lencl 11020 . . . . . . . . . 10 |- ( S e. Word B -> (♯ ` S ) e. NN0 )
1312nn0zd 9513 . . . . . . . . 9 |- ( S e. Word B -> (♯ ` S ) e. ZZ )
14 lencl 11020 . . . . . . . . . 10 |- ( T e. Word B -> (♯ ` T ) e. NN0 )
1514nn0zd 9513 . . . . . . . . 9 |- ( T e. Word B -> (♯ ` T ) e. ZZ )
1613, 15anim12i 338 . . . . . . . 8 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( (♯ ` S ) e. ZZ /\ (♯ ` T ) e. ZZ ) )
1716ad2antrr 488 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) /\ -. x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> ( (♯ ` S ) e. ZZ /\ (♯ ` T ) e. ZZ ) )
18 fzocatel 10350 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) /\ -. x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) /\ ( (♯ ` S ) e. ZZ /\ (♯ ` T ) e. ZZ ) ) -> ( x - (♯ ` S ) ) e. ( 0..^ (♯ ` T ) ) )
1911, 17, 18syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) /\ -. x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> ( x - (♯ ` S ) ) e. ( 0..^ (♯ ` T ) ) )
209, 19ffvelcdmd 5729 . . . . 5 |- ( ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) /\ -. x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) e. B )
21 elfzoelz 10289 . . . . . . 7 |- ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) -> x e. ZZ )
2221adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> x e. ZZ )
23 0zd 9404 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> 0 e. ZZ )
2413ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> (♯ ` S ) e. ZZ )
25 fzodcel 10295 . . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ (♯ ` S ) e. ZZ ) -> DECID x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
2622, 23, 24, 25syl3anc 1250 . . . . 5 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> DECID x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
277, 20, 26ifcldadc 3605 . . . 4 |- ( ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) /\ x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) ) -> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) e. B )
2827fmpttd 5748 . . 3 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) : ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) --> B )
2912adantr 276 . . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> (♯ ` S ) e. NN0 )
3014adantl 277 . . . 4 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> (♯ ` T ) e. NN0 )
3129, 30nn0addcld 9372 . . 3 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) e. NN0 )
32 iswrdinn0 11021 . . 3 |- ( ( ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) : ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) --> B /\ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) e. NN0 ) -> ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) e. Word B )
3328, 31, 32syl2anc 411 . 2 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) e. Word B )
344, 33eqeltrd 2283 1 |- ( ( S e. Word B /\ T e. Word B ) -> ( S ++ T ) e. Word B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2177   ifcif 3575   |-> cmpt 4113   -->wf 5276   ` cfv 5280  (class class class)co 5957   Fincfn 6840   0cc0 7945   + caddc 7948   - cmin 8263   NN0cn0 9315   ZZcz 9392  ..^cfzo 10284  ♯chash 10942  Word cword 11016   ++ cconcat 11069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-frec 6490  df-1o 6515  df-er 6633  df-en 6841  df-dom 6842  df-fin 6843  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-fz 10151  df-fzo 10285  df-ihash 10943  df-word 11017  df-concat 11070
This theorem is referenced by:  ccatclab  11073  ccatsymb  11081  ccatass  11087  lswccatn0lsw  11090  ccatws1cl  11109  ccatswrd  11146  swrdccat2  11147  ccatpfx  11177  pfxccat1  11178
  Copyright terms: Public domain W3C validator