Theorem caucvgsrlemf 7804

Description: Lemma for caucvgsr 7814. Defining the sequence in terms of positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsr.f	|- ( ph -> F : N. --> R. )
caucvgsr.cau	|- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <R ( ( F ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( F ` k ) <R ( ( F ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
caucvgsrlemgt1.gt1	|- ( ph -> A. m e. N. 1R <R ( F ` m ) )
caucvgsrlemf.xfr	|- G = ( x e. N. |-> ( iota_ y e. P. ( F ` x ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemf	|- ( ph -> G : N. --> P. )

Distinct variable groups:   m, F   y, F   x, m   ph, x   x, y

Allowed substitution hints:   ph( y, u, k, m, n, l)   F( x, u, k, n, l)   G( x, y, u, k, m, n, l)

Proof of Theorem caucvgsrlemf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsr.f	. . 3 |- ( ph -> F : N. --> R. )
2		caucvgsrlemgt1.gt1	. . 3 |- ( ph -> A. m e. N. 1R <R ( F ` m ) )
3	1, 2	caucvgsrlemcl 7801	. 2 |- ( ( ph /\ x e. N. ) -> ( iota_ y e. P. ( F ` x ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) e. P. )
4		caucvgsrlemf.xfr	. 2 |- G = ( x e. N. |-> ( iota_ y e. P. ( F ` x ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) )
5	3, 4	fmptd 5683	1 |- ( ph -> G : N. --> P. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1363   {cab 2173   A.wral 2465   <.cop 3607   class class class wbr 4015   |-> cmpt 4076   -->wf 5224   ` cfv 5228   iota_crio 5843  (class class class)co 5888   1oc1o 6423   [cec 6546   N.cnpi 7284   <N clti 7287   ~Q ceq 7291   *Qcrq 7296   <Q cltq 7297   P.cnp 7303   1Pc1p 7304   +P. cpp 7305   ~R cer 7308   R.cnr 7309   1Rc1r 7311   +R cplr 7313   <R cltr 7315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-eprel 4301  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-1o 6430  df-2o 6431  df-oadd 6434  df-omul 6435  df-er 6548  df-ec 6550  df-qs 6554  df-ni 7316  df-pli 7317  df-mi 7318  df-lti 7319  df-plpq 7356  df-mpq 7357  df-enq 7359  df-nqqs 7360  df-plqqs 7361  df-mqqs 7362  df-1nqqs 7363  df-rq 7364  df-ltnqqs 7365  df-enq0 7436  df-nq0 7437  df-0nq0 7438  df-plq0 7439  df-mq0 7440  df-inp 7478  df-i1p 7479  df-iplp 7480  df-iltp 7482  df-enr 7738  df-nr 7739  df-ltr 7742  df-0r 7743  df-1r 7744

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemcau  7805  caucvgsrlembound  7806  caucvgsrlemgt1  7807