Theorem caucvgsrlemf 7790

Description: Lemma for caucvgsr 7800. Defining the sequence in terms of positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsr.f	|- ( ph -> F : N. --> R. )
caucvgsr.cau	|- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <R ( ( F ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( F ` k ) <R ( ( F ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
caucvgsrlemgt1.gt1	|- ( ph -> A. m e. N. 1R <R ( F ` m ) )
caucvgsrlemf.xfr	|- G = ( x e. N. |-> ( iota_ y e. P. ( F ` x ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemf	|- ( ph -> G : N. --> P. )

Distinct variable groups:   m, F   y, F   x, m   ph, x   x, y

Allowed substitution hints:   ph( y, u, k, m, n, l)   F( x, u, k, n, l)   G( x, y, u, k, m, n, l)

Proof of Theorem caucvgsrlemf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsr.f	. . 3 |- ( ph -> F : N. --> R. )
2		caucvgsrlemgt1.gt1	. . 3 |- ( ph -> A. m e. N. 1R <R ( F ` m ) )
3	1, 2	caucvgsrlemcl 7787	. 2 |- ( ( ph /\ x e. N. ) -> ( iota_ y e. P. ( F ` x ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) e. P. )
4		caucvgsrlemf.xfr	. 2 |- G = ( x e. N. |-> ( iota_ y e. P. ( F ` x ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) )
5	3, 4	fmptd 5670	1 |- ( ph -> G : N. --> P. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   {cab 2163   A.wral 2455   <.cop 3595   class class class wbr 4003   |-> cmpt 4064   -->wf 5212   ` cfv 5216   iota_crio 5829  (class class class)co 5874   1oc1o 6409   [cec 6532   N.cnpi 7270   <N clti 7273   ~Q ceq 7277   *Qcrq 7282   <Q cltq 7283   P.cnp 7289   1Pc1p 7290   +P. cpp 7291   ~R cer 7294   R.cnr 7295   1Rc1r 7297   +R cplr 7299   <R cltr 7301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-eprel 4289  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-1o 6416  df-2o 6417  df-oadd 6420  df-omul 6421  df-er 6534  df-ec 6536  df-qs 6540  df-ni 7302  df-pli 7303  df-mi 7304  df-lti 7305  df-plpq 7342  df-mpq 7343  df-enq 7345  df-nqqs 7346  df-plqqs 7347  df-mqqs 7348  df-1nqqs 7349  df-rq 7350  df-ltnqqs 7351  df-enq0 7422  df-nq0 7423  df-0nq0 7424  df-plq0 7425  df-mq0 7426  df-inp 7464  df-i1p 7465  df-iplp 7466  df-iltp 7468  df-enr 7724  df-nr 7725  df-ltr 7728  df-0r 7729  df-1r 7730

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemcau  7791  caucvgsrlembound  7792  caucvgsrlemgt1  7793