ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgsrlemf Unicode version

Theorem caucvgsrlemf 7811
Description: Lemma for caucvgsr 7821. Defining the sequence in terms of positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgsr.f  |-  ( ph  ->  F : N. --> R. )
caucvgsr.cau  |-  ( ph  ->  A. n  e.  N.  A. k  e.  N.  (
n  <N  k  ->  (
( F `  n
)  <R  ( ( F `
 k )  +R 
[ <. ( <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  /\  ( F `  k )  <R  (
( F `  n
)  +R  [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) ) )
caucvgsrlemgt1.gt1  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  1R  <R  ( F `  m ) )
caucvgsrlemf.xfr  |-  G  =  ( x  e.  N.  |->  ( iota_ y  e.  P.  ( F `  x )  =  [ <. (
y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
)
Assertion
Ref Expression
caucvgsrlemf  |-  ( ph  ->  G : N. --> P. )
Distinct variable groups:    m, F    y, F    x, m    ph, x    x, y
Allowed substitution hints:    ph( y, u, k, m, n, l)    F( x, u, k, n, l)    G( x, y, u, k, m, n, l)

Proof of Theorem caucvgsrlemf
StepHypRef Expression
1 caucvgsr.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : N. --> R. )
2 caucvgsrlemgt1.gt1 . . 3  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  1R  <R  ( F `  m ) )
31, 2caucvgsrlemcl 7808 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  N. )  ->  ( iota_ y  e.  P.  ( F `
 x )  =  [ <. ( y  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  e. 
P. )
4 caucvgsrlemf.xfr . 2  |-  G  =  ( x  e.  N.  |->  ( iota_ y  e.  P.  ( F `  x )  =  [ <. (
y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
)
53, 4fmptd 5687 1  |-  ( ph  ->  G : N. --> P. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1364   {cab 2175   A.wral 2468   <.cop 3610   class class class wbr 4018    |-> cmpt 4079   -->wf 5228   ` cfv 5232   iota_crio 5847  (class class class)co 5892   1oc1o 6429   [cec 6552   N.cnpi 7291    <N clti 7294    ~Q ceq 7298   *Qcrq 7303    <Q cltq 7304   P.cnp 7310   1Pc1p 7311    +P. cpp 7312    ~R cer 7315   R.cnr 7316   1Rc1r 7318    +R cplr 7320    <R cltr 7322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-recs 6325  df-irdg 6390  df-1o 6436  df-2o 6437  df-oadd 6440  df-omul 6441  df-er 6554  df-ec 6556  df-qs 6560  df-ni 7323  df-pli 7324  df-mi 7325  df-lti 7326  df-plpq 7363  df-mpq 7364  df-enq 7366  df-nqqs 7367  df-plqqs 7368  df-mqqs 7369  df-1nqqs 7370  df-rq 7371  df-ltnqqs 7372  df-enq0 7443  df-nq0 7444  df-0nq0 7445  df-plq0 7446  df-mq0 7447  df-inp 7485  df-i1p 7486  df-iplp 7487  df-iltp 7489  df-enr 7745  df-nr 7746  df-ltr 7749  df-0r 7750  df-1r 7751
This theorem is referenced by:  caucvgsrlemcau  7812  caucvgsrlembound  7813  caucvgsrlemgt1  7814
  Copyright terms: Public domain W3C validator