Theorem caucvgsrlemf 8159

Description: Lemma for caucvgsr 8169. Defining the sequence in terms of positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
caucvgsr.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <R ((𝐹‘𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹‘𝑘) <R ((𝐹‘𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
caucvgsrlemgt1.gt1	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 1R <R (𝐹‘𝑚))
caucvgsrlemf.xfr	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ N ↦ (℩𝑦 ∈ P (𝐹‘𝑥) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R ))

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemf	⊢ (𝜑 → 𝐺:N⟶P)

Distinct variable groups:   𝑚,𝐹   𝑦,𝐹   𝑥,𝑚   𝜑,𝑥   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦, 𝑢, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑙)   𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑘, 𝑛, 𝑙)   𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑙)

Proof of Theorem caucvgsrlemf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsr.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
2		caucvgsrlemgt1.gt1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 1R <R (𝐹‘𝑚))
3	1, 2	caucvgsrlemcl 8156	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ N) → (℩𝑦 ∈ P (𝐹‘𝑥) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∈ P)
4		caucvgsrlemf.xfr	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ N ↦ (℩𝑦 ∈ P (𝐹‘𝑥) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R ))
5	3, 4	fmptd 5862	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:N⟶P)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402  {cab 2224  ∀wral 2528  ⟨cop 3712   class class class wbr 4130   ↦ cmpt 4192  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  ℩crio 6037  (class class class)co 6085  1_oc1o 6680  [cec 6805  Ncnpi 7639   <_N clti 7642   ~_Q ceq 7646  *_Qcrq 7651   <_Q cltq 7652  Pcnp 7658  1_Pc1p 7659   +_P cpp 7660   ~_R cer 7663  Rcnr 7664  1_Rc1r 7666   +_R cplr 7668   <_R cltr 7670

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-eprel 4434  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-er 6807  df-ec 6809  df-qs 6813  df-ni 7671  df-pli 7672  df-mi 7673  df-lti 7674  df-plpq 7711  df-mpq 7712  df-enq 7714  df-nqqs 7715  df-plqqs 7716  df-mqqs 7717  df-1nqqs 7718  df-rq 7719  df-ltnqqs 7720  df-enq0 7791  df-nq0 7792  df-0nq0 7793  df-plq0 7794  df-mq0 7795  df-inp 7833  df-i1p 7834  df-iplp 7835  df-iltp 7837  df-enr 8093  df-nr 8094  df-ltr 8097  df-0r 8098  df-1r 8099

This theorem is used by:  caucvgsrlemcau  8160  caucvgsrlembound  8161  caucvgsrlemgt1  8162