Theorem caucvgsrlembound 8151

Description: Lemma for caucvgsr 8159. Defining the boundedness condition in terms of positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsr.f	|- ( ph -> F : N. --> R. )
caucvgsr.cau	|- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <R ( ( F ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( F ` k ) <R ( ( F ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
caucvgsrlemgt1.gt1	|- ( ph -> A. m e. N. 1R <R ( F ` m ) )
caucvgsrlemf.xfr	|- G = ( x e. N. |-> ( iota_ y e. P. ( F ` x ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlembound	|- ( ph -> A. m e. N. 1P <P ( G ` m ) )

Distinct variable groups:   m, F, x, y   ph, x   m, G

Allowed substitution hints:   ph( y, u, k, m, n, l)   F( u, k, n, l)   G( x, y, u, k, n, l)

Proof of Theorem caucvgsrlembound

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsrlemgt1.gt1	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. m e. N. 1R <R ( F ` m ) )
2		fveq2 5690	. . . . . . . . 9 |- ( m = w -> ( F ` m ) = ( F ` w ) )
3	2	breq2d 4137	. . . . . . . 8 |- ( m = w -> ( 1R <R ( F ` m ) <-> 1R <R ( F ` w ) ) )
4	3	cbvralv 2786	. . . . . . 7 |- ( A. m e. N. 1R <R ( F ` m ) <-> A. w e. N. 1R <R ( F ` w ) )
5	1, 4	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> A. w e. N. 1R <R ( F ` w ) )
6	5	r19.21bi 2638	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. N. ) -> 1R <R ( F ` w ) )
7		df-1r 8089	. . . . . . 7 |- 1R = [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R
8	7	eqcomi 2242	. . . . . 6 |- [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = 1R
9	8	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. N. ) -> [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = 1R )
10		caucvgsr.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : N. --> R. )
11		caucvgsr.cau	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <R ( ( F ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( F ` k ) <R ( ( F ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
12		caucvgsrlemf.xfr	. . . . . 6 |- G = ( x e. N. |-> ( iota_ y e. P. ( F ` x ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) )
13	10, 11, 1, 12	caucvgsrlemfv 8148	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. N. ) -> [ <. ( ( G ` w ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = ( F ` w ) )
14	6, 9, 13	3brtr4d 4157	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. N. ) -> [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R <R [ <. ( ( G ` w ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
15		1pr 7911	. . . . 5 |- 1P e. P.
16	10, 11, 1, 12	caucvgsrlemf 8149	. . . . . 6 |- ( ph -> G : N. --> P. )
17	16	ffvelcdmda 5834	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. N. ) -> ( G ` w ) e. P. )
18		prsrlt 8144	. . . . 5 |- ( ( 1P e. P. /\ ( G ` w ) e. P. ) -> ( 1P <P ( G ` w ) <-> [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R <R [ <. ( ( G ` w ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) )
19	15, 17, 18	sylancr 418	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. N. ) -> ( 1P <P ( G ` w ) <-> [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R <R [ <. ( ( G ` w ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) )
20	14, 19	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ph /\ w e. N. ) -> 1P <P ( G ` w ) )
21	20	ralrimiva 2623	. 2 |- ( ph -> A. w e. N. 1P <P ( G ` w ) )
22		fveq2 5690	. . . 4 |- ( w = m -> ( G ` w ) = ( G ` m ) )
23	22	breq2d 4137	. . 3 |- ( w = m -> ( 1P <P ( G ` w ) <-> 1P <P ( G ` m ) ) )
24	23	cbvralv 2786	. 2 |- ( A. w e. N. 1P <P ( G ` w ) <-> A. m e. N. 1P <P ( G ` m ) )
25	21, 24	sylib 122	1 |- ( ph -> A. m e. N. 1P <P ( G ` m ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   A.wral 2528   <.cop 3708   class class class wbr 4125   |-> cmpt 4187   -->wf 5368   ` cfv 5372   iota_crio 6027  (class class class)co 6075   1oc1o 6670   [cec 6795   N.cnpi 7629   <N clti 7632   ~Q ceq 7636   *Qcrq 7641   <Q cltq 7642   P.cnp 7648   1Pc1p 7649   +P. cpp 7650   <P cltp 7652   ~R cer 7653   R.cnr 7654   1Rc1r 7656   +R cplr 7658   <R cltr 7660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-eprel 4429  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-1o 6677  df-2o 6678  df-oadd 6681  df-omul 6682  df-er 6797  df-ec 6799  df-qs 6803  df-ni 7661  df-pli 7662  df-mi 7663  df-lti 7664  df-plpq 7701  df-mpq 7702  df-enq 7704  df-nqqs 7705  df-plqqs 7706  df-mqqs 7707  df-1nqqs 7708  df-rq 7709  df-ltnqqs 7710  df-enq0 7781  df-nq0 7782  df-0nq0 7783  df-plq0 7784  df-mq0 7785  df-inp 7823  df-i1p 7824  df-iplp 7825  df-iltp 7827  df-enr 8083  df-nr 8084  df-ltr 8087  df-0r 8088  df-1r 8089

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemgt1  8152