Theorem caucvgsrlembound 7854

Description: Lemma for caucvgsr 7862. Defining the boundedness condition in terms of positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsr.f	|- ( ph -> F : N. --> R. )
caucvgsr.cau	|- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <R ( ( F ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( F ` k ) <R ( ( F ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
caucvgsrlemgt1.gt1	|- ( ph -> A. m e. N. 1R <R ( F ` m ) )
caucvgsrlemf.xfr	|- G = ( x e. N. |-> ( iota_ y e. P. ( F ` x ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlembound	|- ( ph -> A. m e. N. 1P <P ( G ` m ) )

Distinct variable groups:   m, F, x, y   ph, x   m, G

Allowed substitution hints:   ph( y, u, k, m, n, l)   F( u, k, n, l)   G( x, y, u, k, n, l)

Proof of Theorem caucvgsrlembound

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsrlemgt1.gt1	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. m e. N. 1R <R ( F ` m ) )
2		fveq2 5554	. . . . . . . . 9 |- ( m = w -> ( F ` m ) = ( F ` w ) )
3	2	breq2d 4041	. . . . . . . 8 |- ( m = w -> ( 1R <R ( F ` m ) <-> 1R <R ( F ` w ) ) )
4	3	cbvralv 2726	. . . . . . 7 |- ( A. m e. N. 1R <R ( F ` m ) <-> A. w e. N. 1R <R ( F ` w ) )
5	1, 4	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> A. w e. N. 1R <R ( F ` w ) )
6	5	r19.21bi 2582	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. N. ) -> 1R <R ( F ` w ) )
7		df-1r 7792	. . . . . . 7 |- 1R = [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R
8	7	eqcomi 2197	. . . . . 6 |- [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = 1R
9	8	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. N. ) -> [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = 1R )
10		caucvgsr.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : N. --> R. )
11		caucvgsr.cau	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <R ( ( F ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( F ` k ) <R ( ( F ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
12		caucvgsrlemf.xfr	. . . . . 6 |- G = ( x e. N. |-> ( iota_ y e. P. ( F ` x ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) )
13	10, 11, 1, 12	caucvgsrlemfv 7851	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. N. ) -> [ <. ( ( G ` w ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = ( F ` w ) )
14	6, 9, 13	3brtr4d 4061	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. N. ) -> [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R <R [ <. ( ( G ` w ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
15		1pr 7614	. . . . 5 |- 1P e. P.
16	10, 11, 1, 12	caucvgsrlemf 7852	. . . . . 6 |- ( ph -> G : N. --> P. )
17	16	ffvelcdmda 5693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. N. ) -> ( G ` w ) e. P. )
18		prsrlt 7847	. . . . 5 |- ( ( 1P e. P. /\ ( G ` w ) e. P. ) -> ( 1P <P ( G ` w ) <-> [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R <R [ <. ( ( G ` w ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) )
19	15, 17, 18	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. N. ) -> ( 1P <P ( G ` w ) <-> [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R <R [ <. ( ( G ` w ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) )
20	14, 19	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ph /\ w e. N. ) -> 1P <P ( G ` w ) )
21	20	ralrimiva 2567	. 2 |- ( ph -> A. w e. N. 1P <P ( G ` w ) )
22		fveq2 5554	. . . 4 |- ( w = m -> ( G ` w ) = ( G ` m ) )
23	22	breq2d 4041	. . 3 |- ( w = m -> ( 1P <P ( G ` w ) <-> 1P <P ( G ` m ) ) )
24	23	cbvralv 2726	. 2 |- ( A. w e. N. 1P <P ( G ` w ) <-> A. m e. N. 1P <P ( G ` m ) )
25	21, 24	sylib 122	1 |- ( ph -> A. m e. N. 1P <P ( G ` m ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   {cab 2179   A.wral 2472   <.cop 3621   class class class wbr 4029   |-> cmpt 4090   -->wf 5250   ` cfv 5254   iota_crio 5872  (class class class)co 5918   1oc1o 6462   [cec 6585   N.cnpi 7332   <N clti 7335   ~Q ceq 7339   *Qcrq 7344   <Q cltq 7345   P.cnp 7351   1Pc1p 7352   +P. cpp 7353   <P cltp 7355   ~R cer 7356   R.cnr 7357   1Rc1r 7359   +R cplr 7361   <R cltr 7363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-eprel 4320  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-1o 6469  df-2o 6470  df-oadd 6473  df-omul 6474  df-er 6587  df-ec 6589  df-qs 6593  df-ni 7364  df-pli 7365  df-mi 7366  df-lti 7367  df-plpq 7404  df-mpq 7405  df-enq 7407  df-nqqs 7408  df-plqqs 7409  df-mqqs 7410  df-1nqqs 7411  df-rq 7412  df-ltnqqs 7413  df-enq0 7484  df-nq0 7485  df-0nq0 7486  df-plq0 7487  df-mq0 7488  df-inp 7526  df-i1p 7527  df-iplp 7528  df-iltp 7530  df-enr 7786  df-nr 7787  df-ltr 7790  df-0r 7791  df-1r 7792

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemgt1  7855