Theorem caucvgsrlembound 8167

Description: Lemma for caucvgsr 8175. Defining the boundedness condition in terms of positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsr.f	|- ( ph -> F : N. --> R. )
caucvgsr.cau	|- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <R ( ( F ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( F ` k ) <R ( ( F ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
caucvgsrlemgt1.gt1	|- ( ph -> A. m e. N. 1R <R ( F ` m ) )
caucvgsrlemf.xfr	|- G = ( x e. N. |-> ( iota_ y e. P. ( F ` x ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlembound	|- ( ph -> A. m e. N. 1P <P ( G ` m ) )

Distinct variable groups:   m, F, x, y   ph, x   m, G

Allowed substitution hints:   ph( y, u, k, m, n, l)   F( u, k, n, l)   G( x, y, u, k, n, l)

Proof of Theorem caucvgsrlembound

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsrlemgt1.gt1	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. m e. N. 1R <R ( F ` m ) )
2		fveq2 5698	. . . . . . . . 9 |- ( m = w -> ( F ` m ) = ( F ` w ) )
3	2	breq2d 4143	. . . . . . . 8 |- ( m = w -> ( 1R <R ( F ` m ) <-> 1R <R ( F ` w ) ) )
4	3	cbvralv 2786	. . . . . . 7 |- ( A. m e. N. 1R <R ( F ` m ) <-> A. w e. N. 1R <R ( F ` w ) )
5	1, 4	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> A. w e. N. 1R <R ( F ` w ) )
6	5	r19.21bi 2638	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. N. ) -> 1R <R ( F ` w ) )
7		df-1r 8105	. . . . . . 7 |- 1R = [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R
8	7	eqcomi 2242	. . . . . 6 |- [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = 1R
9	8	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. N. ) -> [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = 1R )
10		caucvgsr.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : N. --> R. )
11		caucvgsr.cau	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <R ( ( F ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( F ` k ) <R ( ( F ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
12		caucvgsrlemf.xfr	. . . . . 6 |- G = ( x e. N. |-> ( iota_ y e. P. ( F ` x ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) )
13	10, 11, 1, 12	caucvgsrlemfv 8164	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. N. ) -> [ <. ( ( G ` w ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = ( F ` w ) )
14	6, 9, 13	3brtr4d 4163	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. N. ) -> [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R <R [ <. ( ( G ` w ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
15		1pr 7927	. . . . 5 |- 1P e. P.
16	10, 11, 1, 12	caucvgsrlemf 8165	. . . . . 6 |- ( ph -> G : N. --> P. )
17	16	ffvelcdmda 5846	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. N. ) -> ( G ` w ) e. P. )
18		prsrlt 8160	. . . . 5 |- ( ( 1P e. P. /\ ( G ` w ) e. P. ) -> ( 1P <P ( G ` w ) <-> [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R <R [ <. ( ( G ` w ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) )
19	15, 17, 18	sylancr 418	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. N. ) -> ( 1P <P ( G ` w ) <-> [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R <R [ <. ( ( G ` w ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) )
20	14, 19	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ph /\ w e. N. ) -> 1P <P ( G ` w ) )
21	20	ralrimiva 2623	. 2 |- ( ph -> A. w e. N. 1P <P ( G ` w ) )
22		fveq2 5698	. . . 4 |- ( w = m -> ( G ` w ) = ( G ` m ) )
23	22	breq2d 4143	. . 3 |- ( w = m -> ( 1P <P ( G ` w ) <-> 1P <P ( G ` m ) ) )
24	23	cbvralv 2786	. 2 |- ( A. w e. N. 1P <P ( G ` w ) <-> A. m e. N. 1P <P ( G ` m ) )
25	21, 24	sylib 122	1 |- ( ph -> A. m e. N. 1P <P ( G ` m ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   A.wral 2528   <.cop 3712   class class class wbr 4131   |-> cmpt 4193   -->wf 5376   ` cfv 5380   iota_crio 6040  (class class class)co 6088   1oc1o 6684   [cec 6809   N.cnpi 7645   <N clti 7648   ~Q ceq 7652   *Qcrq 7657   <Q cltq 7658   P.cnp 7664   1Pc1p 7665   +P. cpp 7666   <P cltp 7668   ~R cer 7669   R.cnr 7670   1Rc1r 7672   +R cplr 7674   <R cltr 7676

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-er 6811  df-ec 6813  df-qs 6817  df-ni 7677  df-pli 7678  df-mi 7679  df-lti 7680  df-plpq 7717  df-mpq 7718  df-enq 7720  df-nqqs 7721  df-plqqs 7722  df-mqqs 7723  df-1nqqs 7724  df-rq 7725  df-ltnqqs 7726  df-enq0 7797  df-nq0 7798  df-0nq0 7799  df-plq0 7800  df-mq0 7801  df-inp 7839  df-i1p 7840  df-iplp 7841  df-iltp 7843  df-enr 8099  df-nr 8100  df-ltr 8103  df-0r 8104  df-1r 8105

This theorem is used by:  caucvgsrlemgt1  8168