Theorem caucvgsrlembound 7907

Description: Lemma for caucvgsr 7915. Defining the boundedness condition in terms of positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsr.f	|- ( ph -> F : N. --> R. )
caucvgsr.cau	|- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <R ( ( F ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( F ` k ) <R ( ( F ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
caucvgsrlemgt1.gt1	|- ( ph -> A. m e. N. 1R <R ( F ` m ) )
caucvgsrlemf.xfr	|- G = ( x e. N. |-> ( iota_ y e. P. ( F ` x ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlembound	|- ( ph -> A. m e. N. 1P <P ( G ` m ) )

Distinct variable groups:   m, F, x, y   ph, x   m, G

Allowed substitution hints:   ph( y, u, k, m, n, l)   F( u, k, n, l)   G( x, y, u, k, n, l)

Proof of Theorem caucvgsrlembound

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsrlemgt1.gt1	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. m e. N. 1R <R ( F ` m ) )
2		fveq2 5576	. . . . . . . . 9 |- ( m = w -> ( F ` m ) = ( F ` w ) )
3	2	breq2d 4056	. . . . . . . 8 |- ( m = w -> ( 1R <R ( F ` m ) <-> 1R <R ( F ` w ) ) )
4	3	cbvralv 2738	. . . . . . 7 |- ( A. m e. N. 1R <R ( F ` m ) <-> A. w e. N. 1R <R ( F ` w ) )
5	1, 4	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> A. w e. N. 1R <R ( F ` w ) )
6	5	r19.21bi 2594	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. N. ) -> 1R <R ( F ` w ) )
7		df-1r 7845	. . . . . . 7 |- 1R = [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R
8	7	eqcomi 2209	. . . . . 6 |- [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = 1R
9	8	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. N. ) -> [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = 1R )
10		caucvgsr.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : N. --> R. )
11		caucvgsr.cau	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <R ( ( F ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( F ` k ) <R ( ( F ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
12		caucvgsrlemf.xfr	. . . . . 6 |- G = ( x e. N. |-> ( iota_ y e. P. ( F ` x ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) )
13	10, 11, 1, 12	caucvgsrlemfv 7904	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. N. ) -> [ <. ( ( G ` w ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = ( F ` w ) )
14	6, 9, 13	3brtr4d 4076	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. N. ) -> [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R <R [ <. ( ( G ` w ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
15		1pr 7667	. . . . 5 |- 1P e. P.
16	10, 11, 1, 12	caucvgsrlemf 7905	. . . . . 6 |- ( ph -> G : N. --> P. )
17	16	ffvelcdmda 5715	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. N. ) -> ( G ` w ) e. P. )
18		prsrlt 7900	. . . . 5 |- ( ( 1P e. P. /\ ( G ` w ) e. P. ) -> ( 1P <P ( G ` w ) <-> [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R <R [ <. ( ( G ` w ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) )
19	15, 17, 18	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. N. ) -> ( 1P <P ( G ` w ) <-> [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R <R [ <. ( ( G ` w ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) )
20	14, 19	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ph /\ w e. N. ) -> 1P <P ( G ` w ) )
21	20	ralrimiva 2579	. 2 |- ( ph -> A. w e. N. 1P <P ( G ` w ) )
22		fveq2 5576	. . . 4 |- ( w = m -> ( G ` w ) = ( G ` m ) )
23	22	breq2d 4056	. . 3 |- ( w = m -> ( 1P <P ( G ` w ) <-> 1P <P ( G ` m ) ) )
24	23	cbvralv 2738	. 2 |- ( A. w e. N. 1P <P ( G ` w ) <-> A. m e. N. 1P <P ( G ` m ) )
25	21, 24	sylib 122	1 |- ( ph -> A. m e. N. 1P <P ( G ` m ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   {cab 2191   A.wral 2484   <.cop 3636   class class class wbr 4044   |-> cmpt 4105   -->wf 5267   ` cfv 5271   iota_crio 5898  (class class class)co 5944   1oc1o 6495   [cec 6618   N.cnpi 7385   <N clti 7388   ~Q ceq 7392   *Qcrq 7397   <Q cltq 7398   P.cnp 7404   1Pc1p 7405   +P. cpp 7406   <P cltp 7408   ~R cer 7409   R.cnr 7410   1Rc1r 7412   +R cplr 7414   <R cltr 7416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-eprel 4336  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-irdg 6456  df-1o 6502  df-2o 6503  df-oadd 6506  df-omul 6507  df-er 6620  df-ec 6622  df-qs 6626  df-ni 7417  df-pli 7418  df-mi 7419  df-lti 7420  df-plpq 7457  df-mpq 7458  df-enq 7460  df-nqqs 7461  df-plqqs 7462  df-mqqs 7463  df-1nqqs 7464  df-rq 7465  df-ltnqqs 7466  df-enq0 7537  df-nq0 7538  df-0nq0 7539  df-plq0 7540  df-mq0 7541  df-inp 7579  df-i1p 7580  df-iplp 7581  df-iltp 7583  df-enr 7839  df-nr 7840  df-ltr 7843  df-0r 7844  df-1r 7845

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemgt1  7908