Theorem caucvgsrlembound 7795

Description: Lemma for caucvgsr 7803. Defining the boundedness condition in terms of positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsr.f	|- ( ph -> F : N. --> R. )
caucvgsr.cau	|- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <R ( ( F ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( F ` k ) <R ( ( F ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
caucvgsrlemgt1.gt1	|- ( ph -> A. m e. N. 1R <R ( F ` m ) )
caucvgsrlemf.xfr	|- G = ( x e. N. |-> ( iota_ y e. P. ( F ` x ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlembound	|- ( ph -> A. m e. N. 1P <P ( G ` m ) )

Distinct variable groups:   m, F, x, y   ph, x   m, G

Allowed substitution hints:   ph( y, u, k, m, n, l)   F( u, k, n, l)   G( x, y, u, k, n, l)

Proof of Theorem caucvgsrlembound

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsrlemgt1.gt1	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. m e. N. 1R <R ( F ` m ) )
2		fveq2 5517	. . . . . . . . 9 |- ( m = w -> ( F ` m ) = ( F ` w ) )
3	2	breq2d 4017	. . . . . . . 8 |- ( m = w -> ( 1R <R ( F ` m ) <-> 1R <R ( F ` w ) ) )
4	3	cbvralv 2705	. . . . . . 7 |- ( A. m e. N. 1R <R ( F ` m ) <-> A. w e. N. 1R <R ( F ` w ) )
5	1, 4	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> A. w e. N. 1R <R ( F ` w ) )
6	5	r19.21bi 2565	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. N. ) -> 1R <R ( F ` w ) )
7		df-1r 7733	. . . . . . 7 |- 1R = [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R
8	7	eqcomi 2181	. . . . . 6 |- [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = 1R
9	8	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. N. ) -> [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = 1R )
10		caucvgsr.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : N. --> R. )
11		caucvgsr.cau	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <R ( ( F ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( F ` k ) <R ( ( F ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
12		caucvgsrlemf.xfr	. . . . . 6 |- G = ( x e. N. |-> ( iota_ y e. P. ( F ` x ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) )
13	10, 11, 1, 12	caucvgsrlemfv 7792	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. N. ) -> [ <. ( ( G ` w ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = ( F ` w ) )
14	6, 9, 13	3brtr4d 4037	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. N. ) -> [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R <R [ <. ( ( G ` w ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
15		1pr 7555	. . . . 5 |- 1P e. P.
16	10, 11, 1, 12	caucvgsrlemf 7793	. . . . . 6 |- ( ph -> G : N. --> P. )
17	16	ffvelcdmda 5653	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. N. ) -> ( G ` w ) e. P. )
18		prsrlt 7788	. . . . 5 |- ( ( 1P e. P. /\ ( G ` w ) e. P. ) -> ( 1P <P ( G ` w ) <-> [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R <R [ <. ( ( G ` w ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) )
19	15, 17, 18	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. N. ) -> ( 1P <P ( G ` w ) <-> [ <. ( 1P +P. 1P ) , 1P >. ] ~R <R [ <. ( ( G ` w ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) )
20	14, 19	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ph /\ w e. N. ) -> 1P <P ( G ` w ) )
21	20	ralrimiva 2550	. 2 |- ( ph -> A. w e. N. 1P <P ( G ` w ) )
22		fveq2 5517	. . . 4 |- ( w = m -> ( G ` w ) = ( G ` m ) )
23	22	breq2d 4017	. . 3 |- ( w = m -> ( 1P <P ( G ` w ) <-> 1P <P ( G ` m ) ) )
24	23	cbvralv 2705	. 2 |- ( A. w e. N. 1P <P ( G ` w ) <-> A. m e. N. 1P <P ( G ` m ) )
25	21, 24	sylib 122	1 |- ( ph -> A. m e. N. 1P <P ( G ` m ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   {cab 2163   A.wral 2455   <.cop 3597   class class class wbr 4005   |-> cmpt 4066   -->wf 5214   ` cfv 5218   iota_crio 5832  (class class class)co 5877   1oc1o 6412   [cec 6535   N.cnpi 7273   <N clti 7276   ~Q ceq 7280   *Qcrq 7285   <Q cltq 7286   P.cnp 7292   1Pc1p 7293   +P. cpp 7294   <P cltp 7296   ~R cer 7297   R.cnr 7298   1Rc1r 7300   +R cplr 7302   <R cltr 7304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-1o 6419  df-2o 6420  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-er 6537  df-ec 6539  df-qs 6543  df-ni 7305  df-pli 7306  df-mi 7307  df-lti 7308  df-plpq 7345  df-mpq 7346  df-enq 7348  df-nqqs 7349  df-plqqs 7350  df-mqqs 7351  df-1nqqs 7352  df-rq 7353  df-ltnqqs 7354  df-enq0 7425  df-nq0 7426  df-0nq0 7427  df-plq0 7428  df-mq0 7429  df-inp 7467  df-i1p 7468  df-iplp 7469  df-iltp 7471  df-enr 7727  df-nr 7728  df-ltr 7731  df-0r 7732  df-1r 7733

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemgt1  7796