Theorem znzrh2 14625

Description: The ZZ ring homomorphism maps elements to their equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znzrh2.s	|- S = (RSpan ` ℤring )
znzrh2.r	|- .~ = (ℤring ~QG ( S ` { N } ) )
znzrh2.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znzrh2.2	|- L = ( ZRHom ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znzrh2	|- ( N e. NN0 -> L = ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) )

Distinct variable groups:   x, N   x, .~   x, S

Allowed substitution hints:   L( x)   Y( x)

Proof of Theorem znzrh2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znzrh2.2	. 2 |- L = ( ZRHom ` Y )
2		zringring 14572	. . . . 5 |- ℤring e. Ring
3		nn0z 9477	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
4		znzrh2.s	. . . . . . 7 |- S = (RSpan ` ℤring )
5	4	znlidl 14613	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( S ` { N } ) e. (LIdeal ` ℤring ) )
6	3, 5	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( S ` { N } ) e. (LIdeal ` ℤring ) )
7		znzrh2.r	. . . . . . 7 |- .~ = (ℤring ~QG ( S ` { N } ) )
8	7	oveq2i 6018	. . . . . 6 |- (ℤring /.s .~ ) = (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) )
9		zringcrng 14571	. . . . . . 7 |- ℤring e. CRing
10		eqid 2229	. . . . . . . 8 |- (LIdeal ` ℤring ) = (LIdeal ` ℤring )
11	10	crng2idl 14510	. . . . . . 7 |- (ℤring e. CRing -> (LIdeal ` ℤring ) = (2Ideal ` ℤring ) )
12	9, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 |- (LIdeal ` ℤring ) = (2Ideal ` ℤring )
13		zringbas 14575	. . . . . 6 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
14		eceq2 6725	. . . . . . . 8 |- ( .~ = (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) -> [ x ] .~ = [ x ] (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) )
15	7, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- [ x ] .~ = [ x ] (ℤring ~QG ( S ` { N } ) )
16	15	mpteq2i 4171	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) = ( x e. ZZ |-> [ x ] (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) )
17	8, 12, 13, 16	qusrhm 14507	. . . . 5 |- ( (ℤring e. Ring /\ ( S ` { N } ) e. (LIdeal ` ℤring ) ) -> ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) e. (ℤring RingHom (ℤring /.s .~ ) ) )
18	2, 6, 17	sylancr 414	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) e. (ℤring RingHom (ℤring /.s .~ ) ) )
19	4, 8	zncrng2 14614	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> (ℤring /.s .~ ) e. CRing )
20		crngring 13986	. . . . 5 |- ( (ℤring /.s .~ ) e. CRing -> (ℤring /.s .~ ) e. Ring )
21		eqid 2229	. . . . . 6 |- ( ZRHom ` (ℤring /.s .~ ) ) = ( ZRHom ` (ℤring /.s .~ ) )
22	21	zrhrhmb 14601	. . . . 5 |- ( (ℤring /.s .~ ) e. Ring -> ( ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) e. (ℤring RingHom (ℤring /.s .~ ) ) <-> ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) = ( ZRHom ` (ℤring /.s .~ ) ) ) )
23	3, 19, 20, 22	4syl 18	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) e. (ℤring RingHom (ℤring /.s .~ ) ) <-> ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) = ( ZRHom ` (ℤring /.s .~ ) ) ) )
24	18, 23	mpbid 147	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) = ( ZRHom ` (ℤring /.s .~ ) ) )
25		znzrh2.y	. . . 4 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
26	4, 8, 25	znzrh 14622	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ZRHom ` (ℤring /.s .~ ) ) = ( ZRHom ` Y ) )
27	24, 26	eqtr2d 2263	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ZRHom ` Y ) = ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) )
28	1, 27	eqtrid 2274	1 |- ( N e. NN0 -> L = ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   {csn 3666   |-> cmpt 4145   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   [cec 6686   NN0cn0 9380   ZZcz 9457   /._s cqus 13348   ~_QG cqg 13721   Ringcrg 13974   CRingccrg 13975   RingHom crh 14129  LIdealclidl 14446  RSpancrsp 14447  2Idealc2idl 14478  ℤ_ringczring 14569   ZRHomczrh 14590  ℤ/nℤczn 14592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-addf 8132  ax-mulf 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-tpos 6397  df-recs 6457  df-frec 6543  df-er 6688  df-ec 6690  df-qs 6694  df-map 6805  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-7 9185  df-8 9186  df-9 9187  df-n0 9381  df-z 9458  df-dec 9590  df-uz 9734  df-rp 9862  df-fz 10217  df-fzo 10351  df-seqfrec 10682  df-cj 11368  df-abs 11525  df-struct 13049  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-sets 13054  df-iress 13055  df-plusg 13138  df-mulr 13139  df-starv 13140  df-sca 13141  df-vsca 13142  df-ip 13143  df-tset 13144  df-ple 13145  df-ds 13147  df-unif 13148  df-0g 13306  df-topgen 13308  df-iimas 13350  df-qus 13351  df-mgm 13404  df-sgrp 13450  df-mnd 13465  df-mhm 13507  df-grp 13551  df-minusg 13552  df-sbg 13553  df-mulg 13672  df-subg 13722  df-nsg 13723  df-eqg 13724  df-ghm 13793  df-cmn 13838  df-abl 13839  df-mgp 13899  df-rng 13911  df-ur 13938  df-srg 13942  df-ring 13976  df-cring 13977  df-oppr 14046  df-rhm 14131  df-subrg 14198  df-lmod 14268  df-lssm 14332  df-lsp 14366  df-sra 14414  df-rgmod 14415  df-lidl 14448  df-rsp 14449  df-2idl 14479  df-bl 14525  df-mopn 14526  df-fg 14528  df-metu 14529  df-cnfld 14536  df-zring 14570  df-zrh 14593  df-zn 14595

This theorem is referenced by:  znzrhval  14626  znzrhfo  14627