Theorem znzrh2 14483

Description: The ZZ ring homomorphism maps elements to their equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znzrh2.s	|- S = (RSpan ` ℤring )
znzrh2.r	|- .~ = (ℤring ~QG ( S ` { N } ) )
znzrh2.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znzrh2.2	|- L = ( ZRHom ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znzrh2	|- ( N e. NN0 -> L = ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) )

Distinct variable groups:   x, N   x, .~   x, S

Allowed substitution hints:   L( x)   Y( x)

Proof of Theorem znzrh2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znzrh2.2	. 2 |- L = ( ZRHom ` Y )
2		zringring 14430	. . . . 5 |- ℤring e. Ring
3		nn0z 9412	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
4		znzrh2.s	. . . . . . 7 |- S = (RSpan ` ℤring )
5	4	znlidl 14471	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( S ` { N } ) e. (LIdeal ` ℤring ) )
6	3, 5	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( S ` { N } ) e. (LIdeal ` ℤring ) )
7		znzrh2.r	. . . . . . 7 |- .~ = (ℤring ~QG ( S ` { N } ) )
8	7	oveq2i 5968	. . . . . 6 |- (ℤring /.s .~ ) = (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) )
9		zringcrng 14429	. . . . . . 7 |- ℤring e. CRing
10		eqid 2206	. . . . . . . 8 |- (LIdeal ` ℤring ) = (LIdeal ` ℤring )
11	10	crng2idl 14368	. . . . . . 7 |- (ℤring e. CRing -> (LIdeal ` ℤring ) = (2Ideal ` ℤring ) )
12	9, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 |- (LIdeal ` ℤring ) = (2Ideal ` ℤring )
13		zringbas 14433	. . . . . 6 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
14		eceq2 6670	. . . . . . . 8 |- ( .~ = (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) -> [ x ] .~ = [ x ] (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) )
15	7, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- [ x ] .~ = [ x ] (ℤring ~QG ( S ` { N } ) )
16	15	mpteq2i 4139	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) = ( x e. ZZ |-> [ x ] (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) )
17	8, 12, 13, 16	qusrhm 14365	. . . . 5 |- ( (ℤring e. Ring /\ ( S ` { N } ) e. (LIdeal ` ℤring ) ) -> ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) e. (ℤring RingHom (ℤring /.s .~ ) ) )
18	2, 6, 17	sylancr 414	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) e. (ℤring RingHom (ℤring /.s .~ ) ) )
19	4, 8	zncrng2 14472	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> (ℤring /.s .~ ) e. CRing )
20		crngring 13845	. . . . 5 |- ( (ℤring /.s .~ ) e. CRing -> (ℤring /.s .~ ) e. Ring )
21		eqid 2206	. . . . . 6 |- ( ZRHom ` (ℤring /.s .~ ) ) = ( ZRHom ` (ℤring /.s .~ ) )
22	21	zrhrhmb 14459	. . . . 5 |- ( (ℤring /.s .~ ) e. Ring -> ( ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) e. (ℤring RingHom (ℤring /.s .~ ) ) <-> ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) = ( ZRHom ` (ℤring /.s .~ ) ) ) )
23	3, 19, 20, 22	4syl 18	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) e. (ℤring RingHom (ℤring /.s .~ ) ) <-> ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) = ( ZRHom ` (ℤring /.s .~ ) ) ) )
24	18, 23	mpbid 147	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) = ( ZRHom ` (ℤring /.s .~ ) ) )
25		znzrh2.y	. . . 4 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
26	4, 8, 25	znzrh 14480	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ZRHom ` (ℤring /.s .~ ) ) = ( ZRHom ` Y ) )
27	24, 26	eqtr2d 2240	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ZRHom ` Y ) = ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) )
28	1, 27	eqtrid 2251	1 |- ( N e. NN0 -> L = ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2177   {csn 3638   |-> cmpt 4113   ` cfv 5280  (class class class)co 5957   [cec 6631   NN0cn0 9315   ZZcz 9392   /._s cqus 13207   ~_QG cqg 13580   Ringcrg 13833   CRingccrg 13834   RingHom crh 13987  LIdealclidl 14304  RSpancrsp 14305  2Idealc2idl 14336  ℤ_ringczring 14427   ZRHomczrh 14448  ℤ/nℤczn 14450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062  ax-addf 8067  ax-mulf 8068

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-tp 3646  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-tpos 6344  df-recs 6404  df-frec 6490  df-er 6633  df-ec 6635  df-qs 6639  df-map 6750  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-reap 8668  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-5 9118  df-6 9119  df-7 9120  df-8 9121  df-9 9122  df-n0 9316  df-z 9393  df-dec 9525  df-uz 9669  df-rp 9796  df-fz 10151  df-fzo 10285  df-seqfrec 10615  df-cj 11228  df-abs 11385  df-struct 12909  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-sets 12914  df-iress 12915  df-plusg 12997  df-mulr 12998  df-starv 12999  df-sca 13000  df-vsca 13001  df-ip 13002  df-tset 13003  df-ple 13004  df-ds 13006  df-unif 13007  df-0g 13165  df-topgen 13167  df-iimas 13209  df-qus 13210  df-mgm 13263  df-sgrp 13309  df-mnd 13324  df-mhm 13366  df-grp 13410  df-minusg 13411  df-sbg 13412  df-mulg 13531  df-subg 13581  df-nsg 13582  df-eqg 13583  df-ghm 13652  df-cmn 13697  df-abl 13698  df-mgp 13758  df-rng 13770  df-ur 13797  df-srg 13801  df-ring 13835  df-cring 13836  df-oppr 13905  df-rhm 13989  df-subrg 14056  df-lmod 14126  df-lssm 14190  df-lsp 14224  df-sra 14272  df-rgmod 14273  df-lidl 14306  df-rsp 14307  df-2idl 14337  df-bl 14383  df-mopn 14384  df-fg 14386  df-metu 14387  df-cnfld 14394  df-zring 14428  df-zrh 14451  df-zn 14453

This theorem is referenced by:  znzrhval  14484  znzrhfo  14485