Theorem znzrh2 14178

Description: The ZZ ring homomorphism maps elements to their equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znzrh2.s	|- S = (RSpan ` ℤring )
znzrh2.r	|- .~ = (ℤring ~QG ( S ` { N } ) )
znzrh2.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znzrh2.2	|- L = ( ZRHom ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znzrh2	|- ( N e. NN0 -> L = ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) )

Distinct variable groups:   x, N   x, .~   x, S

Allowed substitution hints:   L( x)   Y( x)

Proof of Theorem znzrh2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znzrh2.2	. 2 |- L = ( ZRHom ` Y )
2		zringring 14125	. . . . 5 |- ℤring e. Ring
3		nn0z 9343	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
4		znzrh2.s	. . . . . . 7 |- S = (RSpan ` ℤring )
5	4	znlidl 14166	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( S ` { N } ) e. (LIdeal ` ℤring ) )
6	3, 5	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( S ` { N } ) e. (LIdeal ` ℤring ) )
7		znzrh2.r	. . . . . . 7 |- .~ = (ℤring ~QG ( S ` { N } ) )
8	7	oveq2i 5933	. . . . . 6 |- (ℤring /.s .~ ) = (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) )
9		zringcrng 14124	. . . . . . 7 |- ℤring e. CRing
10		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- (LIdeal ` ℤring ) = (LIdeal ` ℤring )
11	10	crng2idl 14063	. . . . . . 7 |- (ℤring e. CRing -> (LIdeal ` ℤring ) = (2Ideal ` ℤring ) )
12	9, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 |- (LIdeal ` ℤring ) = (2Ideal ` ℤring )
13		zringbas 14128	. . . . . 6 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
14		eceq2 6629	. . . . . . . 8 |- ( .~ = (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) -> [ x ] .~ = [ x ] (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) )
15	7, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- [ x ] .~ = [ x ] (ℤring ~QG ( S ` { N } ) )
16	15	mpteq2i 4120	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) = ( x e. ZZ |-> [ x ] (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) )
17	8, 12, 13, 16	qusrhm 14060	. . . . 5 |- ( (ℤring e. Ring /\ ( S ` { N } ) e. (LIdeal ` ℤring ) ) -> ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) e. (ℤring RingHom (ℤring /.s .~ ) ) )
18	2, 6, 17	sylancr 414	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) e. (ℤring RingHom (ℤring /.s .~ ) ) )
19	4, 8	zncrng2 14167	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> (ℤring /.s .~ ) e. CRing )
20		crngring 13540	. . . . 5 |- ( (ℤring /.s .~ ) e. CRing -> (ℤring /.s .~ ) e. Ring )
21		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( ZRHom ` (ℤring /.s .~ ) ) = ( ZRHom ` (ℤring /.s .~ ) )
22	21	zrhrhmb 14154	. . . . 5 |- ( (ℤring /.s .~ ) e. Ring -> ( ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) e. (ℤring RingHom (ℤring /.s .~ ) ) <-> ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) = ( ZRHom ` (ℤring /.s .~ ) ) ) )
23	3, 19, 20, 22	4syl 18	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) e. (ℤring RingHom (ℤring /.s .~ ) ) <-> ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) = ( ZRHom ` (ℤring /.s .~ ) ) ) )
24	18, 23	mpbid 147	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) = ( ZRHom ` (ℤring /.s .~ ) ) )
25		znzrh2.y	. . . 4 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
26	4, 8, 25	znzrh 14175	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ZRHom ` (ℤring /.s .~ ) ) = ( ZRHom ` Y ) )
27	24, 26	eqtr2d 2230	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ZRHom ` Y ) = ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) )
28	1, 27	eqtrid 2241	1 |- ( N e. NN0 -> L = ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   {csn 3622   |-> cmpt 4094   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   [cec 6590   NN0cn0 9246   ZZcz 9323   /._s cqus 12919   ~_QG cqg 13275   Ringcrg 13528   CRingccrg 13529   RingHom crh 13682  LIdealclidl 13999  RSpancrsp 14000  2Idealc2idl 14031  ℤ_ringczring 14122   ZRHomczrh 14143  ℤ/nℤczn 14145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7968  ax-resscn 7969  ax-1cn 7970  ax-1re 7971  ax-icn 7972  ax-addcl 7973  ax-addrcl 7974  ax-mulcl 7975  ax-mulrcl 7976  ax-addcom 7977  ax-mulcom 7978  ax-addass 7979  ax-mulass 7980  ax-distr 7981  ax-i2m1 7982  ax-0lt1 7983  ax-1rid 7984  ax-0id 7985  ax-rnegex 7986  ax-precex 7987  ax-cnre 7988  ax-pre-ltirr 7989  ax-pre-ltwlin 7990  ax-pre-lttrn 7991  ax-pre-apti 7992  ax-pre-ltadd 7993  ax-pre-mulgt0 7994  ax-addf 7999  ax-mulf 8000

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-tp 3630  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-tpos 6303  df-recs 6363  df-frec 6449  df-er 6592  df-ec 6594  df-qs 6598  df-map 6709  df-pnf 8061  df-mnf 8062  df-xr 8063  df-ltxr 8064  df-le 8065  df-sub 8197  df-neg 8198  df-reap 8599  df-inn 8988  df-2 9046  df-3 9047  df-4 9048  df-5 9049  df-6 9050  df-7 9051  df-8 9052  df-9 9053  df-n0 9247  df-z 9324  df-dec 9455  df-uz 9599  df-rp 9726  df-fz 10081  df-fzo 10215  df-seqfrec 10525  df-cj 10992  df-abs 11149  df-struct 12656  df-ndx 12657  df-slot 12658  df-base 12660  df-sets 12661  df-iress 12662  df-plusg 12744  df-mulr 12745  df-starv 12746  df-sca 12747  df-vsca 12748  df-ip 12749  df-tset 12750  df-ple 12751  df-ds 12753  df-unif 12754  df-0g 12905  df-topgen 12907  df-iimas 12921  df-qus 12922  df-mgm 12975  df-sgrp 13021  df-mnd 13034  df-mhm 13067  df-grp 13111  df-minusg 13112  df-sbg 13113  df-mulg 13226  df-subg 13276  df-nsg 13277  df-eqg 13278  df-ghm 13347  df-cmn 13392  df-abl 13393  df-mgp 13453  df-rng 13465  df-ur 13492  df-srg 13496  df-ring 13530  df-cring 13531  df-oppr 13600  df-rhm 13684  df-subrg 13751  df-lmod 13821  df-lssm 13885  df-lsp 13919  df-sra 13967  df-rgmod 13968  df-lidl 14001  df-rsp 14002  df-2idl 14032  df-bl 14078  df-mopn 14079  df-fg 14081  df-metu 14082  df-cnfld 14089  df-zring 14123  df-zrh 14146  df-zn 14148

This theorem is referenced by:  znzrhval  14179  znzrhfo  14180