Theorem znzrh2 14111

Description: The ZZ ring homomorphism maps elements to their equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znzrh2.s	|- S = (RSpan ` ℤring )
znzrh2.r	|- .~ = (ℤring ~QG ( S ` { N } ) )
znzrh2.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znzrh2.2	|- L = ( ZRHom ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znzrh2	|- ( N e. NN0 -> L = ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) )

Distinct variable groups:   x, N   x, .~   x, S

Allowed substitution hints:   L( x)   Y( x)

Proof of Theorem znzrh2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znzrh2.2	. 2 |- L = ( ZRHom ` Y )
2		zringring 14059	. . . . 5 |- ℤring e. Ring
3		nn0z 9327	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
4		znzrh2.s	. . . . . . 7 |- S = (RSpan ` ℤring )
5	4	znlidl 14099	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( S ` { N } ) e. (LIdeal ` ℤring ) )
6	3, 5	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( S ` { N } ) e. (LIdeal ` ℤring ) )
7		znzrh2.r	. . . . . . 7 |- .~ = (ℤring ~QG ( S ` { N } ) )
8	7	oveq2i 5921	. . . . . 6 |- (ℤring /.s .~ ) = (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) )
9		zringcrng 14058	. . . . . . 7 |- ℤring e. CRing
10		eqid 2193	. . . . . . . 8 |- (LIdeal ` ℤring ) = (LIdeal ` ℤring )
11	10	crng2idl 14011	. . . . . . 7 |- (ℤring e. CRing -> (LIdeal ` ℤring ) = (2Ideal ` ℤring ) )
12	9, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 |- (LIdeal ` ℤring ) = (2Ideal ` ℤring )
13		zringbas 14062	. . . . . 6 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
14		eceq2 6615	. . . . . . . 8 |- ( .~ = (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) -> [ x ] .~ = [ x ] (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) )
15	7, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- [ x ] .~ = [ x ] (ℤring ~QG ( S ` { N } ) )
16	15	mpteq2i 4116	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) = ( x e. ZZ |-> [ x ] (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) )
17	8, 12, 13, 16	qusrhm 14008	. . . . 5 |- ( (ℤring e. Ring /\ ( S ` { N } ) e. (LIdeal ` ℤring ) ) -> ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) e. (ℤring RingHom (ℤring /.s .~ ) ) )
18	2, 6, 17	sylancr 414	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) e. (ℤring RingHom (ℤring /.s .~ ) ) )
19	4, 8	zncrng2 14100	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> (ℤring /.s .~ ) e. CRing )
20		crngring 13488	. . . . 5 |- ( (ℤring /.s .~ ) e. CRing -> (ℤring /.s .~ ) e. Ring )
21		eqid 2193	. . . . . 6 |- ( ZRHom ` (ℤring /.s .~ ) ) = ( ZRHom ` (ℤring /.s .~ ) )
22	21	zrhrhmb 14087	. . . . 5 |- ( (ℤring /.s .~ ) e. Ring -> ( ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) e. (ℤring RingHom (ℤring /.s .~ ) ) <-> ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) = ( ZRHom ` (ℤring /.s .~ ) ) ) )
23	3, 19, 20, 22	4syl 18	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) e. (ℤring RingHom (ℤring /.s .~ ) ) <-> ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) = ( ZRHom ` (ℤring /.s .~ ) ) ) )
24	18, 23	mpbid 147	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) = ( ZRHom ` (ℤring /.s .~ ) ) )
25		znzrh2.y	. . . 4 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
26	4, 8, 25	znzrh 14108	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ZRHom ` (ℤring /.s .~ ) ) = ( ZRHom ` Y ) )
27	24, 26	eqtr2d 2227	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ZRHom ` Y ) = ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) )
28	1, 27	eqtrid 2238	1 |- ( N e. NN0 -> L = ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   {csn 3618   |-> cmpt 4090   ` cfv 5246  (class class class)co 5910   [cec 6576   NN0cn0 9230   ZZcz 9307   /._s cqus 12873   ~_QG cqg 13228   Ringcrg 13476   CRingccrg 13477   RingHom crh 13630  LIdealclidl 13947  RSpancrsp 13948  2Idealc2idl 13979  ℤ_ringczring 14056   ZRHomczrh 14076  ℤ/nℤczn 14078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-iinf 4616  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-mulrcl 7961  ax-addcom 7962  ax-mulcom 7963  ax-addass 7964  ax-mulass 7965  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-1rid 7969  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-precex 7972  ax-cnre 7973  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltwlin 7975  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-apti 7977  ax-pre-ltadd 7978  ax-pre-mulgt0 7979  ax-addf 7984  ax-mulf 7985

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-tp 3626  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4322  df-iord 4395  df-on 4397  df-ilim 4398  df-suc 4400  df-iom 4619  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-1st 6184  df-2nd 6185  df-tpos 6289  df-recs 6349  df-frec 6435  df-er 6578  df-ec 6580  df-qs 6584  df-map 6695  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-xr 8048  df-ltxr 8049  df-le 8050  df-sub 8182  df-neg 8183  df-reap 8584  df-inn 8973  df-2 9031  df-3 9032  df-4 9033  df-5 9034  df-6 9035  df-7 9036  df-8 9037  df-9 9038  df-n0 9231  df-z 9308  df-dec 9439  df-uz 9583  df-fz 10065  df-fzo 10199  df-seqfrec 10509  df-cj 10976  df-struct 12610  df-ndx 12611  df-slot 12612  df-base 12614  df-sets 12615  df-iress 12616  df-plusg 12698  df-mulr 12699  df-starv 12700  df-sca 12701  df-vsca 12702  df-ip 12703  df-ple 12705  df-0g 12859  df-iimas 12875  df-qus 12876  df-mgm 12929  df-sgrp 12975  df-mnd 12988  df-mhm 13021  df-grp 13065  df-minusg 13066  df-sbg 13067  df-mulg 13180  df-subg 13229  df-nsg 13230  df-eqg 13231  df-ghm 13300  df-cmn 13345  df-abl 13346  df-mgp 13401  df-rng 13413  df-ur 13440  df-srg 13444  df-ring 13478  df-cring 13479  df-oppr 13548  df-rhm 13632  df-subrg 13699  df-lmod 13769  df-lssm 13833  df-lsp 13867  df-sra 13915  df-rgmod 13916  df-lidl 13949  df-rsp 13950  df-2idl 13980  df-icnfld 14032  df-zring 14057  df-zrh 14079  df-zn 14081

This theorem is referenced by:  znzrhval  14112  znzrhfo  14113