Theorem znzrh2 14679

Description: The ZZ ring homomorphism maps elements to their equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znzrh2.s	|- S = (RSpan ` ℤring )
znzrh2.r	|- .~ = (ℤring ~QG ( S ` { N } ) )
znzrh2.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znzrh2.2	|- L = ( ZRHom ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znzrh2	|- ( N e. NN0 -> L = ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) )

Distinct variable groups:   x, N   x, .~   x, S

Allowed substitution hints:   L( x)   Y( x)

Proof of Theorem znzrh2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znzrh2.2	. 2 |- L = ( ZRHom ` Y )
2		zringring 14626	. . . . 5 |- ℤring e. Ring
3		nn0z 9499	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
4		znzrh2.s	. . . . . . 7 |- S = (RSpan ` ℤring )
5	4	znlidl 14667	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( S ` { N } ) e. (LIdeal ` ℤring ) )
6	3, 5	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( S ` { N } ) e. (LIdeal ` ℤring ) )
7		znzrh2.r	. . . . . . 7 |- .~ = (ℤring ~QG ( S ` { N } ) )
8	7	oveq2i 6029	. . . . . 6 |- (ℤring /.s .~ ) = (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) )
9		zringcrng 14625	. . . . . . 7 |- ℤring e. CRing
10		eqid 2231	. . . . . . . 8 |- (LIdeal ` ℤring ) = (LIdeal ` ℤring )
11	10	crng2idl 14564	. . . . . . 7 |- (ℤring e. CRing -> (LIdeal ` ℤring ) = (2Ideal ` ℤring ) )
12	9, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 |- (LIdeal ` ℤring ) = (2Ideal ` ℤring )
13		zringbas 14629	. . . . . 6 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
14		eceq2 6739	. . . . . . . 8 |- ( .~ = (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) -> [ x ] .~ = [ x ] (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) )
15	7, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- [ x ] .~ = [ x ] (ℤring ~QG ( S ` { N } ) )
16	15	mpteq2i 4176	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) = ( x e. ZZ |-> [ x ] (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) )
17	8, 12, 13, 16	qusrhm 14561	. . . . 5 |- ( (ℤring e. Ring /\ ( S ` { N } ) e. (LIdeal ` ℤring ) ) -> ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) e. (ℤring RingHom (ℤring /.s .~ ) ) )
18	2, 6, 17	sylancr 414	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) e. (ℤring RingHom (ℤring /.s .~ ) ) )
19	4, 8	zncrng2 14668	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> (ℤring /.s .~ ) e. CRing )
20		crngring 14040	. . . . 5 |- ( (ℤring /.s .~ ) e. CRing -> (ℤring /.s .~ ) e. Ring )
21		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( ZRHom ` (ℤring /.s .~ ) ) = ( ZRHom ` (ℤring /.s .~ ) )
22	21	zrhrhmb 14655	. . . . 5 |- ( (ℤring /.s .~ ) e. Ring -> ( ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) e. (ℤring RingHom (ℤring /.s .~ ) ) <-> ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) = ( ZRHom ` (ℤring /.s .~ ) ) ) )
23	3, 19, 20, 22	4syl 18	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) e. (ℤring RingHom (ℤring /.s .~ ) ) <-> ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) = ( ZRHom ` (ℤring /.s .~ ) ) ) )
24	18, 23	mpbid 147	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) = ( ZRHom ` (ℤring /.s .~ ) ) )
25		znzrh2.y	. . . 4 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
26	4, 8, 25	znzrh 14676	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ZRHom ` (ℤring /.s .~ ) ) = ( ZRHom ` Y ) )
27	24, 26	eqtr2d 2265	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ZRHom ` Y ) = ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) )
28	1, 27	eqtrid 2276	1 |- ( N e. NN0 -> L = ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   {csn 3669   |-> cmpt 4150   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   [cec 6700   NN0cn0 9402   ZZcz 9479   /._s cqus 13401   ~_QG cqg 13774   Ringcrg 14028   CRingccrg 14029   RingHom crh 14183  LIdealclidl 14500  RSpancrsp 14501  2Idealc2idl 14532  ℤ_ringczring 14623   ZRHomczrh 14644  ℤ/nℤczn 14646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-addf 8154  ax-mulf 8155

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-tpos 6411  df-recs 6471  df-frec 6557  df-er 6702  df-ec 6704  df-qs 6708  df-map 6819  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-dec 9612  df-uz 9756  df-rp 9889  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-seqfrec 10711  df-cj 11420  df-abs 11577  df-struct 13102  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-sets 13107  df-iress 13108  df-plusg 13191  df-mulr 13192  df-starv 13193  df-sca 13194  df-vsca 13195  df-ip 13196  df-tset 13197  df-ple 13198  df-ds 13200  df-unif 13201  df-0g 13359  df-topgen 13361  df-iimas 13403  df-qus 13404  df-mgm 13457  df-sgrp 13503  df-mnd 13518  df-mhm 13560  df-grp 13604  df-minusg 13605  df-sbg 13606  df-mulg 13725  df-subg 13775  df-nsg 13776  df-eqg 13777  df-ghm 13846  df-cmn 13891  df-abl 13892  df-mgp 13953  df-rng 13965  df-ur 13992  df-srg 13996  df-ring 14030  df-cring 14031  df-oppr 14100  df-rhm 14185  df-subrg 14252  df-lmod 14322  df-lssm 14386  df-lsp 14420  df-sra 14468  df-rgmod 14469  df-lidl 14502  df-rsp 14503  df-2idl 14533  df-bl 14579  df-mopn 14580  df-fg 14582  df-metu 14583  df-cnfld 14590  df-zring 14624  df-zrh 14647  df-zn 14649

This theorem is referenced by:  znzrhval  14680  znzrhfo  14681