Proof of Theorem dfplpq2
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | df-mpo 5879 |
. 2
                                         
     
       
                                      |
2 | | df-plpq 7342 |
. 2

                                          |
3 | | 1st2nd2 6175 |
. . . . . . . . . 10
  
             |
4 | 3 | eqeq1d 2186 |
. . . . . . . . 9
  
                     |
5 | | 1st2nd2 6175 |
. . . . . . . . . 10
  
             |
6 | 5 | eqeq1d 2186 |
. . . . . . . . 9
  
                     |
7 | 4, 6 | bi2anan9 606 |
. . . . . . . 8
               
                                 |
8 | 7 | anbi1d 465 |
. . . . . . 7
            
   
                                          
               |
9 | | xp1st 6165 |
. . . . . . . . . . . . . 14
  
      |
10 | 9 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . . . 13
    
      
    
      |
11 | 7 | biimpa 296 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
    
      
    
                                |
12 | 11 | simprd 114 |
. . . . . . . . . . . . . 14
    
      
    
          
     |
13 | | vex 2740 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 |
14 | | vex 2740 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 |
15 | 13, 14 | opth2 4240 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
              
            |
16 | 15 | simplbi 274 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                     |
17 | 16 | eleq1d 2246 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                   
   |
18 | 12, 17 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . 13
    
      
    
        |
19 | 10, 18 | mpbid 147 |
. . . . . . . . . . . 12
    
      
    
  |
20 | | xp2nd 6166 |
. . . . . . . . . . . . . 14
  
      |
21 | 20 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . 13
    
      
    
      |
22 | 11 | simpld 112 |
. . . . . . . . . . . . . 14
    
      
    
          
     |
23 | | vex 2740 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 |
24 | | vex 2740 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 |
25 | 23, 24 | opth2 4240 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
              
            |
26 | 25 | simprbi 275 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                     |
27 | 26 | eleq1d 2246 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                   
   |
28 | 22, 27 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . 13
    
      
    
        |
29 | 21, 28 | mpbid 147 |
. . . . . . . . . . . 12
    
      
    
  |
30 | | mulcompig 7329 |
. . . . . . . . . . . 12
 
       |
31 | 19, 29, 30 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . . 11
    
      
    
      |
32 | 31 | oveq2d 5890 |
. . . . . . . . . 10
    
      
    
              |
33 | 32 | opeq1d 3784 |
. . . . . . . . 9
    
      
    
                        |
34 | 33 | eqeq2d 2189 |
. . . . . . . 8
    
      
    
                          |
35 | 34 | pm5.32da 452 |
. . . . . . 7
            
   
                    
               |
36 | 8, 35 | bitr3d 190 |
. . . . . 6
                                      
                    
               |
37 | 36 | 4exbidv 1870 |
. . . . 5
                                              
                            
               |
38 | | xp1st 6165 |
. . . . . . 7
  
      |
39 | 38, 20 | jca 306 |
. . . . . 6
  
            |
40 | | xp2nd 6166 |
. . . . . . 7
  
      |
41 | 9, 40 | jca 306 |
. . . . . 6
  
            |
42 | | simpll 527 |
. . . . . . . . . . 11
                
            |
43 | | simprr 531 |
. . . . . . . . . . 11
                
            |
44 | 42, 43 | oveq12d 5892 |
. . . . . . . . . 10
                
                    |
45 | | simprl 529 |
. . . . . . . . . . 11
                
            |
46 | | simplr 528 |
. . . . . . . . . . 11
                
            |
47 | 45, 46 | oveq12d 5892 |
. . . . . . . . . 10
                
                    |
48 | 44, 47 | oveq12d 5892 |
. . . . . . . . 9
                
                                    |
49 | 46, 43 | oveq12d 5892 |
. . . . . . . . 9
                
                    |
50 | 48, 49 | opeq12d 3786 |
. . . . . . . 8
                
                                                      |
51 | 50 | eqeq2d 2189 |
. . . . . . 7
                
                 
                                      |
52 | 51 | copsex4g 4247 |
. . . . . 6
                                                              
                                                  |
53 | 39, 41, 52 | syl2an 289 |
. . . . 5
                                              
                                                  |
54 | 37, 53 | bitr3d 190 |
. . . 4
                        
           
                                      |
55 | 54 | pm5.32i 454 |
. . 3
    
               
   
                
                                         |
56 | 55 | oprabbii 5929 |
. 2
          
               
   
                   
       
                                      |
57 | 1, 2, 56 | 3eqtr4i 2208 |
1
     
       
                
               |