ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvr1 GIF version

Theorem dvr1 13312
Description: A ring element divided by the ring unity is itself. (div1 8662 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvr1.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
dvr1.d / = (/rβ€˜π‘…)
dvr1.o 1 = (1rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
dvr1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 / 1 ) = 𝑋)

Proof of Theorem dvr1
StepHypRef Expression
1 dvr1.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
21a1i 9 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…))
3 eqidd 2178 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…))
4 eqidd 2178 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…))
5 eqidd 2178 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…))
6 dvr1.d . . . 4 / = (/rβ€˜π‘…)
76a1i 9 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ / = (/rβ€˜π‘…))
8 simpl 109 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
9 simpr 110 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
10 eqid 2177 . . . . 5 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
11 dvr1.o . . . . 5 1 = (1rβ€˜π‘…)
1210, 111unit 13281 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ 1 ∈ (Unitβ€˜π‘…))
1312adantr 276 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 1 ∈ (Unitβ€˜π‘…))
142, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 13dvrvald 13308 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 / 1 ) = (𝑋(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜ 1 )))
15 eqid 2177 . . . . 5 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
1615, 111rinv 13302 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜ 1 ) = 1 )
1716adantr 276 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜ 1 ) = 1 )
1817oveq2d 5893 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜ 1 )) = (𝑋(.rβ€˜π‘…) 1 ))
19 eqid 2177 . . 3 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
201, 19, 11ringridm 13212 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘…) 1 ) = 𝑋)
2114, 18, 203eqtrd 2214 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 / 1 ) = 𝑋)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  Basecbs 12464  .rcmulr 12539  1rcur 13147  Ringcrg 13184  Unitcui 13261  invrcinvr 13294  /rcdvr 13305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-tpos 6248  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-iress 12472  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-minusg 12886  df-cmn 13095  df-abl 13096  df-mgp 13136  df-ur 13148  df-srg 13152  df-ring 13186  df-oppr 13245  df-dvdsr 13263  df-unit 13264  df-invr 13295  df-dvr 13306
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator