Theorem dvr1 14554

Description: A ring element divided by the ring unity is itself. (div1 9041 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvr1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvr1.d	⊢ / = (/r‘𝑅)
dvr1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvr1	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 / 1 ) = 𝑋)

Proof of Theorem dvr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvr1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		eqidd 2239	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅))
4		eqidd 2239	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅))
5		eqidd 2239	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅))
6		dvr1.d	. . . 4 ⊢ / = (/r‘𝑅)
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → / = (/r‘𝑅))
8		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
9		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
11		dvr1.o	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
12	10, 11	1unit 14523	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Unit‘𝑅))
13	12	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 1 ∈ (Unit‘𝑅))
14	2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 13	dvrvald 14550	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 / 1 ) = (𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘ 1 )))
15		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
16	15, 11	1rinv 14544	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((invr‘𝑅)‘ 1 ) = 1 )
17	16	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((invr‘𝑅)‘ 1 ) = 1 )
18	17	oveq2d 6104	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘ 1 )) = (𝑋(.r‘𝑅) 1 ))
19		eqid 2238	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
20	1, 19, 11	ringridm 14436	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑋)
21	14, 18, 20	3eqtrd 2275	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 / 1 ) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Basecbs 13410  ._rcmulr 13491  1_rcur 14369  Ringcrg 14407  Unitcui 14502  inv_rcinvr 14536  /_rcdvr 14547

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-tpos 6520  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-iress 13418  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-0g 13671  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867  df-minusg 13868  df-cmn 14179  df-abl 14180  df-mgp 14325  df-ur 14370  df-srg 14375  df-ring 14409  df-oppr 14482  df-dvdsr 14504  df-unit 14505  df-invr 14537  df-dvr 14548

This theorem is used by: (None)