Theorem dvr1 14117

Description: A ring element divided by the ring unity is itself. (div1 8861 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvr1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvr1.d	⊢ / = (/r‘𝑅)
dvr1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvr1	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 / 1 ) = 𝑋)

Proof of Theorem dvr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvr1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		eqidd 2230	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅))
4		eqidd 2230	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅))
5		eqidd 2230	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅))
6		dvr1.d	. . . 4 ⊢ / = (/r‘𝑅)
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → / = (/r‘𝑅))
8		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
9		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
11		dvr1.o	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
12	10, 11	1unit 14086	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Unit‘𝑅))
13	12	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 1 ∈ (Unit‘𝑅))
14	2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 13	dvrvald 14113	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 / 1 ) = (𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘ 1 )))
15		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
16	15, 11	1rinv 14107	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((invr‘𝑅)‘ 1 ) = 1 )
17	16	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((invr‘𝑅)‘ 1 ) = 1 )
18	17	oveq2d 6023	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘ 1 )) = (𝑋(.r‘𝑅) 1 ))
19		eqid 2229	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
20	1, 19, 11	ringridm 14002	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑋)
21	14, 18, 20	3eqtrd 2266	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 / 1 ) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  Basecbs 13047  ._rcmulr 13126  1_rcur 13937  Ringcrg 13974  Unitcui 14065  inv_rcinvr 14099  /_rcdvr 14110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-tpos 6397  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-ltxr 8197  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-sets 13054  df-iress 13055  df-plusg 13138  df-mulr 13139  df-0g 13306  df-mgm 13404  df-sgrp 13450  df-mnd 13465  df-grp 13551  df-minusg 13552  df-cmn 13838  df-abl 13839  df-mgp 13899  df-ur 13938  df-srg 13942  df-ring 13976  df-oppr 14046  df-dvdsr 14067  df-unit 14068  df-invr 14100  df-dvr 14111

This theorem is referenced by: (None)