Theorem dvrid 14173

Description: A ring element divided by itself is the ring unity. (dividap 8884 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitdvcl.o	|- U = (Unit ` R )
unitdvcl.d	|- ./ = (/r ` R )
dvrid.o	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
dvrid	|- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) -> ( X ./ X ) = .1. )

Proof of Theorem dvrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2232	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` R ) )
2		eqidd 2232	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) -> ( .r ` R ) = ( .r ` R ) )
3		unitdvcl.o	. . . 4 |- U = (Unit ` R )
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) -> U = (Unit ` R ) )
5		eqidd 2232	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) -> ( invr ` R ) = ( invr ` R ) )
6		unitdvcl.d	. . . 4 |- ./ = (/r ` R )
7	6	a1i 9	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) -> ./ = (/r ` R ) )
8		simpl 109	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) -> R e. Ring )
9		ringsrg 14082	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> R e. SRing )
10	9	adantr 276	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) -> R e. SRing )
11		simpr 110	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) -> X e. U )
12	1, 4, 10, 11	unitcld 14144	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) -> X e. ( Base ` R ) )
13	1, 2, 4, 5, 7, 8, 12, 11	dvrvald 14170	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) -> ( X ./ X ) = ( X ( .r ` R ) ( ( invr ` R ) ` X ) ) )
14		eqid 2231	. . 3 |- ( invr ` R ) = ( invr ` R )
15		eqid 2231	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
16		dvrid.o	. . 3 |- .1. = ( 1r ` R )
17	3, 14, 15, 16	unitrinv 14163	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) -> ( X ( .r ` R ) ( ( invr ` R ) ` X ) ) = .1. )
18	13, 17	eqtrd 2264	1 |- ( ( R e. Ring /\ X e. U ) -> ( X ./ X ) = .1. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326  (class class class)co 6021   Basecbs 13103   .rcmulr 13182   1rcur 13994  SRingcsrg 13998   Ringcrg 14031  Unitcui 14122   invrcinvr 14156  /_rcdvr 14167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1cn 8128  ax-1re 8129  ax-icn 8130  ax-addcl 8131  ax-addrcl 8132  ax-mulcl 8133  ax-addcom 8135  ax-addass 8137  ax-i2m1 8140  ax-0lt1 8141  ax-0id 8143  ax-rnegex 8144  ax-pre-ltirr 8147  ax-pre-lttrn 8149  ax-pre-ltadd 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5974  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-1st 6306  df-2nd 6307  df-tpos 6414  df-pnf 8219  df-mnf 8220  df-ltxr 8222  df-inn 9147  df-2 9205  df-3 9206  df-ndx 13106  df-slot 13107  df-base 13109  df-sets 13110  df-iress 13111  df-plusg 13194  df-mulr 13195  df-0g 13362  df-mgm 13460  df-sgrp 13506  df-mnd 13521  df-grp 13607  df-minusg 13608  df-cmn 13894  df-abl 13895  df-mgp 13956  df-ur 13995  df-srg 13999  df-ring 14033  df-oppr 14103  df-dvdsr 14124  df-unit 14125  df-invr 14157  df-dvr 14168

This theorem is referenced by:  dvrcan3  14177  dvreq1  14178  lgseisenlem3  15828