Theorem dvrass 14234

Description: An associative law for division. (divassap 8929 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrass.b	|- B = ( Base ` R )
dvrass.o	|- U = (Unit ` R )
dvrass.d	|- ./ = (/r ` R )
dvrass.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
dvrass	|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> ( ( X .x. Y ) ./ Z ) = ( X .x. ( Y ./ Z ) ) )

Proof of Theorem dvrass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> R e. Ring )
2		simpr1 1030	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> X e. B )
3		simpr2 1031	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> Y e. B )
4		simpr3 1032	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> Z e. U )
5		dvrass.o	. . . . 5 |- U = (Unit ` R )
6		eqid 2231	. . . . 5 |- ( invr ` R ) = ( invr ` R )
7		dvrass.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` R )
8	5, 6, 7	ringinvcl 14220	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ Z e. U ) -> ( ( invr ` R ) ` Z ) e. B )
9	4, 8	syldan 282	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> ( ( invr ` R ) ` Z ) e. B )
10		dvrass.t	. . . 4 |- .x. = ( .r ` R )
11	7, 10	ringass 14110	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( ( invr ` R ) ` Z ) e. B ) ) -> ( ( X .x. Y ) .x. ( ( invr ` R ) ` Z ) ) = ( X .x. ( Y .x. ( ( invr ` R ) ` Z ) ) ) )
12	1, 2, 3, 9, 11	syl13anc 1276	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> ( ( X .x. Y ) .x. ( ( invr ` R ) ` Z ) ) = ( X .x. ( Y .x. ( ( invr ` R ) ` Z ) ) ) )
13	7	a1i 9	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> B = ( Base ` R ) )
14	10	a1i 9	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> .x. = ( .r ` R ) )
15	5	a1i 9	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> U = (Unit ` R ) )
16	6	a1i 9	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> ( invr ` R ) = ( invr ` R ) )
17		dvrass.d	. . . 4 |- ./ = (/r ` R )
18	17	a1i 9	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> ./ = (/r ` R ) )
19	7, 10	ringcl 14107	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) e. B )
20	19	3adant3r3 1241	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> ( X .x. Y ) e. B )
21	13, 14, 15, 16, 18, 1, 20, 4	dvrvald 14229	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> ( ( X .x. Y ) ./ Z ) = ( ( X .x. Y ) .x. ( ( invr ` R ) ` Z ) ) )
22	13, 14, 15, 16, 18, 1, 3, 4	dvrvald 14229	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> ( Y ./ Z ) = ( Y .x. ( ( invr ` R ) ` Z ) ) )
23	22	oveq2d 6044	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> ( X .x. ( Y ./ Z ) ) = ( X .x. ( Y .x. ( ( invr ` R ) ` Z ) ) ) )
24	12, 21, 23	3eqtr4d 2274	1 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> ( ( X .x. Y ) ./ Z ) = ( X .x. ( Y ./ Z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13162   .rcmulr 13241   Ringcrg 14090  Unitcui 14181   invrcinvr 14215  /_rcdvr 14226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-tpos 6454  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-ltxr 8278  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-sets 13169  df-iress 13170  df-plusg 13253  df-mulr 13254  df-0g 13421  df-mgm 13519  df-sgrp 13565  df-mnd 13580  df-grp 13666  df-minusg 13667  df-cmn 13953  df-abl 13954  df-mgp 14015  df-ur 14054  df-srg 14058  df-ring 14092  df-oppr 14162  df-dvdsr 14183  df-unit 14184  df-invr 14216  df-dvr 14227

This theorem is referenced by:  dvrcan3  14236