Theorem dvrass 13695

Description: An associative law for division. (divassap 8717 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrass.b	|- B = ( Base ` R )
dvrass.o	|- U = (Unit ` R )
dvrass.d	|- ./ = (/r ` R )
dvrass.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
dvrass	|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> ( ( X .x. Y ) ./ Z ) = ( X .x. ( Y ./ Z ) ) )

Proof of Theorem dvrass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> R e. Ring )
2		simpr1 1005	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> X e. B )
3		simpr2 1006	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> Y e. B )
4		simpr3 1007	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> Z e. U )
5		dvrass.o	. . . . 5 |- U = (Unit ` R )
6		eqid 2196	. . . . 5 |- ( invr ` R ) = ( invr ` R )
7		dvrass.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` R )
8	5, 6, 7	ringinvcl 13681	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ Z e. U ) -> ( ( invr ` R ) ` Z ) e. B )
9	4, 8	syldan 282	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> ( ( invr ` R ) ` Z ) e. B )
10		dvrass.t	. . . 4 |- .x. = ( .r ` R )
11	7, 10	ringass 13572	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( ( invr ` R ) ` Z ) e. B ) ) -> ( ( X .x. Y ) .x. ( ( invr ` R ) ` Z ) ) = ( X .x. ( Y .x. ( ( invr ` R ) ` Z ) ) ) )
12	1, 2, 3, 9, 11	syl13anc 1251	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> ( ( X .x. Y ) .x. ( ( invr ` R ) ` Z ) ) = ( X .x. ( Y .x. ( ( invr ` R ) ` Z ) ) ) )
13	7	a1i 9	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> B = ( Base ` R ) )
14	10	a1i 9	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> .x. = ( .r ` R ) )
15	5	a1i 9	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> U = (Unit ` R ) )
16	6	a1i 9	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> ( invr ` R ) = ( invr ` R ) )
17		dvrass.d	. . . 4 |- ./ = (/r ` R )
18	17	a1i 9	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> ./ = (/r ` R ) )
19	7, 10	ringcl 13569	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) e. B )
20	19	3adant3r3 1216	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> ( X .x. Y ) e. B )
21	13, 14, 15, 16, 18, 1, 20, 4	dvrvald 13690	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> ( ( X .x. Y ) ./ Z ) = ( ( X .x. Y ) .x. ( ( invr ` R ) ` Z ) ) )
22	13, 14, 15, 16, 18, 1, 3, 4	dvrvald 13690	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> ( Y ./ Z ) = ( Y .x. ( ( invr ` R ) ` Z ) ) )
23	22	oveq2d 5938	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> ( X .x. ( Y ./ Z ) ) = ( X .x. ( Y .x. ( ( invr ` R ) ` Z ) ) ) )
24	12, 21, 23	3eqtr4d 2239	1 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> ( ( X .x. Y ) ./ Z ) = ( X .x. ( Y ./ Z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   .rcmulr 12756   Ringcrg 13552  Unitcui 13643   invrcinvr 13676  /_rcdvr 13687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-tpos 6303  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-iress 12686  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-cmn 13416  df-abl 13417  df-mgp 13477  df-ur 13516  df-srg 13520  df-ring 13554  df-oppr 13624  df-dvdsr 13645  df-unit 13646  df-invr 13677  df-dvr 13688

This theorem is referenced by:  dvrcan3  13697