ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elbl GIF version

Theorem elbl 12487
Description: Membership in a ball. (Contributed by NM, 2-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
elbl ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝐴𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅)))

Proof of Theorem elbl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blval 12485 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) = {𝑥𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅})
21eleq2d 2187 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐴 ∈ {𝑥𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅}))
3 oveq2 5750 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑃𝐷𝑥) = (𝑃𝐷𝐴))
43breq1d 3909 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ↔ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅))
54elrab 2813 . 2 (𝐴 ∈ {𝑥𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅} ↔ (𝐴𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅))
62, 5syl6bb 195 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝐴𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 947   = wceq 1316  wcel 1465  {crab 2397   class class class wbr 3899  cfv 5093  (class class class)co 5742  *cxr 7767   < clt 7768  ∞Metcxmet 12076  ballcbl 12078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-map 6512  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-psmet 12083  df-xmet 12084  df-bl 12086
This theorem is referenced by:  elbl2  12489  xblpnf  12495  bldisj  12497  blgt0  12498  xblss2  12501  blhalf  12504  xblcntr  12510  xblm  12513  blininf  12520  blss  12524  blres  12530  xmetxpbl  12604  metcnp  12608  cnbl0  12630  bl2ioo  12638  cnopnap  12690
  Copyright terms: Public domain W3C validator