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Theorem elfz0fzfz0 10112
Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a member of a finite set of sequential nonnegative integers with a member of a finite set of sequential nonnegative integers starting at the upper bound of the first interval. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfz0fzfz0  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) )  ->  M  e.  ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem elfz0fzfz0
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 10098 . . . 4  |-  ( M  e.  ( 0 ... L )  <->  ( M  e.  NN0  /\  L  e. 
NN0  /\  M  <_  L ) )
2 elfz2 10002 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( L ... X )  <->  ( ( L  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  X ) ) )
3 nn0re 9174 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
4 nn0re 9174 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  RR )
5 zre 9246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
63, 4, 53anim123i 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
763expa 1203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
8 letr 8030 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( M  <_  L  /\  L  <_  N )  ->  M  <_  N
) )
97, 8syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  <_  L  /\  L  <_  N )  ->  M  <_  N ) )
10 simplll 533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N )  ->  M  e.  NN0 )
11 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
1211adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N )  ->  N  e.  ZZ )
13 elnn0z 9255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( M  e.  NN0  <->  ( M  e.  ZZ  /\  0  <_  M ) )
14 0red 7949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  0  e.  RR )
15 zre 9246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
1615adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  RR )
175adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
18 letr 8030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  M  /\  M  <_  N )  ->  0  <_  N
) )
1914, 16, 17, 18syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_  M  /\  M  <_  N
)  ->  0  <_  N ) )
2019exp4b 367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( 0  <_  M  ->  ( M  <_  N  ->  0  <_  N ) ) ) )
2120com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
0  <_  M  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( M  <_  N  ->  0  <_  N ) ) ) )
2221imp 124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  0  <_  M )  -> 
( N  e.  ZZ  ->  ( M  <_  N  ->  0  <_  N )
) )
2313, 22sylbi 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( M  <_  N  ->  0  <_  N ) ) )
2423adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  ZZ  ->  ( M  <_  N  ->  0  <_  N )
) )
2524imp 124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  ->  0  <_  N
) )
2625imp 124 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N )  ->  0  <_  N )
27 elnn0z 9255 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
2812, 26, 27sylanbrc 417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N )  ->  N  e.  NN0 )
29 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N )  ->  M  <_  N )
3010, 28, 293jca 1177 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N )  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) )
3130ex 115 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  ->  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 
/\  M  <_  N
) ) )
329, 31syld 45 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  <_  L  /\  L  <_  N )  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) )
3332exp4b 367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  ZZ  ->  ( M  <_  L  ->  ( L  <_  N  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) ) ) )
3433com23 78 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( M  <_  L  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( L  <_  N  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) ) ) )
35343impia 1200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( L  <_  N  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) ) )
3635com13 80 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  <_  N  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  -> 
( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) ) )
3736adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  <_  N  /\  N  <_  X )  -> 
( N  e.  ZZ  ->  ( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 
/\  M  <_  L
)  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) ) ) )
3837com12 30 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( L  <_  N  /\  N  <_  X )  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e. 
NN0  /\  M  <_  L )  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) ) ) )
39383ad2ant3 1020 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( L  <_  N  /\  N  <_  X )  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e. 
NN0  /\  M  <_  L )  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) ) ) )
4039imp 124 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  X ) )  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) )
412, 40sylbi 121 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( L ... X )  ->  (
( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  -> 
( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) )
4241com12 30 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  ->  ( N  e.  ( L ... X )  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) )
431, 42sylbi 121 . . 3  |-  ( M  e.  ( 0 ... L )  ->  ( N  e.  ( L ... X )  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) )
4443imp 124 . 2  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) )  -> 
( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) )
45 elfz2nn0 10098 . 2  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  <->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) )
4644, 45sylibr 134 1  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) )  ->  M  e.  ( 0 ... N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 978    e. wcel 2148   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869   RRcr 7801   0cc0 7802    <_ cle 7983   NN0cn0 9165   ZZcz 9242   ...cfz 9995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-ltadd 7918
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-fz 9996
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