Theorem elfz0fzfz0 10218

Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a member of a finite set of sequential nonnegative integers with a member of a finite set of sequential nonnegative integers starting at the upper bound of the first interval. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfz0fzfz0	|- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> M e. ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem elfz0fzfz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 10204	. . . 4 |- ( M e. ( 0 ... L ) <-> ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) )
2		elfz2 10107	. . . . . 6 |- ( N e. ( L ... X ) <-> ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ X ) ) )
3		nn0re 9275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
4		nn0re 9275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( L e. NN0 -> L e. RR )
5		zre 9347	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
6	3, 4, 5	3anim123i 1186	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( M e. RR /\ L e. RR /\ N e. RR ) )
7	6	3expa 1205	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( M e. RR /\ L e. RR /\ N e. RR ) )
8		letr 8126	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. RR /\ L e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( M <_ L /\ L <_ N ) -> M <_ N ) )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( M <_ L /\ L <_ N ) -> M <_ N ) )
10		simplll 533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> M e. NN0 )
11		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
12	11	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> N e. ZZ )
13		elnn0z 9356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( M e. NN0 <-> ( M e. ZZ /\ 0 <_ M ) )
14		0red 8044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> 0 e. RR )
15		zre 9347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. RR )
17	5	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
18		letr 8126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( 0 e. RR /\ M e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 <_ M /\ M <_ N ) -> 0 <_ N ) )
19	14, 16, 17, 18	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ M /\ M <_ N ) -> 0 <_ N ) )
20	19	exp4b 367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ZZ -> ( 0 <_ M -> ( M <_ N -> 0 <_ N ) ) ) )
21	20	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( M e. ZZ -> ( 0 <_ M -> ( N e. ZZ -> ( M <_ N -> 0 <_ N ) ) ) )
22	21	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M e. ZZ /\ 0 <_ M ) -> ( N e. ZZ -> ( M <_ N -> 0 <_ N ) ) )
23	13, 22	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( M e. NN0 -> ( N e. ZZ -> ( M <_ N -> 0 <_ N ) ) )
24	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( N e. ZZ -> ( M <_ N -> 0 <_ N ) ) )
25	24	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N -> 0 <_ N ) )
26	25	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> 0 <_ N )
27		elnn0z 9356	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )
28	12, 26, 27	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> N e. NN0 )
29		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> M <_ N )
30	10, 28, 29	3jca 1179	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) )
31	30	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) )
32	9, 31	syld 45	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( M <_ L /\ L <_ N ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) )
33	32	exp4b 367	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( N e. ZZ -> ( M <_ L -> ( L <_ N -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) ) ) )
34	33	com23 78	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( M <_ L -> ( N e. ZZ -> ( L <_ N -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) ) ) )
35	34	3impia 1202	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( N e. ZZ -> ( L <_ N -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) ) )
36	35	com13 80	. . . . . . . . . 10 |- ( L <_ N -> ( N e. ZZ -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) ) )
37	36	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( L <_ N /\ N <_ X ) -> ( N e. ZZ -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) ) )
38	37	com12 30	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( ( L <_ N /\ N <_ X ) -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) ) )
39	38	3ad2ant3 1022	. . . . . . 7 |- ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( L <_ N /\ N <_ X ) -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) ) )
40	39	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ X ) ) -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) )
41	2, 40	sylbi 121	. . . . 5 |- ( N e. ( L ... X ) -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) )
42	41	com12 30	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( N e. ( L ... X ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) )
43	1, 42	sylbi 121	. . 3 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> ( N e. ( L ... X ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) )
44	43	imp 124	. 2 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) )
45		elfz2nn0 10204	. 2 |- ( M e. ( 0 ... N ) <-> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) )
46	44, 45	sylibr 134	1 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> M e. ( 0 ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   e. wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925   RRcr 7895   0cc0 7896   <_ cle 8079   NN0cn0 9266   ZZcz 9343   ...cfz 10100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-fz 10101

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