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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > elfz0fzfz0 | Unicode version |
Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a member of a finite set of sequential nonnegative integers with a member of a finite set of sequential nonnegative integers starting at the upper bound of the first interval. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-May-2018.) |
Ref | Expression |
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elfz0fzfz0 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | elfz2nn0 10098 |
. . . 4
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2 | elfz2 10002 |
. . . . . 6
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3 | nn0re 9174 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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4 | nn0re 9174 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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5 | zre 9246 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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6 | 3, 4, 5 | 3anim123i 1184 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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7 | 6 | 3expa 1203 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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8 | letr 8030 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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9 | 7, 8 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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10 | simplll 533 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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11 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
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12 | 11 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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13 | elnn0z 9255 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
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14 | 0red 7949 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
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15 | zre 9246 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
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16 | 15 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
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17 | 5 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
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18 | letr 8030 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
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19 | 14, 16, 17, 18 | syl3anc 1238 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
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20 | 19 | exp4b 367 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
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21 | 20 | com23 78 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
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22 | 21 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
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23 | 13, 22 | sylbi 121 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
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24 | 23 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
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25 | 24 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
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26 | 25 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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27 | elnn0z 9255 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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28 | 12, 26, 27 | sylanbrc 417 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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29 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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30 | 10, 28, 29 | 3jca 1177 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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31 | 30 | ex 115 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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32 | 9, 31 | syld 45 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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33 | 32 | exp4b 367 |
. . . . . . . . . . . . 13
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34 | 33 | com23 78 |
. . . . . . . . . . . 12
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35 | 34 | 3impia 1200 |
. . . . . . . . . . 11
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36 | 35 | com13 80 |
. . . . . . . . . 10
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37 | 36 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
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38 | 37 | com12 30 |
. . . . . . . 8
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39 | 38 | 3ad2ant3 1020 |
. . . . . . 7
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40 | 39 | imp 124 |
. . . . . 6
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41 | 2, 40 | sylbi 121 |
. . . . 5
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42 | 41 | com12 30 |
. . . 4
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43 | 1, 42 | sylbi 121 |
. . 3
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44 | 43 | imp 124 |
. 2
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45 | elfz2nn0 10098 |
. 2
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46 | 44, 45 | sylibr 134 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4118 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 ax-setind 4533 ax-cnex 7893 ax-resscn 7894 ax-1cn 7895 ax-1re 7896 ax-icn 7897 ax-addcl 7898 ax-addrcl 7899 ax-mulcl 7900 ax-addcom 7902 ax-addass 7904 ax-distr 7906 ax-i2m1 7907 ax-0lt1 7908 ax-0id 7910 ax-rnegex 7911 ax-cnre 7913 ax-pre-ltirr 7914 ax-pre-ltwlin 7915 ax-pre-lttrn 7916 ax-pre-ltadd 7918 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-id 4290 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-co 4632 df-dm 4633 df-rn 4634 df-res 4635 df-ima 4636 df-iota 5174 df-fun 5214 df-fn 5215 df-f 5216 df-fv 5220 df-riota 5825 df-ov 5872 df-oprab 5873 df-mpo 5874 df-pnf 7984 df-mnf 7985 df-xr 7986 df-ltxr 7987 df-le 7988 df-sub 8120 df-neg 8121 df-inn 8909 df-n0 9166 df-z 9243 df-uz 9518 df-fz 9996 |
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