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Theorem elfz0fzfz0 9915
Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a member of a finite set of sequential nonnegative integers with a member of a finite set of sequential nonnegative integers starting at the upper bound of the first interval. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfz0fzfz0  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) )  ->  M  e.  ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem elfz0fzfz0
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 9904 . . . 4  |-  ( M  e.  ( 0 ... L )  <->  ( M  e.  NN0  /\  L  e. 
NN0  /\  M  <_  L ) )
2 elfz2 9809 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( L ... X )  <->  ( ( L  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  X ) ) )
3 nn0re 8998 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
4 nn0re 8998 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  RR )
5 zre 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
63, 4, 53anim123i 1166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
763expa 1181 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
8 letr 7859 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( M  <_  L  /\  L  <_  N )  ->  M  <_  N
) )
97, 8syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  <_  L  /\  L  <_  N )  ->  M  <_  N ) )
10 simplll 522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N )  ->  M  e.  NN0 )
11 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
1211adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N )  ->  N  e.  ZZ )
13 elnn0z 9079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( M  e.  NN0  <->  ( M  e.  ZZ  /\  0  <_  M ) )
14 0red 7779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  0  e.  RR )
15 zre 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
1615adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  RR )
175adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
18 letr 7859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  M  /\  M  <_  N )  ->  0  <_  N
) )
1914, 16, 17, 18syl3anc 1216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_  M  /\  M  <_  N
)  ->  0  <_  N ) )
2019exp4b 364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( 0  <_  M  ->  ( M  <_  N  ->  0  <_  N ) ) ) )
2120com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
0  <_  M  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( M  <_  N  ->  0  <_  N ) ) ) )
2221imp 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  0  <_  M )  -> 
( N  e.  ZZ  ->  ( M  <_  N  ->  0  <_  N )
) )
2313, 22sylbi 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( M  <_  N  ->  0  <_  N ) ) )
2423adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  ZZ  ->  ( M  <_  N  ->  0  <_  N )
) )
2524imp 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  ->  0  <_  N
) )
2625imp 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N )  ->  0  <_  N )
27 elnn0z 9079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
2812, 26, 27sylanbrc 413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N )  ->  N  e.  NN0 )
29 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N )  ->  M  <_  N )
3010, 28, 293jca 1161 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N )  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) )
3130ex 114 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  ->  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 
/\  M  <_  N
) ) )
329, 31syld 45 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  <_  L  /\  L  <_  N )  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) )
3332exp4b 364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  ZZ  ->  ( M  <_  L  ->  ( L  <_  N  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) ) ) )
3433com23 78 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( M  <_  L  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( L  <_  N  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) ) ) )
35343impia 1178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( L  <_  N  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) ) )
3635com13 80 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  <_  N  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  -> 
( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) ) )
3736adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  <_  N  /\  N  <_  X )  -> 
( N  e.  ZZ  ->  ( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 
/\  M  <_  L
)  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) ) ) )
3837com12 30 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( L  <_  N  /\  N  <_  X )  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e. 
NN0  /\  M  <_  L )  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) ) ) )
39383ad2ant3 1004 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( L  <_  N  /\  N  <_  X )  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e. 
NN0  /\  M  <_  L )  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) ) ) )
4039imp 123 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  X ) )  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) )
412, 40sylbi 120 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( L ... X )  ->  (
( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  -> 
( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) )
4241com12 30 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  ->  ( N  e.  ( L ... X )  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) )
431, 42sylbi 120 . . 3  |-  ( M  e.  ( 0 ... L )  ->  ( N  e.  ( L ... X )  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) )
4443imp 123 . 2  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) )  -> 
( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) )
45 elfz2nn0 9904 . 2  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  <->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) )
4644, 45sylibr 133 1  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) )  ->  M  e.  ( 0 ... N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 962    e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   RRcr 7631   0cc0 7632    <_ cle 7813   NN0cn0 8989   ZZcz 9066   ...cfz 9802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-ltadd 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-fz 9803
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