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Theorem elfz0fzfz0 10096
Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a member of a finite set of sequential nonnegative integers with a member of a finite set of sequential nonnegative integers starting at the upper bound of the first interval. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfz0fzfz0  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) )  ->  M  e.  ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem elfz0fzfz0
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 10082 . . . 4  |-  ( M  e.  ( 0 ... L )  <->  ( M  e.  NN0  /\  L  e. 
NN0  /\  M  <_  L ) )
2 elfz2 9986 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( L ... X )  <->  ( ( L  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  X ) ) )
3 nn0re 9158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
4 nn0re 9158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  RR )
5 zre 9230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
63, 4, 53anim123i 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
763expa 1203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
8 letr 8014 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( M  <_  L  /\  L  <_  N )  ->  M  <_  N
) )
97, 8syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  <_  L  /\  L  <_  N )  ->  M  <_  N ) )
10 simplll 533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N )  ->  M  e.  NN0 )
11 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
1211adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N )  ->  N  e.  ZZ )
13 elnn0z 9239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( M  e.  NN0  <->  ( M  e.  ZZ  /\  0  <_  M ) )
14 0red 7933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  0  e.  RR )
15 zre 9230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
1615adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  RR )
175adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
18 letr 8014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  M  /\  M  <_  N )  ->  0  <_  N
) )
1914, 16, 17, 18syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_  M  /\  M  <_  N
)  ->  0  <_  N ) )
2019exp4b 367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( 0  <_  M  ->  ( M  <_  N  ->  0  <_  N ) ) ) )
2120com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
0  <_  M  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( M  <_  N  ->  0  <_  N ) ) ) )
2221imp 124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  0  <_  M )  -> 
( N  e.  ZZ  ->  ( M  <_  N  ->  0  <_  N )
) )
2313, 22sylbi 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( M  <_  N  ->  0  <_  N ) ) )
2423adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  ZZ  ->  ( M  <_  N  ->  0  <_  N )
) )
2524imp 124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  ->  0  <_  N
) )
2625imp 124 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N )  ->  0  <_  N )
27 elnn0z 9239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
2812, 26, 27sylanbrc 417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N )  ->  N  e.  NN0 )
29 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N )  ->  M  <_  N )
3010, 28, 293jca 1177 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N )  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) )
3130ex 115 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  ->  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 
/\  M  <_  N
) ) )
329, 31syld 45 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  <_  L  /\  L  <_  N )  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) )
3332exp4b 367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  ZZ  ->  ( M  <_  L  ->  ( L  <_  N  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) ) ) )
3433com23 78 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( M  <_  L  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( L  <_  N  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) ) ) )
35343impia 1200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( L  <_  N  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) ) )
3635com13 80 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  <_  N  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  -> 
( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) ) )
3736adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  <_  N  /\  N  <_  X )  -> 
( N  e.  ZZ  ->  ( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 
/\  M  <_  L
)  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) ) ) )
3837com12 30 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( L  <_  N  /\  N  <_  X )  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e. 
NN0  /\  M  <_  L )  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) ) ) )
39383ad2ant3 1020 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( L  <_  N  /\  N  <_  X )  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e. 
NN0  /\  M  <_  L )  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) ) ) )
4039imp 124 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  X ) )  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) )
412, 40sylbi 121 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( L ... X )  ->  (
( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  -> 
( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) )
4241com12 30 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  ->  ( N  e.  ( L ... X )  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) )
431, 42sylbi 121 . . 3  |-  ( M  e.  ( 0 ... L )  ->  ( N  e.  ( L ... X )  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) )
4443imp 124 . 2  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) )  -> 
( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) )
45 elfz2nn0 10082 . 2  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  <->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) )
4644, 45sylibr 134 1  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) )  ->  M  e.  ( 0 ... N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 978    e. wcel 2146   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865   RRcr 7785   0cc0 7786    <_ cle 7967   NN0cn0 9149   ZZcz 9226   ...cfz 9979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-ltadd 7902
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-inn 8893  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-fz 9980
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