Theorem elfz0fzfz0 10482

Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a member of a finite set of sequential nonnegative integers with a member of a finite set of sequential nonnegative integers starting at the upper bound of the first interval. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfz0fzfz0	|- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> M e. ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem elfz0fzfz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 10468	. . . 4 |- ( M e. ( 0 ... L ) <-> ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) )
2		elfz2 10368	. . . . . 6 |- ( N e. ( L ... X ) <-> ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ X ) ) )
3		nn0re 9522	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
4		nn0re 9522	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( L e. NN0 -> L e. RR )
5		zre 9598	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
6	3, 4, 5	3anim123i 1211	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( M e. RR /\ L e. RR /\ N e. RR ) )
7	6	3expa 1230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( M e. RR /\ L e. RR /\ N e. RR ) )
8		letr 8372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. RR /\ L e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( M <_ L /\ L <_ N ) -> M <_ N ) )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( M <_ L /\ L <_ N ) -> M <_ N ) )
10		simplll 535	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> M e. NN0 )
11		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
12	11	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> N e. ZZ )
13		elnn0z 9607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( M e. NN0 <-> ( M e. ZZ /\ 0 <_ M ) )
14		0red 8291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> 0 e. RR )
15		zre 9598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. RR )
17	5	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
18		letr 8372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( 0 e. RR /\ M e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 <_ M /\ M <_ N ) -> 0 <_ N ) )
19	14, 16, 17, 18	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ M /\ M <_ N ) -> 0 <_ N ) )
20	19	exp4b 367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ZZ -> ( 0 <_ M -> ( M <_ N -> 0 <_ N ) ) ) )
21	20	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( M e. ZZ -> ( 0 <_ M -> ( N e. ZZ -> ( M <_ N -> 0 <_ N ) ) ) )
22	21	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M e. ZZ /\ 0 <_ M ) -> ( N e. ZZ -> ( M <_ N -> 0 <_ N ) ) )
23	13, 22	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( M e. NN0 -> ( N e. ZZ -> ( M <_ N -> 0 <_ N ) ) )
24	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( N e. ZZ -> ( M <_ N -> 0 <_ N ) ) )
25	24	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N -> 0 <_ N ) )
26	25	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> 0 <_ N )
27		elnn0z 9607	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )
28	12, 26, 27	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> N e. NN0 )
29		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> M <_ N )
30	10, 28, 29	3jca 1204	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) )
31	30	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) )
32	9, 31	syld 45	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( M <_ L /\ L <_ N ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) )
33	32	exp4b 367	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( N e. ZZ -> ( M <_ L -> ( L <_ N -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) ) ) )
34	33	com23 78	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( M <_ L -> ( N e. ZZ -> ( L <_ N -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) ) ) )
35	34	3impia 1227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( N e. ZZ -> ( L <_ N -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) ) )
36	35	com13 80	. . . . . . . . . 10 |- ( L <_ N -> ( N e. ZZ -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) ) )
37	36	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( L <_ N /\ N <_ X ) -> ( N e. ZZ -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) ) )
38	37	com12 30	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( ( L <_ N /\ N <_ X ) -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) ) )
39	38	3ad2ant3 1047	. . . . . . 7 |- ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( L <_ N /\ N <_ X ) -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) ) )
40	39	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ X ) ) -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) )
41	2, 40	sylbi 121	. . . . 5 |- ( N e. ( L ... X ) -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) )
42	41	com12 30	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( N e. ( L ... X ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) )
43	1, 42	sylbi 121	. . 3 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> ( N e. ( L ... X ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) )
44	43	imp 124	. 2 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) )
45		elfz2nn0 10468	. 2 |- ( M e. ( 0 ... N ) <-> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) )
46	44, 45	sylibr 134	1 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> M e. ( 0 ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   e. wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058   RRcr 8142   0cc0 8143   <_ cle 8325   NN0cn0 9513   ZZcz 9594   ...cfz 10361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362

This theorem is referenced by:  pfxccatin12lem2c  11447