Theorem elfz0fzfz0 10514

Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a member of a finite set of sequential nonnegative integers with a member of a finite set of sequential nonnegative integers starting at the upper bound of the first interval. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfz0fzfz0	|- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> M e. ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem elfz0fzfz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 10500	. . . 4 |- ( M e. ( 0 ... L ) <-> ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) )
2		elfz2 10400	. . . . . 6 |- ( N e. ( L ... X ) <-> ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ X ) ) )
3		nn0re 9554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
4		nn0re 9554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( L e. NN0 -> L e. RR )
5		zre 9630	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
6	3, 4, 5	3anim123i 1215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( M e. RR /\ L e. RR /\ N e. RR ) )
7	6	3expa 1234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( M e. RR /\ L e. RR /\ N e. RR ) )
8		letr 8401	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. RR /\ L e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( M <_ L /\ L <_ N ) -> M <_ N ) )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( M <_ L /\ L <_ N ) -> M <_ N ) )
10		simplll 539	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> M e. NN0 )
11		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
12	11	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> N e. ZZ )
13		elnn0z 9639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( M e. NN0 <-> ( M e. ZZ /\ 0 <_ M ) )
14		0red 8320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> 0 e. RR )
15		zre 9630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. RR )
17	5	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
18		letr 8401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( 0 e. RR /\ M e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 <_ M /\ M <_ N ) -> 0 <_ N ) )
19	14, 16, 17, 18	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ M /\ M <_ N ) -> 0 <_ N ) )
20	19	exp4b 367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ZZ -> ( 0 <_ M -> ( M <_ N -> 0 <_ N ) ) ) )
21	20	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( M e. ZZ -> ( 0 <_ M -> ( N e. ZZ -> ( M <_ N -> 0 <_ N ) ) ) )
22	21	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M e. ZZ /\ 0 <_ M ) -> ( N e. ZZ -> ( M <_ N -> 0 <_ N ) ) )
23	13, 22	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( M e. NN0 -> ( N e. ZZ -> ( M <_ N -> 0 <_ N ) ) )
24	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( N e. ZZ -> ( M <_ N -> 0 <_ N ) ) )
25	24	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N -> 0 <_ N ) )
26	25	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> 0 <_ N )
27		elnn0z 9639	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )
28	12, 26, 27	sylanbrc 421	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> N e. NN0 )
29		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> M <_ N )
30	10, 28, 29	3jca 1208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) )
31	30	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) )
32	9, 31	syld 45	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( M <_ L /\ L <_ N ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) )
33	32	exp4b 367	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( N e. ZZ -> ( M <_ L -> ( L <_ N -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) ) ) )
34	33	com23 78	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( M <_ L -> ( N e. ZZ -> ( L <_ N -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) ) ) )
35	34	3impia 1231	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( N e. ZZ -> ( L <_ N -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) ) )
36	35	com13 80	. . . . . . . . . 10 |- ( L <_ N -> ( N e. ZZ -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) ) )
37	36	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( L <_ N /\ N <_ X ) -> ( N e. ZZ -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) ) )
38	37	com12 30	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( ( L <_ N /\ N <_ X ) -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) ) )
39	38	3ad2ant3 1051	. . . . . . 7 |- ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( L <_ N /\ N <_ X ) -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) ) )
40	39	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ X ) ) -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) )
41	2, 40	sylbi 121	. . . . 5 |- ( N e. ( L ... X ) -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) )
42	41	com12 30	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( N e. ( L ... X ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) )
43	1, 42	sylbi 121	. . 3 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> ( N e. ( L ... X ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) )
44	43	imp 124	. 2 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) )
45		elfz2nn0 10500	. 2 |- ( M e. ( 0 ... N ) <-> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) )
46	44, 45	sylibr 134	1 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> M e. ( 0 ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   class class class wbr 4128  (class class class)co 6078   RRcr 8171   0cc0 8172   <_ cle 8354   NN0cn0 9545   ZZcz 9626   ...cfz 10393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-addcom 8272  ax-addass 8274  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-cnre 8283  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltwlin 8285  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-ltadd 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359  df-sub 8492  df-neg 8493  df-inn 9287  df-n0 9546  df-z 9627  df-uz 9904  df-fz 10394

This theorem is referenced by:  pfxccatin12lem2c  11483