Theorem elfz0fzfz0 10112

Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a member of a finite set of sequential nonnegative integers with a member of a finite set of sequential nonnegative integers starting at the upper bound of the first interval. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfz0fzfz0	|- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> M e. ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem elfz0fzfz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 10098	. . . 4 |- ( M e. ( 0 ... L ) <-> ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) )
2		elfz2 10002	. . . . . 6 |- ( N e. ( L ... X ) <-> ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ X ) ) )
3		nn0re 9174	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
4		nn0re 9174	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( L e. NN0 -> L e. RR )
5		zre 9246	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
6	3, 4, 5	3anim123i 1184	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( M e. RR /\ L e. RR /\ N e. RR ) )
7	6	3expa 1203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( M e. RR /\ L e. RR /\ N e. RR ) )
8		letr 8030	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. RR /\ L e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( M <_ L /\ L <_ N ) -> M <_ N ) )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( M <_ L /\ L <_ N ) -> M <_ N ) )
10		simplll 533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> M e. NN0 )
11		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
12	11	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> N e. ZZ )
13		elnn0z 9255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( M e. NN0 <-> ( M e. ZZ /\ 0 <_ M ) )
14		0red 7949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> 0 e. RR )
15		zre 9246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. RR )
17	5	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
18		letr 8030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( 0 e. RR /\ M e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 <_ M /\ M <_ N ) -> 0 <_ N ) )
19	14, 16, 17, 18	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ M /\ M <_ N ) -> 0 <_ N ) )
20	19	exp4b 367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ZZ -> ( 0 <_ M -> ( M <_ N -> 0 <_ N ) ) ) )
21	20	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( M e. ZZ -> ( 0 <_ M -> ( N e. ZZ -> ( M <_ N -> 0 <_ N ) ) ) )
22	21	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M e. ZZ /\ 0 <_ M ) -> ( N e. ZZ -> ( M <_ N -> 0 <_ N ) ) )
23	13, 22	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( M e. NN0 -> ( N e. ZZ -> ( M <_ N -> 0 <_ N ) ) )
24	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( N e. ZZ -> ( M <_ N -> 0 <_ N ) ) )
25	24	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N -> 0 <_ N ) )
26	25	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> 0 <_ N )
27		elnn0z 9255	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )
28	12, 26, 27	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> N e. NN0 )
29		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> M <_ N )
30	10, 28, 29	3jca 1177	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) )
31	30	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) )
32	9, 31	syld 45	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( M <_ L /\ L <_ N ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) )
33	32	exp4b 367	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( N e. ZZ -> ( M <_ L -> ( L <_ N -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) ) ) )
34	33	com23 78	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( M <_ L -> ( N e. ZZ -> ( L <_ N -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) ) ) )
35	34	3impia 1200	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( N e. ZZ -> ( L <_ N -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) ) )
36	35	com13 80	. . . . . . . . . 10 |- ( L <_ N -> ( N e. ZZ -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) ) )
37	36	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( L <_ N /\ N <_ X ) -> ( N e. ZZ -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) ) )
38	37	com12 30	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( ( L <_ N /\ N <_ X ) -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) ) )
39	38	3ad2ant3 1020	. . . . . . 7 |- ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( L <_ N /\ N <_ X ) -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) ) )
40	39	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ X ) ) -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) )
41	2, 40	sylbi 121	. . . . 5 |- ( N e. ( L ... X ) -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) )
42	41	com12 30	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( N e. ( L ... X ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) )
43	1, 42	sylbi 121	. . 3 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> ( N e. ( L ... X ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) )
44	43	imp 124	. 2 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) )
45		elfz2nn0 10098	. 2 |- ( M e. ( 0 ... N ) <-> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) )
46	44, 45	sylibr 134	1 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> M e. ( 0 ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   e. wcel 2148   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869   RRcr 7801   0cc0 7802   <_ cle 7983   NN0cn0 9165   ZZcz 9242   ...cfz 9995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-ltadd 7918

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-fz 9996

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