ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzom1elp1fzo GIF version

Theorem elfzom1elp1fzo 9866
Description: Membership of an integer incremented by one in a half-open range of nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2018.) (Proof shortened by AV, 5-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
elfzom1elp1fzo ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑁))

Proof of Theorem elfzom1elp1fzo
StepHypRef Expression
1 elfzofz 9826 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ (0...(𝑁 − 1)))
2 elfzuz2 9696 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0))
3 elnn0uz 9259 . . . . . . . 8 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0))
4 zcn 8957 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
54anim1i 336 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0))
6 elnnnn0 8918 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0))
75, 6sylibr 133 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
87expcom 115 . . . . . . . 8 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℕ))
93, 8sylbir 134 . . . . . . 7 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℕ))
101, 2, 93syl 17 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℕ))
1110impcom 124 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
12 1nn0 8891 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
1312a1i 9 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
14 nnnn0 8882 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
15 nnge1 8647 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
1613, 14, 153jca 1142 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
1711, 16syl 14 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (1 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
18 elfz2nn0 9779 . . . 4 (1 ∈ (0...𝑁) ↔ (1 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
1917, 18sylibr 133 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 1 ∈ (0...𝑁))
20 fzossrbm1 9837 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
2120adantr 272 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
22 fzossfz 9829 . . . . . 6 (0..^𝑁) ⊆ (0...𝑁)
2321, 22syl6ss 3073 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
24 simpr 109 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
2523, 24jca 302 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))))
26 ssel2 3056 . . . 4 (((0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐼 ∈ (0...𝑁))
27 elfzubelfz 9703 . . . 4 (𝐼 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
2825, 26, 273syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
2919, 28jca 302 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (1 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...𝑁)))
30 elfzodifsumelfzo 9865 . 2 ((1 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...𝑁)) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑁)))
3129, 24, 30sylc 62 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 943  wcel 1461  wss 3035   class class class wbr 3893  cfv 5079  (class class class)co 5726  cc 7539  0cc0 7541  1c1 7542   + caddc 7544  cle 7719  cmin 7850  cn 8624  0cn0 8875  cz 8952  cuz 9222  ...cfz 9677  ..^cfzo 9806
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-addcom 7639  ax-addass 7641  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-ltadd 7655
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5990  df-2nd 5991  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-inn 8625  df-n0 8876  df-z 8953  df-uz 9223  df-fz 9678  df-fzo 9807
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator