ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzom1elp1fzo GIF version

Theorem elfzom1elp1fzo 10009
Description: Membership of an integer incremented by one in a half-open range of nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2018.) (Proof shortened by AV, 5-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
elfzom1elp1fzo ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑁))

Proof of Theorem elfzom1elp1fzo
StepHypRef Expression
1 elfzofz 9969 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ (0...(𝑁 − 1)))
2 elfzuz2 9839 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0))
3 elnn0uz 9386 . . . . . . . 8 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0))
4 zcn 9082 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
54anim1i 338 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0))
6 elnnnn0 9043 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0))
75, 6sylibr 133 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
87expcom 115 . . . . . . . 8 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℕ))
93, 8sylbir 134 . . . . . . 7 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℕ))
101, 2, 93syl 17 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℕ))
1110impcom 124 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
12 1nn0 9016 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
1312a1i 9 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
14 nnnn0 9007 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
15 nnge1 8766 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
1613, 14, 153jca 1162 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
1711, 16syl 14 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (1 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
18 elfz2nn0 9922 . . . 4 (1 ∈ (0...𝑁) ↔ (1 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
1917, 18sylibr 133 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 1 ∈ (0...𝑁))
20 fzossrbm1 9980 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
2120adantr 274 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
22 fzossfz 9972 . . . . . 6 (0..^𝑁) ⊆ (0...𝑁)
2321, 22sstrdi 3113 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
24 simpr 109 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
2523, 24jca 304 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))))
26 ssel2 3096 . . . 4 (((0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐼 ∈ (0...𝑁))
27 elfzubelfz 9846 . . . 4 (𝐼 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
2825, 26, 273syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
2919, 28jca 304 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (1 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...𝑁)))
30 elfzodifsumelfzo 10008 . 2 ((1 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...𝑁)) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑁)))
3129, 24, 30sylc 62 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 963  wcel 1481  wss 3075   class class class wbr 3936  cfv 5130  (class class class)co 5781  cc 7641  0cc0 7643  1c1 7644   + caddc 7646  cle 7824  cmin 7956  cn 8743  0cn0 9000  cz 9077  cuz 9349  ...cfz 9820  ..^cfzo 9949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-ltadd 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-inn 8744  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-fz 9821  df-fzo 9950
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator