Theorem elnn1uz2 9727

Description: A positive integer is either 1 or greater than or equal to 2. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
elnn1uz2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))

Proof of Theorem elnn1uz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olc 712	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ ℕ))
2		nnz 9390	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3		1z 9397	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		zdceq 9447	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 1)
5	3, 4	mpan2 425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → DECID 𝑁 = 1)
6		df-dc 836	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑁 = 1 ↔ (𝑁 = 1 ∨ ¬ 𝑁 = 1))
7	5, 6	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 1 ∨ ¬ 𝑁 = 1))
8		df-ne 2376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ≠ 1 ↔ ¬ 𝑁 = 1)
9	8	orbi2i 763	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ≠ 1) ↔ (𝑁 = 1 ∨ ¬ 𝑁 = 1))
10	7, 9	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ≠ 1))
11	2, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ≠ 1))
12		ordi 817	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1)) ↔ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ≠ 1)))
13	1, 11, 12	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1)))
14		eluz2b3 9724	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
15	14	orbi2i 763	. . 3 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ↔ (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1)))
16	13, 15	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
17		1nn 9046	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
18		eleq1 2267	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ℕ))
19	17, 18	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝑁 = 1 → 𝑁 ∈ ℕ)
20		eluz2nn 9686	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
21	19, 20	jaoi 717	. 2 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℕ)
22	16, 21	impbii 126	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1372   ∈ wcel 2175   ≠ wne 2375  ‘cfv 5270  1c1 7925  ℕcn 9035  2c2 9086  ℤcz 9371  ℤ_≥cuz 9647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-inn 9036  df-2 9094  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648

This theorem is referenced by:  indstr2  9729  fldiv4lem1div2  10448  prmdc  12423  dfphi2  12513  pc2dvds  12624  oddprmdvds  12648  4sqlem18  12702