Theorem elnn1uz2 9939

Description: A positive integer is either 1 or greater than or equal to 2. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
elnn1uz2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))

Proof of Theorem elnn1uz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olc 719	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ ℕ))
2		nnz 9596	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3		1z 9603	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		zdceq 9653	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 1)
5	3, 4	mpan2 425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → DECID 𝑁 = 1)
6		df-dc 843	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑁 = 1 ↔ (𝑁 = 1 ∨ ¬ 𝑁 = 1))
7	5, 6	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 1 ∨ ¬ 𝑁 = 1))
8		df-ne 2413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ≠ 1 ↔ ¬ 𝑁 = 1)
9	8	orbi2i 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ≠ 1) ↔ (𝑁 = 1 ∨ ¬ 𝑁 = 1))
10	7, 9	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ≠ 1))
11	2, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ≠ 1))
12		ordi 824	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1)) ↔ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ≠ 1)))
13	1, 11, 12	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1)))
14		eluz2b3 9936	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
15	14	orbi2i 770	. . 3 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ↔ (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1)))
16	13, 15	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
17		1nn 9248	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
18		eleq1 2295	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ℕ))
19	17, 18	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝑁 = 1 → 𝑁 ∈ ℕ)
20		eluz2nn 9898	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
21	19, 20	jaoi 724	. 2 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℕ)
22	16, 21	impbii 126	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412  ‘cfv 5352  1c1 8128  ℕcn 9237  2c2 9288  ℤcz 9577  ℤ_≥cuz 9853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-2 9296  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854

This theorem is referenced by:  indstr2  9941  fldiv4lem1div2  10667  prmdc  12827  dfphi2  12917  pc2dvds  13028  oddprmdvds  13052  4sqlem18  13106