Theorem elnn1uz2 9902

Description: A positive integer is either 1 or greater than or equal to 2. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
elnn1uz2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))

Proof of Theorem elnn1uz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olc 719	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ ℕ))
2		nnz 9559	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3		1z 9566	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		zdceq 9616	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 1)
5	3, 4	mpan2 425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → DECID 𝑁 = 1)
6		df-dc 843	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑁 = 1 ↔ (𝑁 = 1 ∨ ¬ 𝑁 = 1))
7	5, 6	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 1 ∨ ¬ 𝑁 = 1))
8		df-ne 2404	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ≠ 1 ↔ ¬ 𝑁 = 1)
9	8	orbi2i 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ≠ 1) ↔ (𝑁 = 1 ∨ ¬ 𝑁 = 1))
10	7, 9	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ≠ 1))
11	2, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ≠ 1))
12		ordi 824	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1)) ↔ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ≠ 1)))
13	1, 11, 12	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1)))
14		eluz2b3 9899	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
15	14	orbi2i 770	. . 3 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ↔ (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1)))
16	13, 15	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
17		1nn 9213	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
18		eleq1 2294	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ℕ))
19	17, 18	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝑁 = 1 → 𝑁 ∈ ℕ)
20		eluz2nn 9861	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
21	19, 20	jaoi 724	. 2 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℕ)
22	16, 21	impbii 126	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2403  ‘cfv 5333  1c1 8093  ℕcn 9202  2c2 9253  ℤcz 9540  ℤ_≥cuz 9816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-2 9261  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817

This theorem is referenced by:  indstr2  9904  fldiv4lem1div2  10630  prmdc  12782  dfphi2  12872  pc2dvds  12983  oddprmdvds  13007  4sqlem18  13061