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Theorem plyrecj 15279
Description: A polynomial with real coefficients distributes under conjugation. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyrecj |- ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) -> ( * ` ( F ` A ) ) = ( F ` ( * ` A ) ) )
Proof of Theorem plyrecj
Dummy variables a k n x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . . 4 |- ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) -> F e. (Poly ` RR ) )
2 elply 15250 . . . 4 |- ( F e. (Poly ` RR ) <-> ( RR C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) )
31, 2sylib 122 . . 3 |- ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) -> ( RR C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) )
43simprd 114 . 2 |- ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) -> E. n e. NN0 E. a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) )
5 0zd 9391 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> 0 e. ZZ )
6 simprl 529 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> n e. NN0 )
76nn0zd 9500 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> n e. ZZ )
85, 7fzfigd 10583 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( 0 ... n ) e. Fin )
9 simplrr 536 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
10 0re 8079 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. RR
11 snssi 3779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 0 e. RR -> { 0 } C_ RR )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { 0 } C_ RR
13 ssequn2 3347 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { 0 } C_ RR <-> ( RR u. { 0 } ) = RR )
1412, 13mpbi 145 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( RR u. { 0 } ) = RR
15 reex 8066 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- RR e. _V
1614, 15eqeltri 2279 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( RR u. { 0 } ) e. _V
17 nn0ex 9308 . . . . . . . . . . . . . 14 |- NN0 e. _V
1816, 17elmap 6771 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> a : NN0 --> ( RR u. { 0 } ) )
19 feq3 5416 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( RR u. { 0 } ) = RR -> ( a : NN0 --> ( RR u. { 0 } ) <-> a : NN0 --> RR ) )
2014, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a : NN0 --> ( RR u. { 0 } ) <-> a : NN0 --> RR )
2118, 20bitri 184 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> a : NN0 --> RR )
229, 21sylib 122 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> a : NN0 --> RR )
23 elfznn0 10243 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> k e. NN0 )
2423adantl 277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> k e. NN0 )
2522, 24ffvelcdmd 5723 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( a ` k ) e. RR )
2625recnd 8108 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( a ` k ) e. CC )
27 simpllr 534 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> A e. CC )
2827, 24expcld 10825 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( A ^ k ) e. CC )
2926, 28mulcld 8100 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) e. CC )
308, 29fsumcj 11829 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( * ` sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( * ` ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) ) )
3126, 28cjmuld 11321 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( * ` ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) ) = ( ( * ` ( a ` k ) ) x. ( * ` ( A ^ k ) ) ) )
32 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
3332, 21sylib 122 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> a : NN0 --> RR )
3433adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> a : NN0 --> RR )
3534, 24ffvelcdmd 5723 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( a ` k ) e. RR )
3635cjred 11326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( * ` ( a ` k ) ) = ( a ` k ) )
3727, 24cjexpd 11313 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( * ` ( A ^ k ) ) = ( ( * ` A ) ^ k ) )
3836, 37oveq12d 5969 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( * ` ( a ` k ) ) x. ( * ` ( A ^ k ) ) ) = ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) )
3931, 38eqtrd 2239 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( * ` ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) ) = ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) )
4039sumeq2dv 11723 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( * ` ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) )
4130, 40eqtrd 2239 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( * ` sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) )
4241adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> ( * ` sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) )
43 simpr 110 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) )
4443fveq1d 5585 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> ( F ` A ) = ( ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ` A ) )
45 eqid 2206 . . . . . . . . 9 |- ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) )
46 oveq1 5958 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = A -> ( x ^ k ) = ( A ^ k ) )
4746oveq2d 5967 . . . . . . . . . 10 |- ( x = A -> ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) = ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) )
4847sumeq2sdv 11725 . . . . . . . . 9 |- ( x = A -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) )
49 simplr 528 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> A e. CC )
508, 29fsumcl 11755 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) e. CC )
5145, 48, 49, 50fvmptd3 5680 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ` A ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) )
5251adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> ( ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ` A ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) )
5344, 52eqtrd 2239 . . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> ( F ` A ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) )
5453fveq2d 5587 . . . . 5 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> ( * ` ( F ` A ) ) = ( * ` sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) ) )
5543fveq1d 5585 . . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> ( F ` ( * ` A ) ) = ( ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ` ( * ` A ) ) )
56 oveq1 5958 . . . . . . . . . 10 |- ( x = ( * ` A ) -> ( x ^ k ) = ( ( * ` A ) ^ k ) )
5756oveq2d 5967 . . . . . . . . 9 |- ( x = ( * ` A ) -> ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) = ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) )
5857sumeq2sdv 11725 . . . . . . . 8 |- ( x = ( * ` A ) -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) )
5949cjcld 11295 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( * ` A ) e. CC )
6059adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( * ` A ) e. CC )
6160, 24expcld 10825 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( * ` A ) ^ k ) e. CC )
6226, 61mulcld 8100 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) e. CC )
638, 62fsumcl 11755 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) e. CC )
6445, 58, 59, 63fvmptd3 5680 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ` ( * ` A ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) )
6564adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> ( ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ` ( * ` A ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) )
6655, 65eqtrd 2239 . . . . 5 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> ( F ` ( * ` A ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) )
6742, 54, 663eqtr4d 2249 . . . 4 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> ( * ` ( F ` A ) ) = ( F ` ( * ` A ) ) )
6867ex 115 . . 3 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) -> ( * ` ( F ` A ) ) = ( F ` ( * ` A ) ) ) )
6968rexlimdvva 2632 . 2 |- ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) -> ( E. n e. NN0 E. a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) -> ( * ` ( F ` A ) ) = ( F ` ( * ` A ) ) ) )
704, 69mpd 13 1 |- ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) -> ( * ` ( F ` A ) ) = ( F ` ( * ` A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2177   E.wrex 2486   _Vcvv 2773   u. cun 3165   C_ wss 3167   {csn 3634   |-> cmpt 4109   -->wf 5272   ` cfv 5276  (class class class)co 5951   ^m cmap 6742   CCcc 7930   RRcr 7931   0cc0 7932   x. cmul 7937   NN0cn0 9302   ...cfz 10137   ^cexp 10690   *ccj 11194   sum_csu 11708  Polycply 15244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050  ax-arch 8051  ax-caucvg 8052
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-isom 5285  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-irdg 6463  df-frec 6484  df-1o 6509  df-oadd 6513  df-er 6627  df-map 6744  df-en 6835  df-dom 6836  df-fin 6837  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656  df-q 9748  df-rp 9783  df-fz 10138  df-fzo 10272  df-seqfrec 10600  df-exp 10691  df-ihash 10928  df-cj 11197  df-re 11198  df-im 11199  df-rsqrt 11353  df-abs 11354  df-clim 11634  df-sumdc 11709  df-ply 15246
This theorem is referenced by:  plyreres  15280
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