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Theorem plyrecj 15615
Description: A polynomial with real coefficients distributes under conjugation. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyrecj |- ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) -> ( * ` ( F ` A ) ) = ( F ` ( * ` A ) ) )
Proof of Theorem plyrecj
Dummy variables a k n x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . . 4 |- ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) -> F e. (Poly ` RR ) )
2 elply 15586 . . . 4 |- ( F e. (Poly ` RR ) <-> ( RR C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) )
31, 2sylib 122 . . 3 |- ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) -> ( RR C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) )
43simprd 114 . 2 |- ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) -> E. n e. NN0 E. a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) )
5 0zd 9585 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> 0 e. ZZ )
6 simprl 531 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> n e. NN0 )
76nn0zd 9694 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> n e. ZZ )
85, 7fzfigd 10789 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( 0 ... n ) e. Fin )
9 simplrr 538 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
10 0re 8270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. RR
11 snssi 3837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 0 e. RR -> { 0 } C_ RR )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { 0 } C_ RR
13 ssequn2 3391 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { 0 } C_ RR <-> ( RR u. { 0 } ) = RR )
1412, 13mpbi 145 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( RR u. { 0 } ) = RR
15 reex 8257 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- RR e. _V
1614, 15eqeltri 2305 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( RR u. { 0 } ) e. _V
17 nn0ex 9498 . . . . . . . . . . . . . 14 |- NN0 e. _V
1816, 17elmap 6910 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> a : NN0 --> ( RR u. { 0 } ) )
19 feq3 5492 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( RR u. { 0 } ) = RR -> ( a : NN0 --> ( RR u. { 0 } ) <-> a : NN0 --> RR ) )
2014, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a : NN0 --> ( RR u. { 0 } ) <-> a : NN0 --> RR )
2118, 20bitri 184 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> a : NN0 --> RR )
229, 21sylib 122 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> a : NN0 --> RR )
23 elfznn0 10444 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> k e. NN0 )
2423adantl 277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> k e. NN0 )
2522, 24ffvelcdmd 5812 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( a ` k ) e. RR )
2625recnd 8298 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( a ` k ) e. CC )
27 simpllr 536 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> A e. CC )
2827, 24expcld 11031 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( A ^ k ) e. CC )
2926, 28mulcld 8290 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) e. CC )
308, 29fsumcj 12153 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( * ` sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( * ` ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) ) )
3126, 28cjmuld 11644 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( * ` ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) ) = ( ( * ` ( a ` k ) ) x. ( * ` ( A ^ k ) ) ) )
32 simprr 533 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
3332, 21sylib 122 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> a : NN0 --> RR )
3433adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> a : NN0 --> RR )
3534, 24ffvelcdmd 5812 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( a ` k ) e. RR )
3635cjred 11649 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( * ` ( a ` k ) ) = ( a ` k ) )
3727, 24cjexpd 11636 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( * ` ( A ^ k ) ) = ( ( * ` A ) ^ k ) )
3836, 37oveq12d 6067 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( * ` ( a ` k ) ) x. ( * ` ( A ^ k ) ) ) = ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) )
3931, 38eqtrd 2265 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( * ` ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) ) = ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) )
4039sumeq2dv 12046 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( * ` ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) )
4130, 40eqtrd 2265 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( * ` sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) )
4241adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> ( * ` sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) )
43 simpr 110 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) )
4443fveq1d 5671 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> ( F ` A ) = ( ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ` A ) )
45 eqid 2232 . . . . . . . . 9 |- ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) )
46 oveq1 6056 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = A -> ( x ^ k ) = ( A ^ k ) )
4746oveq2d 6065 . . . . . . . . . 10 |- ( x = A -> ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) = ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) )
4847sumeq2sdv 12048 . . . . . . . . 9 |- ( x = A -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) )
49 simplr 529 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> A e. CC )
508, 29fsumcl 12079 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) e. CC )
5145, 48, 49, 50fvmptd3 5770 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ` A ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) )
5251adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> ( ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ` A ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) )
5344, 52eqtrd 2265 . . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> ( F ` A ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) )
5453fveq2d 5673 . . . . 5 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> ( * ` ( F ` A ) ) = ( * ` sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) ) )
5543fveq1d 5671 . . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> ( F ` ( * ` A ) ) = ( ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ` ( * ` A ) ) )
56 oveq1 6056 . . . . . . . . . 10 |- ( x = ( * ` A ) -> ( x ^ k ) = ( ( * ` A ) ^ k ) )
5756oveq2d 6065 . . . . . . . . 9 |- ( x = ( * ` A ) -> ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) = ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) )
5857sumeq2sdv 12048 . . . . . . . 8 |- ( x = ( * ` A ) -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) )
5949cjcld 11618 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( * ` A ) e. CC )
6059adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( * ` A ) e. CC )
6160, 24expcld 11031 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( * ` A ) ^ k ) e. CC )
6226, 61mulcld 8290 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) e. CC )
638, 62fsumcl 12079 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) e. CC )
6445, 58, 59, 63fvmptd3 5770 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ` ( * ` A ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) )
6564adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> ( ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ` ( * ` A ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) )
6655, 65eqtrd 2265 . . . . 5 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> ( F ` ( * ` A ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) )
6742, 54, 663eqtr4d 2275 . . . 4 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> ( * ` ( F ` A ) ) = ( F ` ( * ` A ) ) )
6867ex 115 . . 3 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) -> ( * ` ( F ` A ) ) = ( F ` ( * ` A ) ) ) )
6968rexlimdvva 2668 . 2 |- ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) -> ( E. n e. NN0 E. a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) -> ( * ` ( F ` A ) ) = ( F ` ( * ` A ) ) ) )
704, 69mpd 13 1 |- ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) -> ( * ` ( F ` A ) ) = ( F ` ( * ` A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   E.wrex 2521   _Vcvv 2812   u. cun 3208   C_ wss 3210   {csn 3688   |-> cmpt 4170   -->wf 5347   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   ^m cmap 6881   CCcc 8121   RRcr 8122   0cc0 8123   x. cmul 8128   NN0cn0 9492   ...cfz 10338   ^cexp 10896   *ccj 11517   sum_csu 12031  Polycply 15580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-pre-mulext 8241  ax-arch 8242  ax-caucvg 8243
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-isom 5360  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-frec 6621  df-1o 6646  df-oadd 6650  df-er 6766  df-map 6883  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-ap 8852  df-div 8943  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-n0 9493  df-z 9574  df-uz 9850  df-q 9948  df-rp 9983  df-fz 10339  df-fzo 10473  df-seqfrec 10806  df-exp 10897  df-ihash 11134  df-cj 11520  df-re 11521  df-im 11522  df-rsqrt 11676  df-abs 11677  df-clim 11957  df-sumdc 12032  df-ply 15582
This theorem is referenced by:  plyreres  15616
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