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Theorem plyrecj 15445
Description: A polynomial with real coefficients distributes under conjugation. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyrecj |- ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) -> ( * ` ( F ` A ) ) = ( F ` ( * ` A ) ) )
Proof of Theorem plyrecj
Dummy variables a k n x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . . 4 |- ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) -> F e. (Poly ` RR ) )
2 elply 15416 . . . 4 |- ( F e. (Poly ` RR ) <-> ( RR C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) )
31, 2sylib 122 . . 3 |- ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) -> ( RR C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) )
43simprd 114 . 2 |- ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) -> E. n e. NN0 E. a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) )
5 0zd 9466 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> 0 e. ZZ )
6 simprl 529 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> n e. NN0 )
76nn0zd 9575 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> n e. ZZ )
85, 7fzfigd 10661 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( 0 ... n ) e. Fin )
9 simplrr 536 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
10 0re 8154 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. RR
11 snssi 3812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 0 e. RR -> { 0 } C_ RR )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { 0 } C_ RR
13 ssequn2 3377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { 0 } C_ RR <-> ( RR u. { 0 } ) = RR )
1412, 13mpbi 145 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( RR u. { 0 } ) = RR
15 reex 8141 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- RR e. _V
1614, 15eqeltri 2302 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( RR u. { 0 } ) e. _V
17 nn0ex 9383 . . . . . . . . . . . . . 14 |- NN0 e. _V
1816, 17elmap 6832 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> a : NN0 --> ( RR u. { 0 } ) )
19 feq3 5458 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( RR u. { 0 } ) = RR -> ( a : NN0 --> ( RR u. { 0 } ) <-> a : NN0 --> RR ) )
2014, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a : NN0 --> ( RR u. { 0 } ) <-> a : NN0 --> RR )
2118, 20bitri 184 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> a : NN0 --> RR )
229, 21sylib 122 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> a : NN0 --> RR )
23 elfznn0 10318 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> k e. NN0 )
2423adantl 277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> k e. NN0 )
2522, 24ffvelcdmd 5773 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( a ` k ) e. RR )
2625recnd 8183 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( a ` k ) e. CC )
27 simpllr 534 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> A e. CC )
2827, 24expcld 10903 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( A ^ k ) e. CC )
2926, 28mulcld 8175 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) e. CC )
308, 29fsumcj 11993 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( * ` sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( * ` ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) ) )
3126, 28cjmuld 11485 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( * ` ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) ) = ( ( * ` ( a ` k ) ) x. ( * ` ( A ^ k ) ) ) )
32 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
3332, 21sylib 122 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> a : NN0 --> RR )
3433adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> a : NN0 --> RR )
3534, 24ffvelcdmd 5773 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( a ` k ) e. RR )
3635cjred 11490 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( * ` ( a ` k ) ) = ( a ` k ) )
3727, 24cjexpd 11477 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( * ` ( A ^ k ) ) = ( ( * ` A ) ^ k ) )
3836, 37oveq12d 6025 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( * ` ( a ` k ) ) x. ( * ` ( A ^ k ) ) ) = ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) )
3931, 38eqtrd 2262 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( * ` ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) ) = ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) )
4039sumeq2dv 11887 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( * ` ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) )
4130, 40eqtrd 2262 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( * ` sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) )
4241adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> ( * ` sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) )
43 simpr 110 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) )
4443fveq1d 5631 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> ( F ` A ) = ( ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ` A ) )
45 eqid 2229 . . . . . . . . 9 |- ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) )
46 oveq1 6014 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = A -> ( x ^ k ) = ( A ^ k ) )
4746oveq2d 6023 . . . . . . . . . 10 |- ( x = A -> ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) = ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) )
4847sumeq2sdv 11889 . . . . . . . . 9 |- ( x = A -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) )
49 simplr 528 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> A e. CC )
508, 29fsumcl 11919 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) e. CC )
5145, 48, 49, 50fvmptd3 5730 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ` A ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) )
5251adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> ( ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ` A ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) )
5344, 52eqtrd 2262 . . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> ( F ` A ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) )
5453fveq2d 5633 . . . . 5 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> ( * ` ( F ` A ) ) = ( * ` sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) ) )
5543fveq1d 5631 . . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> ( F ` ( * ` A ) ) = ( ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ` ( * ` A ) ) )
56 oveq1 6014 . . . . . . . . . 10 |- ( x = ( * ` A ) -> ( x ^ k ) = ( ( * ` A ) ^ k ) )
5756oveq2d 6023 . . . . . . . . 9 |- ( x = ( * ` A ) -> ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) = ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) )
5857sumeq2sdv 11889 . . . . . . . 8 |- ( x = ( * ` A ) -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) )
5949cjcld 11459 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( * ` A ) e. CC )
6059adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( * ` A ) e. CC )
6160, 24expcld 10903 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( * ` A ) ^ k ) e. CC )
6226, 61mulcld 8175 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) e. CC )
638, 62fsumcl 11919 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) e. CC )
6445, 58, 59, 63fvmptd3 5730 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ` ( * ` A ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) )
6564adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> ( ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ` ( * ` A ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) )
6655, 65eqtrd 2262 . . . . 5 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> ( F ` ( * ` A ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) )
6742, 54, 663eqtr4d 2272 . . . 4 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> ( * ` ( F ` A ) ) = ( F ` ( * ` A ) ) )
6867ex 115 . . 3 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) -> ( * ` ( F ` A ) ) = ( F ` ( * ` A ) ) ) )
6968rexlimdvva 2656 . 2 |- ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) -> ( E. n e. NN0 E. a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) -> ( * ` ( F ` A ) ) = ( F ` ( * ` A ) ) ) )
704, 69mpd 13 1 |- ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) -> ( * ` ( F ` A ) ) = ( F ` ( * ` A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   E.wrex 2509   _Vcvv 2799   u. cun 3195   C_ wss 3197   {csn 3666   |-> cmpt 4145   -->wf 5314   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   ^m cmap 6803   CCcc 8005   RRcr 8006   0cc0 8007   x. cmul 8012   NN0cn0 9377   ...cfz 10212   ^cexp 10768   *ccj 11358   sum_csu 11872  Polycply 15410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126  ax-caucvg 8127
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-frec 6543  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-er 6688  df-map 6805  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-q 9823  df-rp 9858  df-fz 10213  df-fzo 10347  df-seqfrec 10678  df-exp 10769  df-ihash 11006  df-cj 11361  df-re 11362  df-im 11363  df-rsqrt 11517  df-abs 11518  df-clim 11798  df-sumdc 11873  df-ply 15412
This theorem is referenced by:  plyreres  15446
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