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Theorem plyrecj 15574
Description: A polynomial with real coefficients distributes under conjugation. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyrecj |- ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) -> ( * ` ( F ` A ) ) = ( F ` ( * ` A ) ) )
Proof of Theorem plyrecj
Dummy variables a k n x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . . 4 |- ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) -> F e. (Poly ` RR ) )
2 elply 15545 . . . 4 |- ( F e. (Poly ` RR ) <-> ( RR C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) )
31, 2sylib 122 . . 3 |- ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) -> ( RR C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) )
43simprd 114 . 2 |- ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) -> E. n e. NN0 E. a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) )
5 0zd 9552 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> 0 e. ZZ )
6 simprl 531 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> n e. NN0 )
76nn0zd 9661 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> n e. ZZ )
85, 7fzfigd 10756 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( 0 ... n ) e. Fin )
9 simplrr 538 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
10 0re 8239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. RR
11 snssi 3822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 0 e. RR -> { 0 } C_ RR )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { 0 } C_ RR
13 ssequn2 3382 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { 0 } C_ RR <-> ( RR u. { 0 } ) = RR )
1412, 13mpbi 145 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( RR u. { 0 } ) = RR
15 reex 8226 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- RR e. _V
1614, 15eqeltri 2304 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( RR u. { 0 } ) e. _V
17 nn0ex 9467 . . . . . . . . . . . . . 14 |- NN0 e. _V
1816, 17elmap 6889 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> a : NN0 --> ( RR u. { 0 } ) )
19 feq3 5474 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( RR u. { 0 } ) = RR -> ( a : NN0 --> ( RR u. { 0 } ) <-> a : NN0 --> RR ) )
2014, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a : NN0 --> ( RR u. { 0 } ) <-> a : NN0 --> RR )
2118, 20bitri 184 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> a : NN0 --> RR )
229, 21sylib 122 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> a : NN0 --> RR )
23 elfznn0 10411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> k e. NN0 )
2423adantl 277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> k e. NN0 )
2522, 24ffvelcdmd 5791 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( a ` k ) e. RR )
2625recnd 8267 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( a ` k ) e. CC )
27 simpllr 536 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> A e. CC )
2827, 24expcld 10998 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( A ^ k ) e. CC )
2926, 28mulcld 8259 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) e. CC )
308, 29fsumcj 12115 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( * ` sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( * ` ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) ) )
3126, 28cjmuld 11606 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( * ` ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) ) = ( ( * ` ( a ` k ) ) x. ( * ` ( A ^ k ) ) ) )
32 simprr 533 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
3332, 21sylib 122 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> a : NN0 --> RR )
3433adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> a : NN0 --> RR )
3534, 24ffvelcdmd 5791 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( a ` k ) e. RR )
3635cjred 11611 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( * ` ( a ` k ) ) = ( a ` k ) )
3727, 24cjexpd 11598 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( * ` ( A ^ k ) ) = ( ( * ` A ) ^ k ) )
3836, 37oveq12d 6046 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( * ` ( a ` k ) ) x. ( * ` ( A ^ k ) ) ) = ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) )
3931, 38eqtrd 2264 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( * ` ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) ) = ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) )
4039sumeq2dv 12008 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( * ` ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) )
4130, 40eqtrd 2264 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( * ` sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) )
4241adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> ( * ` sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) )
43 simpr 110 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) )
4443fveq1d 5650 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> ( F ` A ) = ( ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ` A ) )
45 eqid 2231 . . . . . . . . 9 |- ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) )
46 oveq1 6035 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = A -> ( x ^ k ) = ( A ^ k ) )
4746oveq2d 6044 . . . . . . . . . 10 |- ( x = A -> ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) = ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) )
4847sumeq2sdv 12010 . . . . . . . . 9 |- ( x = A -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) )
49 simplr 529 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> A e. CC )
508, 29fsumcl 12041 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) e. CC )
5145, 48, 49, 50fvmptd3 5749 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ` A ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) )
5251adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> ( ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ` A ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) )
5344, 52eqtrd 2264 . . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> ( F ` A ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) )
5453fveq2d 5652 . . . . 5 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> ( * ` ( F ` A ) ) = ( * ` sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( A ^ k ) ) ) )
5543fveq1d 5650 . . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> ( F ` ( * ` A ) ) = ( ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ` ( * ` A ) ) )
56 oveq1 6035 . . . . . . . . . 10 |- ( x = ( * ` A ) -> ( x ^ k ) = ( ( * ` A ) ^ k ) )
5756oveq2d 6044 . . . . . . . . 9 |- ( x = ( * ` A ) -> ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) = ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) )
5857sumeq2sdv 12010 . . . . . . . 8 |- ( x = ( * ` A ) -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) )
5949cjcld 11580 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( * ` A ) e. CC )
6059adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( * ` A ) e. CC )
6160, 24expcld 10998 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( * ` A ) ^ k ) e. CC )
6226, 61mulcld 8259 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) e. CC )
638, 62fsumcl 12041 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) e. CC )
6445, 58, 59, 63fvmptd3 5749 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ` ( * ` A ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) )
6564adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> ( ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ` ( * ` A ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) )
6655, 65eqtrd 2264 . . . . 5 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> ( F ` ( * ` A ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( * ` A ) ^ k ) ) )
6742, 54, 663eqtr4d 2274 . . . 4 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> ( * ` ( F ` A ) ) = ( F ` ( * ` A ) ) )
6867ex 115 . . 3 |- ( ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) -> ( * ` ( F ` A ) ) = ( F ` ( * ` A ) ) ) )
6968rexlimdvva 2659 . 2 |- ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) -> ( E. n e. NN0 E. a e. ( ( RR u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) -> ( * ` ( F ` A ) ) = ( F ` ( * ` A ) ) ) )
704, 69mpd 13 1 |- ( ( F e. (Poly ` RR ) /\ A e. CC ) -> ( * ` ( F ` A ) ) = ( F ` ( * ` A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   E.wrex 2512   _Vcvv 2803   u. cun 3199   C_ wss 3201   {csn 3673   |-> cmpt 4155   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   ^m cmap 6860   CCcc 8090   RRcr 8091   0cc0 8092   x. cmul 8097   NN0cn0 9461   ...cfz 10305   ^cexp 10863   *ccj 11479   sum_csu 11993  Polycply 15539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-map 6862  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-q 9915  df-rp 9950  df-fz 10306  df-fzo 10440  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-ihash 11101  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639  df-clim 11919  df-sumdc 11994  df-ply 15541
This theorem is referenced by:  plyreres  15575
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