Theorem plycj 15443

Description: The double conjugation of a polynomial is a polynomial. (The single conjugation is not because our definition of polynomial includes only holomorphic functions, i.e. no dependence on ( * ` z ) independently of z.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plycj.2	|- G = ( ( * o. F ) o. * )
plycj.3	|- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( * ` x ) e. S )
plycj.4	|- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )

Assertion

Ref	Expression
plycj	|- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, S   ph, x

Allowed substitution hint:   G( x)

Proof of Theorem plycj

Dummy variables k z a n j w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plycj.4	. . . 4 |- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
2		elply 15416	. . . 4 |- ( F e. (Poly ` S ) <-> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) )
3	1, 2	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) )
4	3	simprd 114	. 2 |- ( ph -> E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) )
5		simplrl 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> n e. NN0 )
6		plycj.2	. . . . . . 7 |- G = ( ( * o. F ) o. * )
7		simplrr 536	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
8		cnex 8131	. . . . . . . . . . . . 13 |- CC e. _V
9	8	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> CC e. _V )
10	3	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S C_ CC )
11	9, 10	ssexd 4224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S e. _V )
12	11	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> S e. _V )
13		c0ex 8148	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. _V
14	13	snex 4269	. . . . . . . . . 10 |- { 0 } e. _V
15		unexg 4534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. _V /\ { 0 } e. _V ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
16	12, 14, 15	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
17		nn0ex 9383	. . . . . . . . . 10 |- NN0 e. _V
18	17	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> NN0 e. _V )
19	16, 18	elmapd 6817	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
20	7, 19	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
21		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) )
22		oveq1 6014	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = z -> ( w ^ j ) = ( z ^ j ) )
23	22	oveq2d 6023	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = z -> ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) = ( ( a ` j ) x. ( z ^ j ) ) )
24	23	sumeq2sdv 11889	. . . . . . . . . 10 |- ( w = z -> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) = sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( z ^ j ) ) )
25	24	cbvmptv 4180	. . . . . . . . 9 |- ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( z ^ j ) ) )
26		fveq2 5629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = k -> ( a ` j ) = ( a ` k ) )
27		oveq2 6015	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = k -> ( z ^ j ) = ( z ^ k ) )
28	26, 27	oveq12d 6025	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> ( ( a ` j ) x. ( z ^ j ) ) = ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
29	28	cbvsumv 11880	. . . . . . . . . 10 |- sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( z ^ j ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) )
30	29	mpteq2i 4171	. . . . . . . . 9 |- ( z e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( z ^ j ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
31	25, 30	eqtri 2250	. . . . . . . 8 |- ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
32	21, 31	eqtrdi 2278	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
33	1	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> F e. (Poly ` S ) )
34	5, 6, 20, 32, 33	plycjlemc 15442	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( ( * o. a ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
35		0cn 8146	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. CC
36		snssi 3812	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. CC -> { 0 } C_ CC )
37	35, 36	mp1i 10	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { 0 } C_ CC )
38	10, 37	unssd 3380	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
39	38	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
40	20	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
41		elfznn0 10318	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> k e. NN0 )
42	41	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> k e. NN0 )
43		fvco3 5707	. . . . . . . . 9 |- ( ( a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( * o. a ) ` k ) = ( * ` ( a ` k ) ) )
44	40, 42, 43	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( * o. a ) ` k ) = ( * ` ( a ` k ) ) )
45	40, 42	ffvelcdmd 5773	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( a ` k ) e. ( S u. { 0 } ) )
46		plycj.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( * ` x ) e. S )
47	46	ralrimiva 2603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. x e. S ( * ` x ) e. S )
48		fveq2 5629	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( a ` k ) -> ( * ` x ) = ( * ` ( a ` k ) ) )
49	48	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( a ` k ) -> ( ( * ` x ) e. S <-> ( * ` ( a ` k ) ) e. S ) )
50	49	rspccv 2904	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. S ( * ` x ) e. S -> ( ( a ` k ) e. S -> ( * ` ( a ` k ) ) e. S ) )
51	47, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( a ` k ) e. S -> ( * ` ( a ` k ) ) e. S ) )
52		elsni 3684	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a ` k ) e. { 0 } -> ( a ` k ) = 0 )
53	52	fveq2d 5633	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a ` k ) e. { 0 } -> ( * ` ( a ` k ) ) = ( * ` 0 ) )
54		cj0 11420	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( * ` 0 ) = 0
55	53, 54	eqtrdi 2278	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a ` k ) e. { 0 } -> ( * ` ( a ` k ) ) = 0 )
56	55, 35	eqeltrdi 2320	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a ` k ) e. { 0 } -> ( * ` ( a ` k ) ) e. CC )
57		elsng 3681	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( * ` ( a ` k ) ) e. CC -> ( ( * ` ( a ` k ) ) e. { 0 } <-> ( * ` ( a ` k ) ) = 0 ) )
58	56, 57	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a ` k ) e. { 0 } -> ( ( * ` ( a ` k ) ) e. { 0 } <-> ( * ` ( a ` k ) ) = 0 ) )
59	55, 58	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a ` k ) e. { 0 } -> ( * ` ( a ` k ) ) e. { 0 } )
60	59	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( a ` k ) e. { 0 } -> ( * ` ( a ` k ) ) e. { 0 } ) )
61	51, 60	orim12d 791	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( a ` k ) e. S \/ ( a ` k ) e. { 0 } ) -> ( ( * ` ( a ` k ) ) e. S \/ ( * ` ( a ` k ) ) e. { 0 } ) ) )
62		elun 3345	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a ` k ) e. ( S u. { 0 } ) <-> ( ( a ` k ) e. S \/ ( a ` k ) e. { 0 } ) )
63		elun 3345	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( * ` ( a ` k ) ) e. ( S u. { 0 } ) <-> ( ( * ` ( a ` k ) ) e. S \/ ( * ` ( a ` k ) ) e. { 0 } ) )
64	61, 62, 63	3imtr4g 205	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( a ` k ) e. ( S u. { 0 } ) -> ( * ` ( a ` k ) ) e. ( S u. { 0 } ) ) )
65	64	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( a ` k ) e. ( S u. { 0 } ) -> ( * ` ( a ` k ) ) e. ( S u. { 0 } ) ) )
66	45, 65	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( * ` ( a ` k ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
67	44, 66	eqeltrd 2306	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( * o. a ) ` k ) e. ( S u. { 0 } ) )
68	39, 5, 67	elplyd 15423	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( ( * o. a ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
69	34, 68	eqeltrd 2306	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> G e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
70		plyun0 15418	. . . . 5 |- (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) = (Poly ` S )
71	69, 70	eleqtrdi 2322	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> G e. (Poly ` S ) )
72	71	ex 115	. . 3 |- ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) -> G e. (Poly ` S ) ) )
73	72	rexlimdvva 2656	. 2 |- ( ph -> ( E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) -> G e. (Poly ` S ) ) )
74	4, 73	mpd 13	1 |- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   _Vcvv 2799   u. cun 3195   C_ wss 3197   {csn 3666   |-> cmpt 4145   o. ccom 4723   -->wf 5314   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   ^m cmap 6803   CCcc 8005   0cc0 8007   x. cmul 8012   NN0cn0 9377   ...cfz 10212   ^cexp 10768   *ccj 11358   sum_csu 11872  Polycply 15410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126  ax-caucvg 8127

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-frec 6543  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-er 6688  df-map 6805  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-q 9823  df-rp 9858  df-fz 10213  df-fzo 10347  df-seqfrec 10678  df-exp 10769  df-ihash 11006  df-cj 11361  df-re 11362  df-im 11363  df-rsqrt 11517  df-abs 11518  df-clim 11798  df-sumdc 11873  df-ply 15412

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