Theorem plycj 15626

Description: The double conjugation of a polynomial is a polynomial. (The single conjugation is not because our definition of polynomial includes only holomorphic functions, i.e. no dependence on ( * ` z ) independently of z.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plycj.2	|- G = ( ( * o. F ) o. * )
plycj.3	|- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( * ` x ) e. S )
plycj.4	|- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )

Assertion

Ref	Expression
plycj	|- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, S   ph, x

Allowed substitution hint:   G( x)

Proof of Theorem plycj

Dummy variables k z a n j w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plycj.4	. . . 4 |- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
2		elply 15599	. . . 4 |- ( F e. (Poly ` S ) <-> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) )
3	1, 2	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) )
4	3	simprd 114	. 2 |- ( ph -> E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) )
5		simplrl 537	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> n e. NN0 )
6		plycj.2	. . . . . . 7 |- G = ( ( * o. F ) o. * )
7		simplrr 538	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
8		cnex 8251	. . . . . . . . . . . . 13 |- CC e. _V
9	8	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> CC e. _V )
10	3	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S C_ CC )
11	9, 10	ssexd 4250	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S e. _V )
12	11	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> S e. _V )
13		c0ex 8268	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. _V
14	13	snex 4298	. . . . . . . . . 10 |- { 0 } e. _V
15		unexg 4564	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. _V /\ { 0 } e. _V ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
16	12, 14, 15	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
17		nn0ex 9502	. . . . . . . . . 10 |- NN0 e. _V
18	17	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> NN0 e. _V )
19	16, 18	elmapd 6896	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
20	7, 19	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
21		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) )
22		oveq1 6057	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = z -> ( w ^ j ) = ( z ^ j ) )
23	22	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = z -> ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) = ( ( a ` j ) x. ( z ^ j ) ) )
24	23	sumeq2sdv 12055	. . . . . . . . . 10 |- ( w = z -> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) = sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( z ^ j ) ) )
25	24	cbvmptv 4206	. . . . . . . . 9 |- ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( z ^ j ) ) )
26		fveq2 5670	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = k -> ( a ` j ) = ( a ` k ) )
27		oveq2 6058	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = k -> ( z ^ j ) = ( z ^ k ) )
28	26, 27	oveq12d 6068	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> ( ( a ` j ) x. ( z ^ j ) ) = ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
29	28	cbvsumv 12046	. . . . . . . . . 10 |- sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( z ^ j ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) )
30	29	mpteq2i 4197	. . . . . . . . 9 |- ( z e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( z ^ j ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
31	25, 30	eqtri 2253	. . . . . . . 8 |- ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
32	21, 31	eqtrdi 2281	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
33	1	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> F e. (Poly ` S ) )
34	5, 6, 20, 32, 33	plycjlemc 15625	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( ( * o. a ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
35		0cn 8266	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. CC
36		snssi 3838	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. CC -> { 0 } C_ CC )
37	35, 36	mp1i 10	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { 0 } C_ CC )
38	10, 37	unssd 3395	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
39	38	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
40	20	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
41		elfznn0 10448	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> k e. NN0 )
42	41	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> k e. NN0 )
43		fvco3 5748	. . . . . . . . 9 |- ( ( a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( * o. a ) ` k ) = ( * ` ( a ` k ) ) )
44	40, 42, 43	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( * o. a ) ` k ) = ( * ` ( a ` k ) ) )
45	40, 42	ffvelcdmd 5813	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( a ` k ) e. ( S u. { 0 } ) )
46		plycj.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( * ` x ) e. S )
47	46	ralrimiva 2615	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. x e. S ( * ` x ) e. S )
48		fveq2 5670	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( a ` k ) -> ( * ` x ) = ( * ` ( a ` k ) ) )
49	48	eleq1d 2301	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( a ` k ) -> ( ( * ` x ) e. S <-> ( * ` ( a ` k ) ) e. S ) )
50	49	rspccv 2918	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. S ( * ` x ) e. S -> ( ( a ` k ) e. S -> ( * ` ( a ` k ) ) e. S ) )
51	47, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( a ` k ) e. S -> ( * ` ( a ` k ) ) e. S ) )
52		elsni 3707	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a ` k ) e. { 0 } -> ( a ` k ) = 0 )
53	52	fveq2d 5674	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a ` k ) e. { 0 } -> ( * ` ( a ` k ) ) = ( * ` 0 ) )
54		cj0 11586	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( * ` 0 ) = 0
55	53, 54	eqtrdi 2281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a ` k ) e. { 0 } -> ( * ` ( a ` k ) ) = 0 )
56	55, 35	eqeltrdi 2323	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a ` k ) e. { 0 } -> ( * ` ( a ` k ) ) e. CC )
57		elsng 3704	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( * ` ( a ` k ) ) e. CC -> ( ( * ` ( a ` k ) ) e. { 0 } <-> ( * ` ( a ` k ) ) = 0 ) )
58	56, 57	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a ` k ) e. { 0 } -> ( ( * ` ( a ` k ) ) e. { 0 } <-> ( * ` ( a ` k ) ) = 0 ) )
59	55, 58	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a ` k ) e. { 0 } -> ( * ` ( a ` k ) ) e. { 0 } )
60	59	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( a ` k ) e. { 0 } -> ( * ` ( a ` k ) ) e. { 0 } ) )
61	51, 60	orim12d 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( a ` k ) e. S \/ ( a ` k ) e. { 0 } ) -> ( ( * ` ( a ` k ) ) e. S \/ ( * ` ( a ` k ) ) e. { 0 } ) ) )
62		elun 3360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a ` k ) e. ( S u. { 0 } ) <-> ( ( a ` k ) e. S \/ ( a ` k ) e. { 0 } ) )
63		elun 3360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( * ` ( a ` k ) ) e. ( S u. { 0 } ) <-> ( ( * ` ( a ` k ) ) e. S \/ ( * ` ( a ` k ) ) e. { 0 } ) )
64	61, 62, 63	3imtr4g 205	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( a ` k ) e. ( S u. { 0 } ) -> ( * ` ( a ` k ) ) e. ( S u. { 0 } ) ) )
65	64	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( a ` k ) e. ( S u. { 0 } ) -> ( * ` ( a ` k ) ) e. ( S u. { 0 } ) ) )
66	45, 65	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( * ` ( a ` k ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
67	44, 66	eqeltrd 2309	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( * o. a ) ` k ) e. ( S u. { 0 } ) )
68	39, 5, 67	elplyd 15606	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( ( * o. a ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
69	34, 68	eqeltrd 2309	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> G e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
70		plyun0 15601	. . . . 5 |- (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) = (Poly ` S )
71	69, 70	eleqtrdi 2325	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> G e. (Poly ` S ) )
72	71	ex 115	. . 3 |- ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) -> G e. (Poly ` S ) ) )
73	72	rexlimdvva 2668	. 2 |- ( ph -> ( E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) -> G e. (Poly ` S ) ) )
74	4, 73	mpd 13	1 |- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   _Vcvv 2813   u. cun 3209   C_ wss 3211   {csn 3689   |-> cmpt 4171   o. ccom 4753   -->wf 5348   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   ^m cmap 6882   CCcc 8125   0cc0 8127   x. cmul 8132   NN0cn0 9496   ...cfz 10342   ^cexp 10900   *ccj 11524   sum_csu 12038  Polycply 15593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-frec 6622  df-1o 6647  df-oadd 6651  df-er 6767  df-map 6884  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-ihash 11139  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-clim 11964  df-sumdc 12039  df-ply 15595

This theorem is referenced by: (None)