Theorem plycj 15552

Description: The double conjugation of a polynomial is a polynomial. (The single conjugation is not because our definition of polynomial includes only holomorphic functions, i.e. no dependence on ( * ` z ) independently of z.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plycj.2	|- G = ( ( * o. F ) o. * )
plycj.3	|- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( * ` x ) e. S )
plycj.4	|- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )

Assertion

Ref	Expression
plycj	|- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, S   ph, x

Allowed substitution hint:   G( x)

Proof of Theorem plycj

Dummy variables k z a n j w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plycj.4	. . . 4 |- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
2		elply 15525	. . . 4 |- ( F e. (Poly ` S ) <-> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) )
3	1, 2	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) )
4	3	simprd 114	. 2 |- ( ph -> E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) )
5		simplrl 537	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> n e. NN0 )
6		plycj.2	. . . . . . 7 |- G = ( ( * o. F ) o. * )
7		simplrr 538	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
8		cnex 8199	. . . . . . . . . . . . 13 |- CC e. _V
9	8	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> CC e. _V )
10	3	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S C_ CC )
11	9, 10	ssexd 4234	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S e. _V )
12	11	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> S e. _V )
13		c0ex 8216	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. _V
14	13	snex 4281	. . . . . . . . . 10 |- { 0 } e. _V
15		unexg 4546	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. _V /\ { 0 } e. _V ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
16	12, 14, 15	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
17		nn0ex 9451	. . . . . . . . . 10 |- NN0 e. _V
18	17	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> NN0 e. _V )
19	16, 18	elmapd 6874	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
20	7, 19	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
21		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) )
22		oveq1 6035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = z -> ( w ^ j ) = ( z ^ j ) )
23	22	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = z -> ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) = ( ( a ` j ) x. ( z ^ j ) ) )
24	23	sumeq2sdv 11991	. . . . . . . . . 10 |- ( w = z -> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) = sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( z ^ j ) ) )
25	24	cbvmptv 4190	. . . . . . . . 9 |- ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( z ^ j ) ) )
26		fveq2 5648	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = k -> ( a ` j ) = ( a ` k ) )
27		oveq2 6036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = k -> ( z ^ j ) = ( z ^ k ) )
28	26, 27	oveq12d 6046	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> ( ( a ` j ) x. ( z ^ j ) ) = ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
29	28	cbvsumv 11982	. . . . . . . . . 10 |- sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( z ^ j ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) )
30	29	mpteq2i 4181	. . . . . . . . 9 |- ( z e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( z ^ j ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
31	25, 30	eqtri 2252	. . . . . . . 8 |- ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
32	21, 31	eqtrdi 2280	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
33	1	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> F e. (Poly ` S ) )
34	5, 6, 20, 32, 33	plycjlemc 15551	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( ( * o. a ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
35		0cn 8214	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. CC
36		snssi 3822	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. CC -> { 0 } C_ CC )
37	35, 36	mp1i 10	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { 0 } C_ CC )
38	10, 37	unssd 3385	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
39	38	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
40	20	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
41		elfznn0 10392	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> k e. NN0 )
42	41	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> k e. NN0 )
43		fvco3 5726	. . . . . . . . 9 |- ( ( a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( * o. a ) ` k ) = ( * ` ( a ` k ) ) )
44	40, 42, 43	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( * o. a ) ` k ) = ( * ` ( a ` k ) ) )
45	40, 42	ffvelcdmd 5791	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( a ` k ) e. ( S u. { 0 } ) )
46		plycj.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( * ` x ) e. S )
47	46	ralrimiva 2606	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. x e. S ( * ` x ) e. S )
48		fveq2 5648	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( a ` k ) -> ( * ` x ) = ( * ` ( a ` k ) ) )
49	48	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( a ` k ) -> ( ( * ` x ) e. S <-> ( * ` ( a ` k ) ) e. S ) )
50	49	rspccv 2908	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. S ( * ` x ) e. S -> ( ( a ` k ) e. S -> ( * ` ( a ` k ) ) e. S ) )
51	47, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( a ` k ) e. S -> ( * ` ( a ` k ) ) e. S ) )
52		elsni 3691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a ` k ) e. { 0 } -> ( a ` k ) = 0 )
53	52	fveq2d 5652	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a ` k ) e. { 0 } -> ( * ` ( a ` k ) ) = ( * ` 0 ) )
54		cj0 11522	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( * ` 0 ) = 0
55	53, 54	eqtrdi 2280	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a ` k ) e. { 0 } -> ( * ` ( a ` k ) ) = 0 )
56	55, 35	eqeltrdi 2322	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a ` k ) e. { 0 } -> ( * ` ( a ` k ) ) e. CC )
57		elsng 3688	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( * ` ( a ` k ) ) e. CC -> ( ( * ` ( a ` k ) ) e. { 0 } <-> ( * ` ( a ` k ) ) = 0 ) )
58	56, 57	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a ` k ) e. { 0 } -> ( ( * ` ( a ` k ) ) e. { 0 } <-> ( * ` ( a ` k ) ) = 0 ) )
59	55, 58	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a ` k ) e. { 0 } -> ( * ` ( a ` k ) ) e. { 0 } )
60	59	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( a ` k ) e. { 0 } -> ( * ` ( a ` k ) ) e. { 0 } ) )
61	51, 60	orim12d 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( a ` k ) e. S \/ ( a ` k ) e. { 0 } ) -> ( ( * ` ( a ` k ) ) e. S \/ ( * ` ( a ` k ) ) e. { 0 } ) ) )
62		elun 3350	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a ` k ) e. ( S u. { 0 } ) <-> ( ( a ` k ) e. S \/ ( a ` k ) e. { 0 } ) )
63		elun 3350	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( * ` ( a ` k ) ) e. ( S u. { 0 } ) <-> ( ( * ` ( a ` k ) ) e. S \/ ( * ` ( a ` k ) ) e. { 0 } ) )
64	61, 62, 63	3imtr4g 205	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( a ` k ) e. ( S u. { 0 } ) -> ( * ` ( a ` k ) ) e. ( S u. { 0 } ) ) )
65	64	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( a ` k ) e. ( S u. { 0 } ) -> ( * ` ( a ` k ) ) e. ( S u. { 0 } ) ) )
66	45, 65	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( * ` ( a ` k ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
67	44, 66	eqeltrd 2308	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( * o. a ) ` k ) e. ( S u. { 0 } ) )
68	39, 5, 67	elplyd 15532	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( ( * o. a ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
69	34, 68	eqeltrd 2308	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> G e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
70		plyun0 15527	. . . . 5 |- (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) = (Poly ` S )
71	69, 70	eleqtrdi 2324	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> G e. (Poly ` S ) )
72	71	ex 115	. . 3 |- ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) -> G e. (Poly ` S ) ) )
73	72	rexlimdvva 2659	. 2 |- ( ph -> ( E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) -> G e. (Poly ` S ) ) )
74	4, 73	mpd 13	1 |- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   _Vcvv 2803   u. cun 3199   C_ wss 3201   {csn 3673   |-> cmpt 4155   o. ccom 4735   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   ^m cmap 6860   CCcc 8073   0cc0 8075   x. cmul 8080   NN0cn0 9445   ...cfz 10286   ^cexp 10844   *ccj 11460   sum_csu 11974  Polycply 15519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-map 6862  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-q 9897  df-rp 9932  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-ihash 11082  df-cj 11463  df-re 11464  df-im 11465  df-rsqrt 11619  df-abs 11620  df-clim 11900  df-sumdc 11975  df-ply 15521

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