Theorem plycj 15478

Description: The double conjugation of a polynomial is a polynomial. (The single conjugation is not because our definition of polynomial includes only holomorphic functions, i.e. no dependence on ( * ` z ) independently of z.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plycj.2	|- G = ( ( * o. F ) o. * )
plycj.3	|- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( * ` x ) e. S )
plycj.4	|- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )

Assertion

Ref	Expression
plycj	|- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, S   ph, x

Allowed substitution hint:   G( x)

Proof of Theorem plycj

Dummy variables k z a n j w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plycj.4	. . . 4 |- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
2		elply 15451	. . . 4 |- ( F e. (Poly ` S ) <-> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) )
3	1, 2	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) )
4	3	simprd 114	. 2 |- ( ph -> E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) )
5		simplrl 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> n e. NN0 )
6		plycj.2	. . . . . . 7 |- G = ( ( * o. F ) o. * )
7		simplrr 536	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
8		cnex 8149	. . . . . . . . . . . . 13 |- CC e. _V
9	8	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> CC e. _V )
10	3	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S C_ CC )
11	9, 10	ssexd 4227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S e. _V )
12	11	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> S e. _V )
13		c0ex 8166	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. _V
14	13	snex 4273	. . . . . . . . . 10 |- { 0 } e. _V
15		unexg 4538	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. _V /\ { 0 } e. _V ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
16	12, 14, 15	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
17		nn0ex 9401	. . . . . . . . . 10 |- NN0 e. _V
18	17	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> NN0 e. _V )
19	16, 18	elmapd 6826	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
20	7, 19	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
21		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) )
22		oveq1 6020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = z -> ( w ^ j ) = ( z ^ j ) )
23	22	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = z -> ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) = ( ( a ` j ) x. ( z ^ j ) ) )
24	23	sumeq2sdv 11924	. . . . . . . . . 10 |- ( w = z -> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) = sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( z ^ j ) ) )
25	24	cbvmptv 4183	. . . . . . . . 9 |- ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( z ^ j ) ) )
26		fveq2 5635	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = k -> ( a ` j ) = ( a ` k ) )
27		oveq2 6021	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = k -> ( z ^ j ) = ( z ^ k ) )
28	26, 27	oveq12d 6031	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> ( ( a ` j ) x. ( z ^ j ) ) = ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
29	28	cbvsumv 11915	. . . . . . . . . 10 |- sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( z ^ j ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) )
30	29	mpteq2i 4174	. . . . . . . . 9 |- ( z e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( z ^ j ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
31	25, 30	eqtri 2250	. . . . . . . 8 |- ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
32	21, 31	eqtrdi 2278	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
33	1	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> F e. (Poly ` S ) )
34	5, 6, 20, 32, 33	plycjlemc 15477	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( ( * o. a ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
35		0cn 8164	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. CC
36		snssi 3815	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. CC -> { 0 } C_ CC )
37	35, 36	mp1i 10	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { 0 } C_ CC )
38	10, 37	unssd 3381	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
39	38	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
40	20	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
41		elfznn0 10342	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> k e. NN0 )
42	41	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> k e. NN0 )
43		fvco3 5713	. . . . . . . . 9 |- ( ( a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( * o. a ) ` k ) = ( * ` ( a ` k ) ) )
44	40, 42, 43	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( * o. a ) ` k ) = ( * ` ( a ` k ) ) )
45	40, 42	ffvelcdmd 5779	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( a ` k ) e. ( S u. { 0 } ) )
46		plycj.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( * ` x ) e. S )
47	46	ralrimiva 2603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. x e. S ( * ` x ) e. S )
48		fveq2 5635	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( a ` k ) -> ( * ` x ) = ( * ` ( a ` k ) ) )
49	48	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( a ` k ) -> ( ( * ` x ) e. S <-> ( * ` ( a ` k ) ) e. S ) )
50	49	rspccv 2905	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. S ( * ` x ) e. S -> ( ( a ` k ) e. S -> ( * ` ( a ` k ) ) e. S ) )
51	47, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( a ` k ) e. S -> ( * ` ( a ` k ) ) e. S ) )
52		elsni 3685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a ` k ) e. { 0 } -> ( a ` k ) = 0 )
53	52	fveq2d 5639	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a ` k ) e. { 0 } -> ( * ` ( a ` k ) ) = ( * ` 0 ) )
54		cj0 11455	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( * ` 0 ) = 0
55	53, 54	eqtrdi 2278	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a ` k ) e. { 0 } -> ( * ` ( a ` k ) ) = 0 )
56	55, 35	eqeltrdi 2320	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a ` k ) e. { 0 } -> ( * ` ( a ` k ) ) e. CC )
57		elsng 3682	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( * ` ( a ` k ) ) e. CC -> ( ( * ` ( a ` k ) ) e. { 0 } <-> ( * ` ( a ` k ) ) = 0 ) )
58	56, 57	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a ` k ) e. { 0 } -> ( ( * ` ( a ` k ) ) e. { 0 } <-> ( * ` ( a ` k ) ) = 0 ) )
59	55, 58	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a ` k ) e. { 0 } -> ( * ` ( a ` k ) ) e. { 0 } )
60	59	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( a ` k ) e. { 0 } -> ( * ` ( a ` k ) ) e. { 0 } ) )
61	51, 60	orim12d 791	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( a ` k ) e. S \/ ( a ` k ) e. { 0 } ) -> ( ( * ` ( a ` k ) ) e. S \/ ( * ` ( a ` k ) ) e. { 0 } ) ) )
62		elun 3346	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a ` k ) e. ( S u. { 0 } ) <-> ( ( a ` k ) e. S \/ ( a ` k ) e. { 0 } ) )
63		elun 3346	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( * ` ( a ` k ) ) e. ( S u. { 0 } ) <-> ( ( * ` ( a ` k ) ) e. S \/ ( * ` ( a ` k ) ) e. { 0 } ) )
64	61, 62, 63	3imtr4g 205	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( a ` k ) e. ( S u. { 0 } ) -> ( * ` ( a ` k ) ) e. ( S u. { 0 } ) ) )
65	64	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( a ` k ) e. ( S u. { 0 } ) -> ( * ` ( a ` k ) ) e. ( S u. { 0 } ) ) )
66	45, 65	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( * ` ( a ` k ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
67	44, 66	eqeltrd 2306	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( * o. a ) ` k ) e. ( S u. { 0 } ) )
68	39, 5, 67	elplyd 15458	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( ( * o. a ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
69	34, 68	eqeltrd 2306	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> G e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
70		plyun0 15453	. . . . 5 |- (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) = (Poly ` S )
71	69, 70	eleqtrdi 2322	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> G e. (Poly ` S ) )
72	71	ex 115	. . 3 |- ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) -> G e. (Poly ` S ) ) )
73	72	rexlimdvva 2656	. 2 |- ( ph -> ( E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) -> G e. (Poly ` S ) ) )
74	4, 73	mpd 13	1 |- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   _Vcvv 2800   u. cun 3196   C_ wss 3198   {csn 3667   |-> cmpt 4148   o. ccom 4727   -->wf 5320   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   ^m cmap 6812   CCcc 8023   0cc0 8025   x. cmul 8030   NN0cn0 9395   ...cfz 10236   ^cexp 10793   *ccj 11393   sum_csu 11907  Polycply 15445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143  ax-arch 8144  ax-caucvg 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-oadd 6581  df-er 6697  df-map 6814  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-q 9847  df-rp 9882  df-fz 10237  df-fzo 10371  df-seqfrec 10703  df-exp 10794  df-ihash 11031  df-cj 11396  df-re 11397  df-im 11398  df-rsqrt 11552  df-abs 11553  df-clim 11833  df-sumdc 11908  df-ply 15447

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