Theorem plycj 15999

Description: The double conjugation of a polynomial is a polynomial. (The single conjugation is not because our definition of polynomial includes only holomorphic functions, i.e. no dependence on ( * ` z ) independently of z.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plycj.2	|- G = ( ( * o. F ) o. * )
plycj.3	|- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( * ` x ) e. S )
plycj.4	|- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )

Assertion

Ref	Expression
plycj	|- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, S   ph, x

Allowed substitution hint:   G( x)

Proof of Theorem plycj

Dummy variables k z a n j w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plycj.4	. . . 4 |- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
2		elply 15972	. . . 4 |- ( F e. (Poly ` S ) <-> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) )
3	1, 2	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) )
4	3	simprd 114	. 2 |- ( ph -> E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) )
5		simplrl 541	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> n e. NN0 )
6		plycj.2	. . . . . . 7 |- G = ( ( * o. F ) o. * )
7		simplrr 542	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
8		cnex 8310	. . . . . . . . . . . . 13 |- CC e. _V
9	8	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> CC e. _V )
10	3	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S C_ CC )
11	9, 10	ssexd 4275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S e. _V )
12	11	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> S e. _V )
13		c0ex 8327	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. _V
14	13	snex 4324	. . . . . . . . . 10 |- { 0 } e. _V
15		unexg 4591	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. _V /\ { 0 } e. _V ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
16	12, 14, 15	sylancl 417	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
17		nn0ex 9581	. . . . . . . . . 10 |- NN0 e. _V
18	17	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> NN0 e. _V )
19	16, 18	elmapd 6940	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
20	7, 19	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
21		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) )
22		oveq1 6095	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = z -> ( w ^ j ) = ( z ^ j ) )
23	22	oveq2d 6104	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = z -> ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) = ( ( a ` j ) x. ( z ^ j ) ) )
24	23	sumeq2sdv 12162	. . . . . . . . . 10 |- ( w = z -> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) = sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( z ^ j ) ) )
25	24	cbvmptv 4229	. . . . . . . . 9 |- ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( z ^ j ) ) )
26		fveq2 5698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = k -> ( a ` j ) = ( a ` k ) )
27		oveq2 6096	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = k -> ( z ^ j ) = ( z ^ k ) )
28	26, 27	oveq12d 6106	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> ( ( a ` j ) x. ( z ^ j ) ) = ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
29	28	cbvsumv 12153	. . . . . . . . . 10 |- sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( z ^ j ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) )
30	29	mpteq2i 4220	. . . . . . . . 9 |- ( z e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( z ^ j ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
31	25, 30	eqtri 2259	. . . . . . . 8 |- ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
32	21, 31	eqtrdi 2287	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
33	1	ad2antrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> F e. (Poly ` S ) )
34	5, 6, 20, 32, 33	plycjlemc 15998	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( ( * o. a ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
35		0cn 8325	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. CC
36		snssi 3859	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. CC -> { 0 } C_ CC )
37	35, 36	mp1i 10	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { 0 } C_ CC )
38	10, 37	unssd 3405	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
39	38	ad2antrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
40	20	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
41		elfznn0 10539	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> k e. NN0 )
42	41	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> k e. NN0 )
43		fvco3 5779	. . . . . . . . 9 |- ( ( a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( * o. a ) ` k ) = ( * ` ( a ` k ) ) )
44	40, 42, 43	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( * o. a ) ` k ) = ( * ` ( a ` k ) ) )
45	40, 42	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( a ` k ) e. ( S u. { 0 } ) )
46		plycj.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( * ` x ) e. S )
47	46	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. x e. S ( * ` x ) e. S )
48		fveq2 5698	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( a ` k ) -> ( * ` x ) = ( * ` ( a ` k ) ) )
49	48	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( a ` k ) -> ( ( * ` x ) e. S <-> ( * ` ( a ` k ) ) e. S ) )
50	49	rspccv 2926	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. S ( * ` x ) e. S -> ( ( a ` k ) e. S -> ( * ` ( a ` k ) ) e. S ) )
51	47, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( a ` k ) e. S -> ( * ` ( a ` k ) ) e. S ) )
52		elsni 3727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a ` k ) e. { 0 } -> ( a ` k ) = 0 )
53	52	fveq2d 5702	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a ` k ) e. { 0 } -> ( * ` ( a ` k ) ) = ( * ` 0 ) )
54		cj0 11690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( * ` 0 ) = 0
55	53, 54	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a ` k ) e. { 0 } -> ( * ` ( a ` k ) ) = 0 )
56	55, 35	eqeltrdi 2329	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a ` k ) e. { 0 } -> ( * ` ( a ` k ) ) e. CC )
57		elsng 3724	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( * ` ( a ` k ) ) e. CC -> ( ( * ` ( a ` k ) ) e. { 0 } <-> ( * ` ( a ` k ) ) = 0 ) )
58	56, 57	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a ` k ) e. { 0 } -> ( ( * ` ( a ` k ) ) e. { 0 } <-> ( * ` ( a ` k ) ) = 0 ) )
59	55, 58	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a ` k ) e. { 0 } -> ( * ` ( a ` k ) ) e. { 0 } )
60	59	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( a ` k ) e. { 0 } -> ( * ` ( a ` k ) ) e. { 0 } ) )
61	51, 60	orim12d 798	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( a ` k ) e. S \/ ( a ` k ) e. { 0 } ) -> ( ( * ` ( a ` k ) ) e. S \/ ( * ` ( a ` k ) ) e. { 0 } ) ) )
62		elun 3370	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a ` k ) e. ( S u. { 0 } ) <-> ( ( a ` k ) e. S \/ ( a ` k ) e. { 0 } ) )
63		elun 3370	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( * ` ( a ` k ) ) e. ( S u. { 0 } ) <-> ( ( * ` ( a ` k ) ) e. S \/ ( * ` ( a ` k ) ) e. { 0 } ) )
64	61, 62, 63	3imtr4g 205	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( a ` k ) e. ( S u. { 0 } ) -> ( * ` ( a ` k ) ) e. ( S u. { 0 } ) ) )
65	64	ad3antrrr 496	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( a ` k ) e. ( S u. { 0 } ) -> ( * ` ( a ` k ) ) e. ( S u. { 0 } ) ) )
66	45, 65	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( * ` ( a ` k ) ) e. ( S u. { 0 } ) )
67	44, 66	eqeltrd 2315	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( * o. a ) ` k ) e. ( S u. { 0 } ) )
68	39, 5, 67	elplyd 15979	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( ( * o. a ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
69	34, 68	eqeltrd 2315	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> G e. (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) )
70		plyun0 15974	. . . . 5 |- (Poly ` ( S u. { 0 } ) ) = (Poly ` S )
71	69, 70	eleqtrdi 2331	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) -> G e. (Poly ` S ) )
72	71	ex 115	. . 3 |- ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) -> G e. (Poly ` S ) ) )
73	72	rexlimdvva 2676	. 2 |- ( ph -> ( E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) -> G e. (Poly ` S ) ) )
74	4, 73	mpd 13	1 |- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   u. cun 3218   C_ wss 3220   {csn 3709   |-> cmpt 4193   o. ccom 4780   -->wf 5376   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   ^m cmap 6926   CCcc 8184   0cc0 8186   x. cmul 8191   NN0cn0 9575   ...cfz 10429   ^cexp 10997   *ccj 11627   sum_csu 12145  Polycply 15966

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-map 6928  df-en 7028  df-dom 7029  df-fin 7030  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-ihash 11238  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788  df-clim 12071  df-sumdc 12146  df-ply 15968

This theorem is used by: (None)