Theorem eluzdc 9544

Description: Membership of an integer in an upper set of integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
eluzdc	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem eluzdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlelttric 9232	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))
2		eluz 9475	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
3	2	biimprd 157	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
4		zltnle 9233	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
5	4	ancoms 266	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
6	2	notbid 657	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
7	6	biimprd 157	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑀 ≤ 𝑁 → ¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
8	5, 7	sylbid 149	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 → ¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
9	3, 8	orim12d 776	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
10		df-dc 825	. . 3 ⊢ (DECID 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
11	9, 10	syl6ibr 161	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀) → DECID 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
12	1, 11	mpd 13	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698  DECID wdc 824   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3981  ‘cfv 5187   < clt 7929   ≤ cle 7930  ℤcz 9187  ℤ_≥cuz 9462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-addass 7851  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-ltadd 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-inn 8854  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463

This theorem is referenced by:  elnn0dc  9545  elnndc  9546  fzneuz  10032  sumdc  11295  summodclem2a  11318  zsumdc  11321  zproddc  11516  nninfdclemcl  12377  nninfdclemp1  12379