ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eluzdc GIF version

Theorem eluzdc 8991
Description: Membership of an integer in an upper set of integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
eluzdc ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))

Proof of Theorem eluzdc
StepHypRef Expression
1 zlelttric 8690 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁𝑁 < 𝑀))
2 eluz 8926 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑁))
32biimprd 156 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁𝑁 ∈ (ℤ𝑀)))
4 zltnle 8691 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀𝑁))
54ancoms 264 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀𝑁))
62notbid 625 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ ¬ 𝑀𝑁))
76biimprd 156 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑀𝑁 → ¬ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)))
85, 7sylbid 148 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 → ¬ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)))
93, 8orim12d 733 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑁𝑁 < 𝑀) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∨ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))))
10 df-dc 777 . . 3 (DECID 𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∨ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)))
119, 10syl6ibr 160 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑁𝑁 < 𝑀) → DECID 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)))
121, 11mpd 13 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  DECID wdc 776  wcel 1434   class class class wbr 3811  cfv 4968   < clt 7424  cle 7425  cz 8645  cuz 8913
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-cnex 7338  ax-resscn 7339  ax-1cn 7340  ax-1re 7341  ax-icn 7342  ax-addcl 7343  ax-addrcl 7344  ax-mulcl 7345  ax-addcom 7347  ax-addass 7349  ax-distr 7351  ax-i2m1 7352  ax-0lt1 7353  ax-0id 7355  ax-rnegex 7356  ax-cnre 7358  ax-pre-ltirr 7359  ax-pre-ltwlin 7360  ax-pre-lttrn 7361  ax-pre-ltadd 7363
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4083  df-xp 4406  df-rel 4407  df-cnv 4408  df-co 4409  df-dm 4410  df-iota 4933  df-fun 4970  df-fv 4976  df-riota 5546  df-ov 5593  df-oprab 5594  df-mpt2 5595  df-pnf 7426  df-mnf 7427  df-xr 7428  df-ltxr 7429  df-le 7430  df-sub 7557  df-neg 7558  df-inn 8316  df-n0 8565  df-z 8646  df-uz 8914
This theorem is referenced by:  fzneuz  9407  sumdc  10568
  Copyright terms: Public domain W3C validator