ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  flqlt Unicode version

Theorem flqlt 9839
Description: The floor function value is less than the next integer. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
flqlt  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  <  B  <->  ( |_ `  A )  <  B ) )

Proof of Theorem flqlt
StepHypRef Expression
1 flqge 9838 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  A  <->  B  <_  ( |_ `  A ) ) )
21notbid 630 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( -.  B  <_  A 
<->  -.  B  <_  ( |_ `  A ) ) )
3 zq 9210 . . 3  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  QQ )
4 qltnle 9806 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A )
)
53, 4sylan2 281 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A )
)
6 simpl 108 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  e.  QQ )
76flqcld 9833 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  A
)  e.  ZZ )
8 zq 9210 . . . 4  |-  ( ( |_ `  A )  e.  ZZ  ->  ( |_ `  A )  e.  QQ )
97, 8syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  A
)  e.  QQ )
103adantl 272 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  QQ )
11 qltnle 9806 . . 3  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( ( |_ `  A )  <  B  <->  -.  B  <_  ( |_ `  A ) ) )
129, 10, 11syl2anc 404 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  A )  <  B  <->  -.  B  <_  ( |_ `  A ) ) )
132, 5, 123bitr4d 219 1  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  <  B  <->  ( |_ `  A )  <  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1445   class class class wbr 3867   ` cfv 5049    < clt 7619    <_ cle 7620   ZZcz 8848   QQcq 9203   |_cfl 9824
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560  ax-arch 7561
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849  df-q 9204  df-rp 9234  df-fl 9826
This theorem is referenced by:  hashdvds  11639
  Copyright terms: Public domain W3C validator