Theorem flqlt 10696

Description: The floor function value is less than the next integer. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqlt	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (⌊‘𝐴) < 𝐵))

Proof of Theorem flqlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flqge 10695	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ 𝐵 ≤ (⌊‘𝐴)))
2	1	notbid 677	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐵 ≤ (⌊‘𝐴)))
3		zq 10005	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℚ)
4		qltnle 10656	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))
5	3, 4	sylan2 286	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))
6		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℚ)
7	6	flqcld 10690	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
8		zq 10005	. . . 4 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) ∈ ℚ)
9	7, 8	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℚ)
10	3	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℚ)
11		qltnle 10656	. . 3 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ (⌊‘𝐴)))
12	9, 10, 11	syl2anc 415	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ (⌊‘𝐴)))
13	2, 5, 12	3bitr4d 220	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (⌊‘𝐴) < 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125  ‘cfv 5372   < clt 8350   ≤ cle 8351  ℤcz 9623  ℚcq 9998  ⌊cfl 10681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-q 9999  df-rp 10034  df-fl 10683

This theorem is referenced by:  hashdvds  12977  lgsquadlem1  16110  lgsquadlem2  16111  2lgslem1a2  16120