Theorem flqcld 10730

Description: The floor (greatest integer) function is an integer (closure law). (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
flqcld.1	|- ( ph -> A e. QQ )

Assertion

Ref	Expression
flqcld	|- ( ph -> ( |_ ` A ) e. ZZ )

Proof of Theorem flqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flqcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. QQ )
2		flqcl 10724	. 2 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( |_ ` A ) e. ZZ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   ` cfv 5380   ZZcz 9653   QQcq 10034   |_cfl 10719

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9654  df-q 10035  df-rp 10071  df-fl 10721

This theorem is used by:  flqge  10735  flqlt  10737  flid  10739  flqltnz  10742  flqwordi  10743  flqword2  10744  flqaddz  10752  flhalf  10757  flltdivnn0lt  10759  fldiv4p1lem1div2  10760  fldiv4lem1div2uz2  10761  ceiqcl  10764  ceiqge  10766  ceiqm1l  10768  intfracq  10777  flqdiv  10778  modqval  10781  modqvalr  10782  modqcl  10783  flqpmodeq  10784  modq0  10786  modqge0  10789  modqlt  10790  modqdiffl  10792  modqdifz  10793  modqmulnn  10799  modqvalp1  10800  zmodcl  10801  modqcyc  10816  modqadd1  10818  modqmuladd  10823  modqmul1  10834  modqdi  10849  modqsubdir  10850  iexpcyc  11101  facavg  11205  dvdsmod  12653  divalglemnn  12709  divalgmod  12718  flodddiv4t2lthalf  12730  bitsdc  12738  bitsp1  12742  bitsmod  12747  bitscmp  12749  modgcd  12792  hashdvds  13027  prmdiv  13041  odzdvds  13052  fldivp1  13155  pcfac  13157  pcbc  13158  mulgmodid  14022  ppiqub  16310  pcbcctr  16320  bposlem1  16328  bposlem3  16330  bposlem4  16331  bposlem6  16333  gausslemma2dlem3  16404  gausslemma2dlem4  16405  gausslemma2dlem5a  16406  gausslemma2dlem5  16407  gausslemma2dlem6  16408  lgseisenlem4  16414  lgseisen  16415  lgsquadlem1  16418  lgsquadlem2  16419  2lgslem1  16432  2lgslem2  16433