Theorem flqcld 10527

Description: The floor (greatest integer) function is an integer (closure law). (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
flqcld.1	|- ( ph -> A e. QQ )

Assertion

Ref	Expression
flqcld	|- ( ph -> ( |_ ` A ) e. ZZ )

Proof of Theorem flqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flqcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. QQ )
2		flqcl 10523	. 2 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( |_ ` A ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   ` cfv 5324   ZZcz 9469   QQcq 9843   |_cfl 10518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-q 9844  df-rp 9879  df-fl 10520

This theorem is referenced by:  flqge  10532  flqlt  10533  flid  10534  flqltnz  10537  flqwordi  10538  flqword2  10539  flqaddz  10547  flhalf  10552  flltdivnn0lt  10554  fldiv4p1lem1div2  10555  fldiv4lem1div2uz2  10556  ceiqcl  10559  ceiqge  10561  ceiqm1l  10563  intfracq  10572  flqdiv  10573  modqval  10576  modqvalr  10577  modqcl  10578  flqpmodeq  10579  modq0  10581  modqge0  10584  modqlt  10585  modqdiffl  10587  modqdifz  10588  modqmulnn  10594  modqvalp1  10595  zmodcl  10596  modqcyc  10611  modqadd1  10613  modqmuladd  10618  modqmul1  10629  modqdi  10644  modqsubdir  10645  iexpcyc  10896  facavg  10998  dvdsmod  12413  divalglemnn  12469  divalgmod  12478  flodddiv4t2lthalf  12490  bitsdc  12498  bitsp1  12502  bitsmod  12507  bitscmp  12509  modgcd  12552  hashdvds  12783  prmdiv  12797  odzdvds  12808  fldivp1  12911  pcfac  12913  pcbc  12914  mulgmodid  13738  gausslemma2dlem3  15782  gausslemma2dlem4  15783  gausslemma2dlem5a  15784  gausslemma2dlem5  15785  gausslemma2dlem6  15786  lgseisenlem4  15792  lgseisen  15793  lgsquadlem1  15796  lgsquadlem2  15797  2lgslem1  15810  2lgslem2  15811