Theorem flqcld 10536

Description: The floor (greatest integer) function is an integer (closure law). (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
flqcld.1	|- ( ph -> A e. QQ )

Assertion

Ref	Expression
flqcld	|- ( ph -> ( |_ ` A ) e. ZZ )

Proof of Theorem flqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flqcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. QQ )
2		flqcl 10532	. 2 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( |_ ` A ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   ` cfv 5326   ZZcz 9478   QQcq 9852   |_cfl 10527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-q 9853  df-rp 9888  df-fl 10529

This theorem is referenced by:  flqge  10541  flqlt  10542  flid  10543  flqltnz  10546  flqwordi  10547  flqword2  10548  flqaddz  10556  flhalf  10561  flltdivnn0lt  10563  fldiv4p1lem1div2  10564  fldiv4lem1div2uz2  10565  ceiqcl  10568  ceiqge  10570  ceiqm1l  10572  intfracq  10581  flqdiv  10582  modqval  10585  modqvalr  10586  modqcl  10587  flqpmodeq  10588  modq0  10590  modqge0  10593  modqlt  10594  modqdiffl  10596  modqdifz  10597  modqmulnn  10603  modqvalp1  10604  zmodcl  10605  modqcyc  10620  modqadd1  10622  modqmuladd  10627  modqmul1  10638  modqdi  10653  modqsubdir  10654  iexpcyc  10905  facavg  11007  dvdsmod  12422  divalglemnn  12478  divalgmod  12487  flodddiv4t2lthalf  12499  bitsdc  12507  bitsp1  12511  bitsmod  12516  bitscmp  12518  modgcd  12561  hashdvds  12792  prmdiv  12806  odzdvds  12817  fldivp1  12920  pcfac  12922  pcbc  12923  mulgmodid  13747  gausslemma2dlem3  15791  gausslemma2dlem4  15792  gausslemma2dlem5a  15793  gausslemma2dlem5  15794  gausslemma2dlem6  15795  lgseisenlem4  15801  lgseisen  15802  lgsquadlem1  15805  lgsquadlem2  15806  2lgslem1  15819  2lgslem2  15820