Theorem zq 10035

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
zq	|- ( A e. ZZ -> A e. QQ )

Proof of Theorem zq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2240	. . . . 5 |- ( x = A <-> A = x )
2		zcn 9653	. . . . . . 7 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
3	2	div1d 9112	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ -> ( x / 1 ) = x )
4	3	eqeq2d 2250	. . . . 5 |- ( x e. ZZ -> ( A = ( x / 1 ) <-> A = x ) )
5	1, 4	bitr4id 199	. . . 4 |- ( x e. ZZ -> ( x = A <-> A = ( x / 1 ) ) )
6		1nn 9317	. . . . 5 |- 1 e. NN
7		oveq2 6093	. . . . . . 7 |- ( y = 1 -> ( x / y ) = ( x / 1 ) )
8	7	eqeq2d 2250	. . . . . 6 |- ( y = 1 -> ( A = ( x / y ) <-> A = ( x / 1 ) ) )
9	8	rspcev 2929	. . . . 5 |- ( ( 1 e. NN /\ A = ( x / 1 ) ) -> E. y e. NN A = ( x / y ) )
10	6, 9	mpan 428	. . . 4 |- ( A = ( x / 1 ) -> E. y e. NN A = ( x / y ) )
11	5, 10	biimtrdi 163	. . 3 |- ( x e. ZZ -> ( x = A -> E. y e. NN A = ( x / y ) ) )
12	11	reximia 2645	. 2 |- ( E. x e. ZZ x = A -> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
13		risset 2578	. 2 |- ( A e. ZZ <-> E. x e. ZZ x = A )
14		elq 10031	. 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
15	12, 13, 14	3imtr4i 201	1 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529  (class class class)co 6085   1c1 8180   / cdiv 9004   NNcn 9306   ZZcz 9648   QQcq 10028

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-reap 8905  df-ap 8912  df-div 9005  df-inn 9307  df-z 9649  df-q 10029

This theorem is used by:  zssq  10036  qdivcl  10052  irrmul  10057  irrmulap  10058  qbtwnz  10696  qbtwnxr  10702  flqlt  10731  flid  10732  flqltnz  10735  flqbi2  10739  flqaddz  10745  flqmulnn0  10747  ceilid  10765  flqeqceilz  10768  flqdiv  10771  modqcl  10776  mulqmod0  10780  modqfrac  10787  zmod10  10790  modqmulnn  10792  zmodcl  10794  zmodfz  10796  zmodid2  10802  q0mod  10805  q1mod  10806  modqcyc  10809  mulp1mod1  10815  modqmuladd  10816  modqmuladdim  10817  modqmuladdnn0  10818  m1modnnsub1  10820  addmodid  10822  modqm1p1mod0  10825  modqltm1p1mod  10826  modqmul1  10827  modqmul12d  10828  q2txmodxeq0  10834  modifeq2int  10836  modaddmodup  10837  modaddmodlo  10838  modqaddmulmod  10841  modqdi  10842  modqsubdir  10843  modsumfzodifsn  10846  addmodlteq  10848  qexpcl  11005  qexpclz  11010  iexpcyc  11094  qsqeqor  11100  facavg  11198  bcval  11201  qabsor  11855  modfsummodlemstep  12240  sinltxirr  12544  egt2lt3  12563  dvdsval3  12574  p1modz1  12577  moddvds  12582  modm1div  12583  absdvdsb  12592  dvdsabsb  12593  dvdslelemd  12626  dvdsmod  12645  mulmoddvds  12646  divalglemnn  12701  divalgmod  12710  fldivndvdslt  12720  bitsfzo  12738  bitsmod  12739  bitsinv1lem  12744  bitsinv1  12745  gcdabs  12781  gcdabs1  12782  modgcd  12784  bezoutlemnewy  12789  bezoutlemstep  12790  eucalglt  12851  lcmabs  12870  sqrt2irraplemnn  12975  nn0sqrtelqelz  13002  sqrtrirr  13005  crth  13022  phimullem  13023  eulerthlema  13028  eulerthlemh  13029  fermltl  13032  prmdiv  13033  prmdiveq  13034  odzdvds  13044  vfermltl  13050  powm2modprm  13051  modprm0  13053  modprmn0modprm0  13055  pceu  13094  pczpre  13096  pcdiv  13101  pc0  13103  pcqdiv  13106  pcrec  13107  pcexp  13108  pcxcl  13110  pcxqcl  13111  pcdvdstr  13126  pcgcd1  13127  pc2dvds  13129  pc11  13130  pcaddlem  13138  pcadd  13139  pcadd2  13140  fldivp1  13147  qexpz  13151  4sqlem5  13181  4sqlem6  13182  4sqlem10  13186  4sqlem12  13201  modxai  13215  modsubi  13219  mulgmodid  14013  znf1o  15035  2logb9irrALT  16129  2irrexpq  16131  2irrexpqap  16133  zprmlogbaplem2  16135  wilthlem1  16151  ppival2  16161  ppival2g  16162  ppiqp1le  16173  ppiqnncl  16181  ppiqeq0  16182  ppiqltx  16183  ppiqub  16194  lgslem1  16217  lgsvalmod  16236  lgsneg  16241  lgsmod  16243  lgsdir2lem4  16248  lgsdirprm  16251  lgsdilem2  16253  lgsne0  16255  gausslemma2dlem0i  16274  gausslemma2dlem1a  16275  gausslemma2dlem1cl  16276  gausslemma2dlem1f1o  16277  gausslemma2dlem4  16281  gausslemma2dlem5a  16282  gausslemma2dlem6  16284  gausslemma2d  16286  lgseisenlem1  16287  lgseisenlem3  16289  lgseisenlem4  16290  lgseisen  16291  lgsquadlem1  16294  lgsquadlem2  16295  m1lgs  16302  2lgslem1a1  16303  apdifflemr  17194  apdiff  17195  qdiff  17196