Theorem zq 9172

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
zq	|- ( A e. ZZ -> A e. QQ )

Proof of Theorem zq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 8816	. . . . . . 7 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
2	1	div1d 8308	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ -> ( x / 1 ) = x )
3	2	eqeq2d 2100	. . . . 5 |- ( x e. ZZ -> ( A = ( x / 1 ) <-> A = x ) )
4		eqcom 2091	. . . . 5 |- ( x = A <-> A = x )
5	3, 4	syl6rbbr 198	. . . 4 |- ( x e. ZZ -> ( x = A <-> A = ( x / 1 ) ) )
6		1nn 8494	. . . . 5 |- 1 e. NN
7		oveq2 5674	. . . . . . 7 |- ( y = 1 -> ( x / y ) = ( x / 1 ) )
8	7	eqeq2d 2100	. . . . . 6 |- ( y = 1 -> ( A = ( x / y ) <-> A = ( x / 1 ) ) )
9	8	rspcev 2723	. . . . 5 |- ( ( 1 e. NN /\ A = ( x / 1 ) ) -> E. y e. NN A = ( x / y ) )
10	6, 9	mpan 416	. . . 4 |- ( A = ( x / 1 ) -> E. y e. NN A = ( x / y ) )
11	5, 10	syl6bi 162	. . 3 |- ( x e. ZZ -> ( x = A -> E. y e. NN A = ( x / y ) ) )
12	11	reximia 2469	. 2 |- ( E. x e. ZZ x = A -> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
13		risset 2407	. 2 |- ( A e. ZZ <-> E. x e. ZZ x = A )
14		elq 9168	. 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
15	12, 13, 14	3imtr4i 200	1 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1290   e. wcel 1439   E.wrex 2361  (class class class)co 5666   1c1 7412   / cdiv 8200   NNcn 8483   ZZcz 8811   QQcq 9165

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-div 8201  df-inn 8484  df-z 8812  df-q 9166

This theorem is referenced by:  zssq  9173  qdivcl  9189  irrmul  9193  qbtwnz  9724  qbtwnxr  9730  flqlt  9751  flid  9752  flqltnz  9755  flqbi2  9759  flqaddz  9765  flqmulnn0  9767  ceilid  9783  flqeqceilz  9786  flqdiv  9789  modqcl  9794  mulqmod0  9798  modqfrac  9805  zmod10  9808  modqmulnn  9810  zmodcl  9812  zmodfz  9814  zmodid2  9820  q0mod  9823  q1mod  9824  modqcyc  9827  mulp1mod1  9833  modqmuladd  9834  modqmuladdim  9835  modqmuladdnn0  9836  m1modnnsub1  9838  addmodid  9840  modqm1p1mod0  9843  modqltm1p1mod  9844  modqmul1  9845  modqmul12d  9846  q2txmodxeq0  9852  modifeq2int  9854  modaddmodup  9855  modaddmodlo  9856  modqaddmulmod  9859  modqdi  9860  modqsubdir  9861  modsumfzodifsn  9864  addmodlteq  9866  qexpcl  10032  qexpclz  10037  iexpcyc  10120  facavg  10215  bcval  10218  qabsor  10569  modfsummodlemstep  10912  egt2lt3  11128  dvdsval3  11139  moddvds  11144  absdvdsb  11153  dvdsabsb  11154  dvdslelemd  11183  dvdsmod  11202  mulmoddvds  11203  divalglemnn  11257  divalgmod  11266  fldivndvdslt  11274  gcdabs  11318  gcdabs1  11319  modgcd  11321  bezoutlemnewy  11324  bezoutlemstep  11325  eucalglt  11378  lcmabs  11397  sqrt2irraplemnn  11496  nn0sqrtelqelz  11523  crth  11539  phimullem  11540