Theorem zq 10041

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
zq	|- ( A e. ZZ -> A e. QQ )

Proof of Theorem zq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2240	. . . . 5 |- ( x = A <-> A = x )
2		zcn 9658	. . . . . . 7 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
3	2	div1d 9118	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ -> ( x / 1 ) = x )
4	3	eqeq2d 2250	. . . . 5 |- ( x e. ZZ -> ( A = ( x / 1 ) <-> A = x ) )
5	1, 4	bitr4id 199	. . . 4 |- ( x e. ZZ -> ( x = A <-> A = ( x / 1 ) ) )
6		1nn 9324	. . . . 5 |- 1 e. NN
7		oveq2 6096	. . . . . . 7 |- ( y = 1 -> ( x / y ) = ( x / 1 ) )
8	7	eqeq2d 2250	. . . . . 6 |- ( y = 1 -> ( A = ( x / y ) <-> A = ( x / 1 ) ) )
9	8	rspcev 2929	. . . . 5 |- ( ( 1 e. NN /\ A = ( x / 1 ) ) -> E. y e. NN A = ( x / y ) )
10	6, 9	mpan 428	. . . 4 |- ( A = ( x / 1 ) -> E. y e. NN A = ( x / y ) )
11	5, 10	biimtrdi 163	. . 3 |- ( x e. ZZ -> ( x = A -> E. y e. NN A = ( x / y ) ) )
12	11	reximia 2645	. 2 |- ( E. x e. ZZ x = A -> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
13		risset 2578	. 2 |- ( A e. ZZ <-> E. x e. ZZ x = A )
14		elq 10037	. 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
15	12, 13, 14	3imtr4i 201	1 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529  (class class class)co 6088   1c1 8186   / cdiv 9010   NNcn 9313   ZZcz 9653   QQcq 10034

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-z 9654  df-q 10035

This theorem is used by:  zssq  10042  qdivcl  10058  irrmul  10063  irrmulap  10064  qbtwnz  10702  qbtwnxr  10708  flqlt  10737  flaplt  10738  flid  10739  flqltnz  10742  flqbi2  10746  flqaddz  10752  flqmulnn0  10754  ceilid  10772  flqeqceilz  10775  flqdiv  10778  modqcl  10783  mulqmod0  10787  modqfrac  10794  zmod10  10797  modqmulnn  10799  zmodcl  10801  zmodfz  10803  zmodid2  10809  q0mod  10812  q1mod  10813  modqcyc  10816  mulp1mod1  10822  modqmuladd  10823  modqmuladdim  10824  modqmuladdnn0  10825  m1modnnsub1  10827  addmodid  10829  modqm1p1mod0  10832  modqltm1p1mod  10833  modqmul1  10834  modqmul12d  10835  q2txmodxeq0  10841  modifeq2int  10843  modaddmodup  10844  modaddmodlo  10845  modqaddmulmod  10848  modqdi  10849  modqsubdir  10850  modsumfzodifsn  10853  addmodlteq  10855  qexpcl  11012  qexpclz  11017  iexpcyc  11101  qsqeqor  11107  facavg  11205  bcval  11208  qabsor  11862  modfsummodlemstep  12248  sinltxirr  12552  egt2lt3  12571  dvdsval3  12582  p1modz1  12585  moddvds  12590  modm1div  12591  absdvdsb  12600  dvdsabsb  12601  dvdslelemd  12634  dvdsmod  12653  mulmoddvds  12654  divalglemnn  12709  divalgmod  12718  fldivndvdslt  12728  bitsfzo  12746  bitsmod  12747  bitsinv1lem  12752  bitsinv1  12753  gcdabs  12789  gcdabs1  12790  modgcd  12792  bezoutlemnewy  12797  bezoutlemstep  12798  eucalglt  12859  lcmabs  12878  sqrt2irraplemnn  12983  nn0sqrtelqelz  13010  sqrtrirr  13013  crth  13030  phimullem  13031  eulerthlema  13036  eulerthlemh  13037  fermltl  13040  prmdiv  13041  prmdiveq  13042  odzdvds  13052  vfermltl  13058  powm2modprm  13059  modprm0  13061  modprmn0modprm0  13063  pceu  13102  pczpre  13104  pcdiv  13109  pc0  13111  pcqdiv  13114  pcrec  13115  pcexp  13116  pcxcl  13118  pcxqcl  13119  pcdvdstr  13134  pcgcd1  13135  pc2dvds  13137  pc11  13138  pcaddlem  13146  pcadd  13147  pcadd2  13148  fldivp1  13155  qexpz  13159  4sqlem5  13189  4sqlem6  13190  4sqlem10  13194  4sqlem12  13209  modxai  13223  modsubi  13227  mulgmodid  14022  znf1o  15094  2logb9irrALT  16227  2irrexpq  16229  2irrexpqap  16231  zprmlogbaplem2  16233  wilthlem1  16249  ppival2  16266  ppival2g  16267  chtqfl  16275  chtprm  16278  chtnprm  16279  chtdif  16281  ppiqp1le  16284  cht1  16288  ppiqnncl  16295  chtqrpcl  16296  ppiqeq0  16297  ppiqltx  16298  ppiqub  16310  chtublem  16312  chtqub  16313  bposlem6  16333  lgslem1  16341  lgsvalmod  16360  lgsneg  16365  lgsmod  16367  lgsdir2lem4  16372  lgsdirprm  16375  lgsdilem2  16377  lgsne0  16379  gausslemma2dlem0i  16398  gausslemma2dlem1a  16399  gausslemma2dlem1cl  16400  gausslemma2dlem1f1o  16401  gausslemma2dlem4  16405  gausslemma2dlem5a  16406  gausslemma2dlem6  16408  gausslemma2d  16410  lgseisenlem1  16411  lgseisenlem3  16413  lgseisenlem4  16414  lgseisen  16415  lgsquadlem1  16418  lgsquadlem2  16419  m1lgs  16426  2lgslem1a1  16427  apdifflemr  17320  apdiff  17321  qdiff  17322