Theorem zq 9560

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
zq	|- ( A e. ZZ -> A e. QQ )

Proof of Theorem zq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2167	. . . . 5 |- ( x = A <-> A = x )
2		zcn 9192	. . . . . . 7 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
3	2	div1d 8672	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ -> ( x / 1 ) = x )
4	3	eqeq2d 2177	. . . . 5 |- ( x e. ZZ -> ( A = ( x / 1 ) <-> A = x ) )
5	1, 4	bitr4id 198	. . . 4 |- ( x e. ZZ -> ( x = A <-> A = ( x / 1 ) ) )
6		1nn 8864	. . . . 5 |- 1 e. NN
7		oveq2 5849	. . . . . . 7 |- ( y = 1 -> ( x / y ) = ( x / 1 ) )
8	7	eqeq2d 2177	. . . . . 6 |- ( y = 1 -> ( A = ( x / y ) <-> A = ( x / 1 ) ) )
9	8	rspcev 2829	. . . . 5 |- ( ( 1 e. NN /\ A = ( x / 1 ) ) -> E. y e. NN A = ( x / y ) )
10	6, 9	mpan 421	. . . 4 |- ( A = ( x / 1 ) -> E. y e. NN A = ( x / y ) )
11	5, 10	syl6bi 162	. . 3 |- ( x e. ZZ -> ( x = A -> E. y e. NN A = ( x / y ) ) )
12	11	reximia 2560	. 2 |- ( E. x e. ZZ x = A -> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
13		risset 2493	. 2 |- ( A e. ZZ <-> E. x e. ZZ x = A )
14		elq 9556	. 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
15	12, 13, 14	3imtr4i 200	1 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1343   e. wcel 2136   E.wrex 2444  (class class class)co 5841   1c1 7750   / cdiv 8564   NNcn 8853   ZZcz 9187   QQcq 9553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-mulrcl 7848  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-precex 7859  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865  ax-pre-mulgt0 7866  ax-pre-mulext 7867

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-reap 8469  df-ap 8476  df-div 8565  df-inn 8854  df-z 9188  df-q 9554

This theorem is referenced by:  zssq  9561  qdivcl  9577  irrmul  9581  qbtwnz  10183  qbtwnxr  10189  flqlt  10214  flid  10215  flqltnz  10218  flqbi2  10222  flqaddz  10228  flqmulnn0  10230  ceilid  10246  flqeqceilz  10249  flqdiv  10252  modqcl  10257  mulqmod0  10261  modqfrac  10268  zmod10  10271  modqmulnn  10273  zmodcl  10275  zmodfz  10277  zmodid2  10283  q0mod  10286  q1mod  10287  modqcyc  10290  mulp1mod1  10296  modqmuladd  10297  modqmuladdim  10298  modqmuladdnn0  10299  m1modnnsub1  10301  addmodid  10303  modqm1p1mod0  10306  modqltm1p1mod  10307  modqmul1  10308  modqmul12d  10309  q2txmodxeq0  10315  modifeq2int  10317  modaddmodup  10318  modaddmodlo  10319  modqaddmulmod  10322  modqdi  10323  modqsubdir  10324  modsumfzodifsn  10327  addmodlteq  10329  qexpcl  10467  qexpclz  10472  iexpcyc  10555  qsqeqor  10561  facavg  10655  bcval  10658  qabsor  11013  modfsummodlemstep  11394  egt2lt3  11716  dvdsval3  11727  p1modz1  11730  moddvds  11735  modm1div  11736  absdvdsb  11745  dvdsabsb  11746  dvdslelemd  11777  dvdsmod  11796  mulmoddvds  11797  divalglemnn  11851  divalgmod  11860  fldivndvdslt  11868  gcdabs  11917  gcdabs1  11918  modgcd  11920  bezoutlemnewy  11925  bezoutlemstep  11926  eucalglt  11985  lcmabs  12004  sqrt2irraplemnn  12107  nn0sqrtelqelz  12134  crth  12152  phimullem  12153  eulerthlema  12158  eulerthlemh  12159  fermltl  12162  prmdiv  12163  prmdiveq  12164  odzdvds  12173  vfermltl  12179  powm2modprm  12180  modprm0  12182  modprmn0modprm0  12184  pceu  12223  pczpre  12225  pcdiv  12230  pc0  12232  pcqdiv  12235  pcrec  12236  pcexp  12237  pcxcl  12239  pcdvdstr  12254  pcgcd1  12255  pc2dvds  12257  pc11  12258  pcaddlem  12266  pcadd  12267  fldivp1  12274  qexpz  12278  4sqlem5  12308  4sqlem6  12309  4sqlem10  12313  2logb9irrALT  13492  2irrexpq  13494  2irrexpqap  13496  lgslem1  13501  lgsvalmod  13520  lgsneg  13525  lgsmod  13527  lgsdir2lem4  13532  lgsdirprm  13535  lgsdilem2  13537  lgsne0  13539  apdifflemr  13886  apdiff  13887