Theorem zq 9445

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
zq	|- ( A e. ZZ -> A e. QQ )

Proof of Theorem zq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2142	. . . . 5 |- ( x = A <-> A = x )
2		zcn 9083	. . . . . . 7 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
3	2	div1d 8564	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ -> ( x / 1 ) = x )
4	3	eqeq2d 2152	. . . . 5 |- ( x e. ZZ -> ( A = ( x / 1 ) <-> A = x ) )
5	1, 4	bitr4id 198	. . . 4 |- ( x e. ZZ -> ( x = A <-> A = ( x / 1 ) ) )
6		1nn 8755	. . . . 5 |- 1 e. NN
7		oveq2 5790	. . . . . . 7 |- ( y = 1 -> ( x / y ) = ( x / 1 ) )
8	7	eqeq2d 2152	. . . . . 6 |- ( y = 1 -> ( A = ( x / y ) <-> A = ( x / 1 ) ) )
9	8	rspcev 2793	. . . . 5 |- ( ( 1 e. NN /\ A = ( x / 1 ) ) -> E. y e. NN A = ( x / y ) )
10	6, 9	mpan 421	. . . 4 |- ( A = ( x / 1 ) -> E. y e. NN A = ( x / y ) )
11	5, 10	syl6bi 162	. . 3 |- ( x e. ZZ -> ( x = A -> E. y e. NN A = ( x / y ) ) )
12	11	reximia 2530	. 2 |- ( E. x e. ZZ x = A -> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
13		risset 2466	. 2 |- ( A e. ZZ <-> E. x e. ZZ x = A )
14		elq 9441	. 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
15	12, 13, 14	3imtr4i 200	1 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1332   e. wcel 1481   E.wrex 2418  (class class class)co 5782   1c1 7645   / cdiv 8456   NNcn 8744   ZZcz 9078   QQcq 9438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-z 9079  df-q 9439

This theorem is referenced by:  zssq  9446  qdivcl  9462  irrmul  9466  qbtwnz  10060  qbtwnxr  10066  flqlt  10087  flid  10088  flqltnz  10091  flqbi2  10095  flqaddz  10101  flqmulnn0  10103  ceilid  10119  flqeqceilz  10122  flqdiv  10125  modqcl  10130  mulqmod0  10134  modqfrac  10141  zmod10  10144  modqmulnn  10146  zmodcl  10148  zmodfz  10150  zmodid2  10156  q0mod  10159  q1mod  10160  modqcyc  10163  mulp1mod1  10169  modqmuladd  10170  modqmuladdim  10171  modqmuladdnn0  10172  m1modnnsub1  10174  addmodid  10176  modqm1p1mod0  10179  modqltm1p1mod  10180  modqmul1  10181  modqmul12d  10182  q2txmodxeq0  10188  modifeq2int  10190  modaddmodup  10191  modaddmodlo  10192  modqaddmulmod  10195  modqdi  10196  modqsubdir  10197  modsumfzodifsn  10200  addmodlteq  10202  qexpcl  10340  qexpclz  10345  iexpcyc  10428  facavg  10524  bcval  10527  qabsor  10879  modfsummodlemstep  11258  egt2lt3  11522  dvdsval3  11533  moddvds  11538  absdvdsb  11547  dvdsabsb  11548  dvdslelemd  11577  dvdsmod  11596  mulmoddvds  11597  divalglemnn  11651  divalgmod  11660  fldivndvdslt  11668  gcdabs  11712  gcdabs1  11713  modgcd  11715  bezoutlemnewy  11720  bezoutlemstep  11721  eucalglt  11774  lcmabs  11793  sqrt2irraplemnn  11893  nn0sqrtelqelz  11920  crth  11936  phimullem  11937  2logb9irrALT  13099  2irrexpq  13101  2irrexpqap  13103  apdifflemr  13415  apdiff  13416