Theorem zq 9749

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
zq	|- ( A e. ZZ -> A e. QQ )

Proof of Theorem zq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2207	. . . . 5 |- ( x = A <-> A = x )
2		zcn 9379	. . . . . . 7 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
3	2	div1d 8855	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ -> ( x / 1 ) = x )
4	3	eqeq2d 2217	. . . . 5 |- ( x e. ZZ -> ( A = ( x / 1 ) <-> A = x ) )
5	1, 4	bitr4id 199	. . . 4 |- ( x e. ZZ -> ( x = A <-> A = ( x / 1 ) ) )
6		1nn 9049	. . . . 5 |- 1 e. NN
7		oveq2 5954	. . . . . . 7 |- ( y = 1 -> ( x / y ) = ( x / 1 ) )
8	7	eqeq2d 2217	. . . . . 6 |- ( y = 1 -> ( A = ( x / y ) <-> A = ( x / 1 ) ) )
9	8	rspcev 2877	. . . . 5 |- ( ( 1 e. NN /\ A = ( x / 1 ) ) -> E. y e. NN A = ( x / y ) )
10	6, 9	mpan 424	. . . 4 |- ( A = ( x / 1 ) -> E. y e. NN A = ( x / y ) )
11	5, 10	biimtrdi 163	. . 3 |- ( x e. ZZ -> ( x = A -> E. y e. NN A = ( x / y ) ) )
12	11	reximia 2601	. 2 |- ( E. x e. ZZ x = A -> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
13		risset 2534	. 2 |- ( A e. ZZ <-> E. x e. ZZ x = A )
14		elq 9745	. 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
15	12, 13, 14	3imtr4i 201	1 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2176   E.wrex 2485  (class class class)co 5946   1c1 7928   / cdiv 8747   NNcn 9038   ZZcz 9374   QQcq 9742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-z 9375  df-q 9743

This theorem is referenced by:  zssq  9750  qdivcl  9766  irrmul  9770  irrmulap  9771  qbtwnz  10396  qbtwnxr  10402  flqlt  10428  flid  10429  flqltnz  10432  flqbi2  10436  flqaddz  10442  flqmulnn0  10444  ceilid  10462  flqeqceilz  10465  flqdiv  10468  modqcl  10473  mulqmod0  10477  modqfrac  10484  zmod10  10487  modqmulnn  10489  zmodcl  10491  zmodfz  10493  zmodid2  10499  q0mod  10502  q1mod  10503  modqcyc  10506  mulp1mod1  10512  modqmuladd  10513  modqmuladdim  10514  modqmuladdnn0  10515  m1modnnsub1  10517  addmodid  10519  modqm1p1mod0  10522  modqltm1p1mod  10523  modqmul1  10524  modqmul12d  10525  q2txmodxeq0  10531  modifeq2int  10533  modaddmodup  10534  modaddmodlo  10535  modqaddmulmod  10538  modqdi  10539  modqsubdir  10540  modsumfzodifsn  10543  addmodlteq  10545  qexpcl  10702  qexpclz  10707  iexpcyc  10791  qsqeqor  10797  facavg  10893  bcval  10896  qabsor  11419  modfsummodlemstep  11801  sinltxirr  12105  egt2lt3  12124  dvdsval3  12135  p1modz1  12138  moddvds  12143  modm1div  12144  absdvdsb  12153  dvdsabsb  12154  dvdslelemd  12187  dvdsmod  12206  mulmoddvds  12207  divalglemnn  12262  divalgmod  12271  fldivndvdslt  12281  bitsfzo  12299  bitsmod  12300  bitsinv1lem  12305  bitsinv1  12306  gcdabs  12342  gcdabs1  12343  modgcd  12345  bezoutlemnewy  12350  bezoutlemstep  12351  eucalglt  12412  lcmabs  12431  sqrt2irraplemnn  12534  nn0sqrtelqelz  12561  crth  12579  phimullem  12580  eulerthlema  12585  eulerthlemh  12586  fermltl  12589  prmdiv  12590  prmdiveq  12591  odzdvds  12601  vfermltl  12607  powm2modprm  12608  modprm0  12610  modprmn0modprm0  12612  pceu  12651  pczpre  12653  pcdiv  12658  pc0  12660  pcqdiv  12663  pcrec  12664  pcexp  12665  pcxcl  12667  pcxqcl  12668  pcdvdstr  12683  pcgcd1  12684  pc2dvds  12686  pc11  12687  pcaddlem  12695  pcadd  12696  pcadd2  12697  fldivp1  12704  qexpz  12708  4sqlem5  12738  4sqlem6  12739  4sqlem10  12743  4sqlem12  12758  modxai  12772  modsubi  12775  mulgmodid  13530  znf1o  14446  2logb9irrALT  15479  2irrexpq  15481  2irrexpqap  15483  wilthlem1  15485  lgslem1  15510  lgsvalmod  15529  lgsneg  15534  lgsmod  15536  lgsdir2lem4  15541  lgsdirprm  15544  lgsdilem2  15546  lgsne0  15548  gausslemma2dlem0i  15567  gausslemma2dlem1a  15568  gausslemma2dlem1cl  15569  gausslemma2dlem1f1o  15570  gausslemma2dlem4  15574  gausslemma2dlem5a  15575  gausslemma2dlem6  15577  gausslemma2d  15579  lgseisenlem1  15580  lgseisenlem3  15582  lgseisenlem4  15583  lgseisen  15584  lgsquadlem1  15587  lgsquadlem2  15588  m1lgs  15595  2lgslem1a1  15596  apdifflemr  16023  apdiff  16024