Theorem zq 9694

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
zq	|- ( A e. ZZ -> A e. QQ )

Proof of Theorem zq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2195	. . . . 5 |- ( x = A <-> A = x )
2		zcn 9325	. . . . . . 7 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
3	2	div1d 8801	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ -> ( x / 1 ) = x )
4	3	eqeq2d 2205	. . . . 5 |- ( x e. ZZ -> ( A = ( x / 1 ) <-> A = x ) )
5	1, 4	bitr4id 199	. . . 4 |- ( x e. ZZ -> ( x = A <-> A = ( x / 1 ) ) )
6		1nn 8995	. . . . 5 |- 1 e. NN
7		oveq2 5927	. . . . . . 7 |- ( y = 1 -> ( x / y ) = ( x / 1 ) )
8	7	eqeq2d 2205	. . . . . 6 |- ( y = 1 -> ( A = ( x / y ) <-> A = ( x / 1 ) ) )
9	8	rspcev 2865	. . . . 5 |- ( ( 1 e. NN /\ A = ( x / 1 ) ) -> E. y e. NN A = ( x / y ) )
10	6, 9	mpan 424	. . . 4 |- ( A = ( x / 1 ) -> E. y e. NN A = ( x / y ) )
11	5, 10	biimtrdi 163	. . 3 |- ( x e. ZZ -> ( x = A -> E. y e. NN A = ( x / y ) ) )
12	11	reximia 2589	. 2 |- ( E. x e. ZZ x = A -> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
13		risset 2522	. 2 |- ( A e. ZZ <-> E. x e. ZZ x = A )
14		elq 9690	. 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
15	12, 13, 14	3imtr4i 201	1 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   E.wrex 2473  (class class class)co 5919   1c1 7875   / cdiv 8693   NNcn 8984   ZZcz 9320   QQcq 9687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-z 9321  df-q 9688

This theorem is referenced by:  zssq  9695  qdivcl  9711  irrmul  9715  irrmulap  9716  qbtwnz  10323  qbtwnxr  10329  flqlt  10355  flid  10356  flqltnz  10359  flqbi2  10363  flqaddz  10369  flqmulnn0  10371  ceilid  10389  flqeqceilz  10392  flqdiv  10395  modqcl  10400  mulqmod0  10404  modqfrac  10411  zmod10  10414  modqmulnn  10416  zmodcl  10418  zmodfz  10420  zmodid2  10426  q0mod  10429  q1mod  10430  modqcyc  10433  mulp1mod1  10439  modqmuladd  10440  modqmuladdim  10441  modqmuladdnn0  10442  m1modnnsub1  10444  addmodid  10446  modqm1p1mod0  10449  modqltm1p1mod  10450  modqmul1  10451  modqmul12d  10452  q2txmodxeq0  10458  modifeq2int  10460  modaddmodup  10461  modaddmodlo  10462  modqaddmulmod  10465  modqdi  10466  modqsubdir  10467  modsumfzodifsn  10470  addmodlteq  10472  qexpcl  10629  qexpclz  10634  iexpcyc  10718  qsqeqor  10724  facavg  10820  bcval  10823  qabsor  11222  modfsummodlemstep  11603  sinltxirr  11907  egt2lt3  11926  dvdsval3  11937  p1modz1  11940  moddvds  11945  modm1div  11946  absdvdsb  11955  dvdsabsb  11956  dvdslelemd  11988  dvdsmod  12007  mulmoddvds  12008  divalglemnn  12062  divalgmod  12071  fldivndvdslt  12079  gcdabs  12128  gcdabs1  12129  modgcd  12131  bezoutlemnewy  12136  bezoutlemstep  12137  eucalglt  12198  lcmabs  12217  sqrt2irraplemnn  12320  nn0sqrtelqelz  12347  crth  12365  phimullem  12366  eulerthlema  12371  eulerthlemh  12372  fermltl  12375  prmdiv  12376  prmdiveq  12377  odzdvds  12386  vfermltl  12392  powm2modprm  12393  modprm0  12395  modprmn0modprm0  12397  pceu  12436  pczpre  12438  pcdiv  12443  pc0  12445  pcqdiv  12448  pcrec  12449  pcexp  12450  pcxcl  12452  pcxqcl  12453  pcdvdstr  12468  pcgcd1  12469  pc2dvds  12471  pc11  12472  pcaddlem  12480  pcadd  12481  pcadd2  12482  fldivp1  12489  qexpz  12493  4sqlem5  12523  4sqlem6  12524  4sqlem10  12528  4sqlem12  12543  mulgmodid  13234  znf1o  14150  2logb9irrALT  15147  2irrexpq  15149  2irrexpqap  15151  wilthlem1  15153  lgslem1  15157  lgsvalmod  15176  lgsneg  15181  lgsmod  15183  lgsdir2lem4  15188  lgsdirprm  15191  lgsdilem2  15193  lgsne0  15195  gausslemma2dlem0i  15214  gausslemma2dlem1a  15215  gausslemma2dlem1cl  15216  gausslemma2dlem1f1o  15217  gausslemma2dlem4  15221  gausslemma2dlem5a  15222  gausslemma2dlem6  15224  gausslemma2d  15226  lgseisenlem1  15227  lgseisenlem3  15229  lgseisenlem4  15230  lgseisen  15231  lgsquadlem1  15234  lgsquadlem2  15235  m1lgs  15242  2lgslem1a1  15243  apdifflemr  15607  apdiff  15608