Theorem zq 9921

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
zq	|- ( A e. ZZ -> A e. QQ )

Proof of Theorem zq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2233	. . . . 5 |- ( x = A <-> A = x )
2		zcn 9545	. . . . . . 7 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
3	2	div1d 9019	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ -> ( x / 1 ) = x )
4	3	eqeq2d 2243	. . . . 5 |- ( x e. ZZ -> ( A = ( x / 1 ) <-> A = x ) )
5	1, 4	bitr4id 199	. . . 4 |- ( x e. ZZ -> ( x = A <-> A = ( x / 1 ) ) )
6		1nn 9213	. . . . 5 |- 1 e. NN
7		oveq2 6036	. . . . . . 7 |- ( y = 1 -> ( x / y ) = ( x / 1 ) )
8	7	eqeq2d 2243	. . . . . 6 |- ( y = 1 -> ( A = ( x / y ) <-> A = ( x / 1 ) ) )
9	8	rspcev 2911	. . . . 5 |- ( ( 1 e. NN /\ A = ( x / 1 ) ) -> E. y e. NN A = ( x / y ) )
10	6, 9	mpan 424	. . . 4 |- ( A = ( x / 1 ) -> E. y e. NN A = ( x / y ) )
11	5, 10	biimtrdi 163	. . 3 |- ( x e. ZZ -> ( x = A -> E. y e. NN A = ( x / y ) ) )
12	11	reximia 2628	. 2 |- ( E. x e. ZZ x = A -> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
13		risset 2561	. 2 |- ( A e. ZZ <-> E. x e. ZZ x = A )
14		elq 9917	. 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
15	12, 13, 14	3imtr4i 201	1 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   E.wrex 2512  (class class class)co 6028   1c1 8093   / cdiv 8911   NNcn 9202   ZZcz 9540   QQcq 9914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-z 9541  df-q 9915

This theorem is referenced by:  zssq  9922  qdivcl  9938  irrmul  9942  irrmulap  9943  qbtwnz  10574  qbtwnxr  10580  flqlt  10606  flid  10607  flqltnz  10610  flqbi2  10614  flqaddz  10620  flqmulnn0  10622  ceilid  10640  flqeqceilz  10643  flqdiv  10646  modqcl  10651  mulqmod0  10655  modqfrac  10662  zmod10  10665  modqmulnn  10667  zmodcl  10669  zmodfz  10671  zmodid2  10677  q0mod  10680  q1mod  10681  modqcyc  10684  mulp1mod1  10690  modqmuladd  10691  modqmuladdim  10692  modqmuladdnn0  10693  m1modnnsub1  10695  addmodid  10697  modqm1p1mod0  10700  modqltm1p1mod  10701  modqmul1  10702  modqmul12d  10703  q2txmodxeq0  10709  modifeq2int  10711  modaddmodup  10712  modaddmodlo  10713  modqaddmulmod  10716  modqdi  10717  modqsubdir  10718  modsumfzodifsn  10721  addmodlteq  10723  qexpcl  10880  qexpclz  10885  iexpcyc  10969  qsqeqor  10975  facavg  11071  bcval  11074  qabsor  11715  modfsummodlemstep  12098  sinltxirr  12402  egt2lt3  12421  dvdsval3  12432  p1modz1  12435  moddvds  12440  modm1div  12441  absdvdsb  12450  dvdsabsb  12451  dvdslelemd  12484  dvdsmod  12503  mulmoddvds  12504  divalglemnn  12559  divalgmod  12568  fldivndvdslt  12578  bitsfzo  12596  bitsmod  12597  bitsinv1lem  12602  bitsinv1  12603  gcdabs  12639  gcdabs1  12640  modgcd  12642  bezoutlemnewy  12647  bezoutlemstep  12648  eucalglt  12709  lcmabs  12728  sqrt2irraplemnn  12831  nn0sqrtelqelz  12858  crth  12876  phimullem  12877  eulerthlema  12882  eulerthlemh  12883  fermltl  12886  prmdiv  12887  prmdiveq  12888  odzdvds  12898  vfermltl  12904  powm2modprm  12905  modprm0  12907  modprmn0modprm0  12909  pceu  12948  pczpre  12950  pcdiv  12955  pc0  12957  pcqdiv  12960  pcrec  12961  pcexp  12962  pcxcl  12964  pcxqcl  12965  pcdvdstr  12980  pcgcd1  12981  pc2dvds  12983  pc11  12984  pcaddlem  12992  pcadd  12993  pcadd2  12994  fldivp1  13001  qexpz  13005  4sqlem5  13035  4sqlem6  13036  4sqlem10  13040  4sqlem12  13055  modxai  13069  modsubi  13072  mulgmodid  13828  znf1o  14747  2logb9irrALT  15785  2irrexpq  15787  2irrexpqap  15789  wilthlem1  15794  lgslem1  15819  lgsvalmod  15838  lgsneg  15843  lgsmod  15845  lgsdir2lem4  15850  lgsdirprm  15853  lgsdilem2  15855  lgsne0  15857  gausslemma2dlem0i  15876  gausslemma2dlem1a  15877  gausslemma2dlem1cl  15878  gausslemma2dlem1f1o  15879  gausslemma2dlem4  15883  gausslemma2dlem5a  15884  gausslemma2dlem6  15886  gausslemma2d  15888  lgseisenlem1  15889  lgseisenlem3  15891  lgseisenlem4  15892  lgseisen  15893  lgsquadlem1  15896  lgsquadlem2  15897  m1lgs  15904  2lgslem1a1  15905  apdifflemr  16779  apdiff  16780  qdiff  16781