Theorem zq 9961

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
zq	|- ( A e. ZZ -> A e. QQ )

Proof of Theorem zq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2236	. . . . 5 |- ( x = A <-> A = x )
2		zcn 9584	. . . . . . 7 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
3	2	div1d 9056	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ -> ( x / 1 ) = x )
4	3	eqeq2d 2246	. . . . 5 |- ( x e. ZZ -> ( A = ( x / 1 ) <-> A = x ) )
5	1, 4	bitr4id 199	. . . 4 |- ( x e. ZZ -> ( x = A <-> A = ( x / 1 ) ) )
6		1nn 9250	. . . . 5 |- 1 e. NN
7		oveq2 6060	. . . . . . 7 |- ( y = 1 -> ( x / y ) = ( x / 1 ) )
8	7	eqeq2d 2246	. . . . . 6 |- ( y = 1 -> ( A = ( x / y ) <-> A = ( x / 1 ) ) )
9	8	rspcev 2923	. . . . 5 |- ( ( 1 e. NN /\ A = ( x / 1 ) ) -> E. y e. NN A = ( x / y ) )
10	6, 9	mpan 424	. . . 4 |- ( A = ( x / 1 ) -> E. y e. NN A = ( x / y ) )
11	5, 10	biimtrdi 163	. . 3 |- ( x e. ZZ -> ( x = A -> E. y e. NN A = ( x / y ) ) )
12	11	reximia 2639	. 2 |- ( E. x e. ZZ x = A -> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
13		risset 2572	. 2 |- ( A e. ZZ <-> E. x e. ZZ x = A )
14		elq 9957	. 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
15	12, 13, 14	3imtr4i 201	1 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   E.wrex 2523  (class class class)co 6052   1c1 8130   / cdiv 8948   NNcn 9239   ZZcz 9579   QQcq 9954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246  ax-pre-mulext 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-div 8949  df-inn 9240  df-z 9580  df-q 9955

This theorem is referenced by:  zssq  9962  qdivcl  9978  irrmul  9982  irrmulap  9983  qbtwnz  10615  qbtwnxr  10621  flqlt  10647  flid  10648  flqltnz  10651  flqbi2  10655  flqaddz  10661  flqmulnn0  10663  ceilid  10681  flqeqceilz  10684  flqdiv  10687  modqcl  10692  mulqmod0  10696  modqfrac  10703  zmod10  10706  modqmulnn  10708  zmodcl  10710  zmodfz  10712  zmodid2  10718  q0mod  10721  q1mod  10722  modqcyc  10725  mulp1mod1  10731  modqmuladd  10732  modqmuladdim  10733  modqmuladdnn0  10734  m1modnnsub1  10736  addmodid  10738  modqm1p1mod0  10741  modqltm1p1mod  10742  modqmul1  10743  modqmul12d  10744  q2txmodxeq0  10750  modifeq2int  10752  modaddmodup  10753  modaddmodlo  10754  modqaddmulmod  10757  modqdi  10758  modqsubdir  10759  modsumfzodifsn  10762  addmodlteq  10764  qexpcl  10921  qexpclz  10926  iexpcyc  11010  qsqeqor  11016  facavg  11112  bcval  11115  qabsor  11764  modfsummodlemstep  12147  sinltxirr  12451  egt2lt3  12470  dvdsval3  12481  p1modz1  12484  moddvds  12489  modm1div  12490  absdvdsb  12499  dvdsabsb  12500  dvdslelemd  12533  dvdsmod  12552  mulmoddvds  12553  divalglemnn  12608  divalgmod  12617  fldivndvdslt  12627  bitsfzo  12645  bitsmod  12646  bitsinv1lem  12651  bitsinv1  12652  gcdabs  12688  gcdabs1  12689  modgcd  12691  bezoutlemnewy  12696  bezoutlemstep  12697  eucalglt  12758  lcmabs  12777  sqrt2irraplemnn  12880  nn0sqrtelqelz  12907  crth  12925  phimullem  12926  eulerthlema  12931  eulerthlemh  12932  fermltl  12935  prmdiv  12936  prmdiveq  12937  odzdvds  12947  vfermltl  12953  powm2modprm  12954  modprm0  12956  modprmn0modprm0  12958  pceu  12997  pczpre  12999  pcdiv  13004  pc0  13006  pcqdiv  13009  pcrec  13010  pcexp  13011  pcxcl  13013  pcxqcl  13014  pcdvdstr  13029  pcgcd1  13030  pc2dvds  13032  pc11  13033  pcaddlem  13041  pcadd  13042  pcadd2  13043  fldivp1  13050  qexpz  13054  4sqlem5  13084  4sqlem6  13085  4sqlem10  13089  4sqlem12  13104  modxai  13118  modsubi  13121  mulgmodid  13895  znf1o  14816  2logb9irrALT  15856  2irrexpq  15858  2irrexpqap  15860  wilthlem1  15865  lgslem1  15890  lgsvalmod  15909  lgsneg  15914  lgsmod  15916  lgsdir2lem4  15921  lgsdirprm  15924  lgsdilem2  15926  lgsne0  15928  gausslemma2dlem0i  15947  gausslemma2dlem1a  15948  gausslemma2dlem1cl  15949  gausslemma2dlem1f1o  15950  gausslemma2dlem4  15954  gausslemma2dlem5a  15955  gausslemma2dlem6  15957  gausslemma2d  15959  lgseisenlem1  15960  lgseisenlem3  15962  lgseisenlem4  15963  lgseisen  15964  lgsquadlem1  15967  lgsquadlem2  15968  m1lgs  15975  2lgslem1a1  15976  apdifflemr  16848  apdiff  16849  qdiff  16850