Theorem zq 9626

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
zq	|- ( A e. ZZ -> A e. QQ )

Proof of Theorem zq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2179	. . . . 5 |- ( x = A <-> A = x )
2		zcn 9258	. . . . . . 7 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
3	2	div1d 8737	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ -> ( x / 1 ) = x )
4	3	eqeq2d 2189	. . . . 5 |- ( x e. ZZ -> ( A = ( x / 1 ) <-> A = x ) )
5	1, 4	bitr4id 199	. . . 4 |- ( x e. ZZ -> ( x = A <-> A = ( x / 1 ) ) )
6		1nn 8930	. . . . 5 |- 1 e. NN
7		oveq2 5883	. . . . . . 7 |- ( y = 1 -> ( x / y ) = ( x / 1 ) )
8	7	eqeq2d 2189	. . . . . 6 |- ( y = 1 -> ( A = ( x / y ) <-> A = ( x / 1 ) ) )
9	8	rspcev 2842	. . . . 5 |- ( ( 1 e. NN /\ A = ( x / 1 ) ) -> E. y e. NN A = ( x / y ) )
10	6, 9	mpan 424	. . . 4 |- ( A = ( x / 1 ) -> E. y e. NN A = ( x / y ) )
11	5, 10	syl6bi 163	. . 3 |- ( x e. ZZ -> ( x = A -> E. y e. NN A = ( x / y ) ) )
12	11	reximia 2572	. 2 |- ( E. x e. ZZ x = A -> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
13		risset 2505	. 2 |- ( A e. ZZ <-> E. x e. ZZ x = A )
14		elq 9622	. 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
15	12, 13, 14	3imtr4i 201	1 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456  (class class class)co 5875   1c1 7812   / cdiv 8629   NNcn 8919   ZZcz 9253   QQcq 9619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-z 9254  df-q 9620

This theorem is referenced by:  zssq  9627  qdivcl  9643  irrmul  9647  qbtwnz  10252  qbtwnxr  10258  flqlt  10283  flid  10284  flqltnz  10287  flqbi2  10291  flqaddz  10297  flqmulnn0  10299  ceilid  10315  flqeqceilz  10318  flqdiv  10321  modqcl  10326  mulqmod0  10330  modqfrac  10337  zmod10  10340  modqmulnn  10342  zmodcl  10344  zmodfz  10346  zmodid2  10352  q0mod  10355  q1mod  10356  modqcyc  10359  mulp1mod1  10365  modqmuladd  10366  modqmuladdim  10367  modqmuladdnn0  10368  m1modnnsub1  10370  addmodid  10372  modqm1p1mod0  10375  modqltm1p1mod  10376  modqmul1  10377  modqmul12d  10378  q2txmodxeq0  10384  modifeq2int  10386  modaddmodup  10387  modaddmodlo  10388  modqaddmulmod  10391  modqdi  10392  modqsubdir  10393  modsumfzodifsn  10396  addmodlteq  10398  qexpcl  10536  qexpclz  10541  iexpcyc  10625  qsqeqor  10631  facavg  10726  bcval  10729  qabsor  11084  modfsummodlemstep  11465  egt2lt3  11787  dvdsval3  11798  p1modz1  11801  moddvds  11806  modm1div  11807  absdvdsb  11816  dvdsabsb  11817  dvdslelemd  11849  dvdsmod  11868  mulmoddvds  11869  divalglemnn  11923  divalgmod  11932  fldivndvdslt  11940  gcdabs  11989  gcdabs1  11990  modgcd  11992  bezoutlemnewy  11997  bezoutlemstep  11998  eucalglt  12057  lcmabs  12076  sqrt2irraplemnn  12179  nn0sqrtelqelz  12206  crth  12224  phimullem  12225  eulerthlema  12230  eulerthlemh  12231  fermltl  12234  prmdiv  12235  prmdiveq  12236  odzdvds  12245  vfermltl  12251  powm2modprm  12252  modprm0  12254  modprmn0modprm0  12256  pceu  12295  pczpre  12297  pcdiv  12302  pc0  12304  pcqdiv  12307  pcrec  12308  pcexp  12309  pcxcl  12311  pcdvdstr  12326  pcgcd1  12327  pc2dvds  12329  pc11  12330  pcaddlem  12338  pcadd  12339  fldivp1  12346  qexpz  12350  4sqlem5  12380  4sqlem6  12381  4sqlem10  12385  mulgmodid  13022  2logb9irrALT  14395  2irrexpq  14397  2irrexpqap  14399  lgslem1  14404  lgsvalmod  14423  lgsneg  14428  lgsmod  14430  lgsdir2lem4  14435  lgsdirprm  14438  lgsdilem2  14440  lgsne0  14442  lgseisenlem1  14453  m1lgs  14455  apdifflemr  14798  apdiff  14799