Theorem zq 9615

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
zq	|- ( A e. ZZ -> A e. QQ )

Proof of Theorem zq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2179	. . . . 5 |- ( x = A <-> A = x )
2		zcn 9247	. . . . . . 7 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
3	2	div1d 8726	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ -> ( x / 1 ) = x )
4	3	eqeq2d 2189	. . . . 5 |- ( x e. ZZ -> ( A = ( x / 1 ) <-> A = x ) )
5	1, 4	bitr4id 199	. . . 4 |- ( x e. ZZ -> ( x = A <-> A = ( x / 1 ) ) )
6		1nn 8919	. . . . 5 |- 1 e. NN
7		oveq2 5877	. . . . . . 7 |- ( y = 1 -> ( x / y ) = ( x / 1 ) )
8	7	eqeq2d 2189	. . . . . 6 |- ( y = 1 -> ( A = ( x / y ) <-> A = ( x / 1 ) ) )
9	8	rspcev 2841	. . . . 5 |- ( ( 1 e. NN /\ A = ( x / 1 ) ) -> E. y e. NN A = ( x / y ) )
10	6, 9	mpan 424	. . . 4 |- ( A = ( x / 1 ) -> E. y e. NN A = ( x / y ) )
11	5, 10	syl6bi 163	. . 3 |- ( x e. ZZ -> ( x = A -> E. y e. NN A = ( x / y ) ) )
12	11	reximia 2572	. 2 |- ( E. x e. ZZ x = A -> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
13		risset 2505	. 2 |- ( A e. ZZ <-> E. x e. ZZ x = A )
14		elq 9611	. 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
15	12, 13, 14	3imtr4i 201	1 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456  (class class class)co 5869   1c1 7803   / cdiv 8618   NNcn 8908   ZZcz 9242   QQcq 9608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-z 9243  df-q 9609

This theorem is referenced by:  zssq  9616  qdivcl  9632  irrmul  9636  qbtwnz  10238  qbtwnxr  10244  flqlt  10269  flid  10270  flqltnz  10273  flqbi2  10277  flqaddz  10283  flqmulnn0  10285  ceilid  10301  flqeqceilz  10304  flqdiv  10307  modqcl  10312  mulqmod0  10316  modqfrac  10323  zmod10  10326  modqmulnn  10328  zmodcl  10330  zmodfz  10332  zmodid2  10338  q0mod  10341  q1mod  10342  modqcyc  10345  mulp1mod1  10351  modqmuladd  10352  modqmuladdim  10353  modqmuladdnn0  10354  m1modnnsub1  10356  addmodid  10358  modqm1p1mod0  10361  modqltm1p1mod  10362  modqmul1  10363  modqmul12d  10364  q2txmodxeq0  10370  modifeq2int  10372  modaddmodup  10373  modaddmodlo  10374  modqaddmulmod  10377  modqdi  10378  modqsubdir  10379  modsumfzodifsn  10382  addmodlteq  10384  qexpcl  10522  qexpclz  10527  iexpcyc  10610  qsqeqor  10616  facavg  10710  bcval  10713  qabsor  11068  modfsummodlemstep  11449  egt2lt3  11771  dvdsval3  11782  p1modz1  11785  moddvds  11790  modm1div  11791  absdvdsb  11800  dvdsabsb  11801  dvdslelemd  11832  dvdsmod  11851  mulmoddvds  11852  divalglemnn  11906  divalgmod  11915  fldivndvdslt  11923  gcdabs  11972  gcdabs1  11973  modgcd  11975  bezoutlemnewy  11980  bezoutlemstep  11981  eucalglt  12040  lcmabs  12059  sqrt2irraplemnn  12162  nn0sqrtelqelz  12189  crth  12207  phimullem  12208  eulerthlema  12213  eulerthlemh  12214  fermltl  12217  prmdiv  12218  prmdiveq  12219  odzdvds  12228  vfermltl  12234  powm2modprm  12235  modprm0  12237  modprmn0modprm0  12239  pceu  12278  pczpre  12280  pcdiv  12285  pc0  12287  pcqdiv  12290  pcrec  12291  pcexp  12292  pcxcl  12294  pcdvdstr  12309  pcgcd1  12310  pc2dvds  12312  pc11  12313  pcaddlem  12321  pcadd  12322  fldivp1  12329  qexpz  12333  4sqlem5  12363  4sqlem6  12364  4sqlem10  12368  mulgmodid  12910  2logb9irrALT  14059  2irrexpq  14061  2irrexpqap  14063  lgslem1  14068  lgsvalmod  14087  lgsneg  14092  lgsmod  14094  lgsdir2lem4  14099  lgsdirprm  14102  lgsdilem2  14104  lgsne0  14106  apdifflemr  14451  apdiff  14452