Theorem zq 9624

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
zq	|- ( A e. ZZ -> A e. QQ )

Proof of Theorem zq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2179	. . . . 5 |- ( x = A <-> A = x )
2		zcn 9256	. . . . . . 7 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
3	2	div1d 8735	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ -> ( x / 1 ) = x )
4	3	eqeq2d 2189	. . . . 5 |- ( x e. ZZ -> ( A = ( x / 1 ) <-> A = x ) )
5	1, 4	bitr4id 199	. . . 4 |- ( x e. ZZ -> ( x = A <-> A = ( x / 1 ) ) )
6		1nn 8928	. . . . 5 |- 1 e. NN
7		oveq2 5882	. . . . . . 7 |- ( y = 1 -> ( x / y ) = ( x / 1 ) )
8	7	eqeq2d 2189	. . . . . 6 |- ( y = 1 -> ( A = ( x / y ) <-> A = ( x / 1 ) ) )
9	8	rspcev 2841	. . . . 5 |- ( ( 1 e. NN /\ A = ( x / 1 ) ) -> E. y e. NN A = ( x / y ) )
10	6, 9	mpan 424	. . . 4 |- ( A = ( x / 1 ) -> E. y e. NN A = ( x / y ) )
11	5, 10	syl6bi 163	. . 3 |- ( x e. ZZ -> ( x = A -> E. y e. NN A = ( x / y ) ) )
12	11	reximia 2572	. 2 |- ( E. x e. ZZ x = A -> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
13		risset 2505	. 2 |- ( A e. ZZ <-> E. x e. ZZ x = A )
14		elq 9620	. 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
15	12, 13, 14	3imtr4i 201	1 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456  (class class class)co 5874   1c1 7811   / cdiv 8627   NNcn 8917   ZZcz 9251   QQcq 9617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-z 9252  df-q 9618

This theorem is referenced by:  zssq  9625  qdivcl  9641  irrmul  9645  qbtwnz  10249  qbtwnxr  10255  flqlt  10280  flid  10281  flqltnz  10284  flqbi2  10288  flqaddz  10294  flqmulnn0  10296  ceilid  10312  flqeqceilz  10315  flqdiv  10318  modqcl  10323  mulqmod0  10327  modqfrac  10334  zmod10  10337  modqmulnn  10339  zmodcl  10341  zmodfz  10343  zmodid2  10349  q0mod  10352  q1mod  10353  modqcyc  10356  mulp1mod1  10362  modqmuladd  10363  modqmuladdim  10364  modqmuladdnn0  10365  m1modnnsub1  10367  addmodid  10369  modqm1p1mod0  10372  modqltm1p1mod  10373  modqmul1  10374  modqmul12d  10375  q2txmodxeq0  10381  modifeq2int  10383  modaddmodup  10384  modaddmodlo  10385  modqaddmulmod  10388  modqdi  10389  modqsubdir  10390  modsumfzodifsn  10393  addmodlteq  10395  qexpcl  10533  qexpclz  10538  iexpcyc  10621  qsqeqor  10627  facavg  10721  bcval  10724  qabsor  11079  modfsummodlemstep  11460  egt2lt3  11782  dvdsval3  11793  p1modz1  11796  moddvds  11801  modm1div  11802  absdvdsb  11811  dvdsabsb  11812  dvdslelemd  11843  dvdsmod  11862  mulmoddvds  11863  divalglemnn  11917  divalgmod  11926  fldivndvdslt  11934  gcdabs  11983  gcdabs1  11984  modgcd  11986  bezoutlemnewy  11991  bezoutlemstep  11992  eucalglt  12051  lcmabs  12070  sqrt2irraplemnn  12173  nn0sqrtelqelz  12200  crth  12218  phimullem  12219  eulerthlema  12224  eulerthlemh  12225  fermltl  12228  prmdiv  12229  prmdiveq  12230  odzdvds  12239  vfermltl  12245  powm2modprm  12246  modprm0  12248  modprmn0modprm0  12250  pceu  12289  pczpre  12291  pcdiv  12296  pc0  12298  pcqdiv  12301  pcrec  12302  pcexp  12303  pcxcl  12305  pcdvdstr  12320  pcgcd1  12321  pc2dvds  12323  pc11  12324  pcaddlem  12332  pcadd  12333  fldivp1  12340  qexpz  12344  4sqlem5  12374  4sqlem6  12375  4sqlem10  12379  mulgmodid  12975  2logb9irrALT  14285  2irrexpq  14287  2irrexpqap  14289  lgslem1  14294  lgsvalmod  14313  lgsneg  14318  lgsmod  14320  lgsdir2lem4  14325  lgsdirprm  14328  lgsdilem2  14330  lgsne0  14332  apdifflemr  14677  apdiff  14678