Theorem zq 9821

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
zq	|- ( A e. ZZ -> A e. QQ )

Proof of Theorem zq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2231	. . . . 5 |- ( x = A <-> A = x )
2		zcn 9451	. . . . . . 7 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
3	2	div1d 8927	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ -> ( x / 1 ) = x )
4	3	eqeq2d 2241	. . . . 5 |- ( x e. ZZ -> ( A = ( x / 1 ) <-> A = x ) )
5	1, 4	bitr4id 199	. . . 4 |- ( x e. ZZ -> ( x = A <-> A = ( x / 1 ) ) )
6		1nn 9121	. . . . 5 |- 1 e. NN
7		oveq2 6009	. . . . . . 7 |- ( y = 1 -> ( x / y ) = ( x / 1 ) )
8	7	eqeq2d 2241	. . . . . 6 |- ( y = 1 -> ( A = ( x / y ) <-> A = ( x / 1 ) ) )
9	8	rspcev 2907	. . . . 5 |- ( ( 1 e. NN /\ A = ( x / 1 ) ) -> E. y e. NN A = ( x / y ) )
10	6, 9	mpan 424	. . . 4 |- ( A = ( x / 1 ) -> E. y e. NN A = ( x / y ) )
11	5, 10	biimtrdi 163	. . 3 |- ( x e. ZZ -> ( x = A -> E. y e. NN A = ( x / y ) ) )
12	11	reximia 2625	. 2 |- ( E. x e. ZZ x = A -> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
13		risset 2558	. 2 |- ( A e. ZZ <-> E. x e. ZZ x = A )
14		elq 9817	. 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
15	12, 13, 14	3imtr4i 201	1 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   E.wrex 2509  (class class class)co 6001   1c1 8000   / cdiv 8819   NNcn 9110   ZZcz 9446   QQcq 9814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-z 9447  df-q 9815

This theorem is referenced by:  zssq  9822  qdivcl  9838  irrmul  9842  irrmulap  9843  qbtwnz  10471  qbtwnxr  10477  flqlt  10503  flid  10504  flqltnz  10507  flqbi2  10511  flqaddz  10517  flqmulnn0  10519  ceilid  10537  flqeqceilz  10540  flqdiv  10543  modqcl  10548  mulqmod0  10552  modqfrac  10559  zmod10  10562  modqmulnn  10564  zmodcl  10566  zmodfz  10568  zmodid2  10574  q0mod  10577  q1mod  10578  modqcyc  10581  mulp1mod1  10587  modqmuladd  10588  modqmuladdim  10589  modqmuladdnn0  10590  m1modnnsub1  10592  addmodid  10594  modqm1p1mod0  10597  modqltm1p1mod  10598  modqmul1  10599  modqmul12d  10600  q2txmodxeq0  10606  modifeq2int  10608  modaddmodup  10609  modaddmodlo  10610  modqaddmulmod  10613  modqdi  10614  modqsubdir  10615  modsumfzodifsn  10618  addmodlteq  10620  qexpcl  10777  qexpclz  10782  iexpcyc  10866  qsqeqor  10872  facavg  10968  bcval  10971  qabsor  11586  modfsummodlemstep  11968  sinltxirr  12272  egt2lt3  12291  dvdsval3  12302  p1modz1  12305  moddvds  12310  modm1div  12311  absdvdsb  12320  dvdsabsb  12321  dvdslelemd  12354  dvdsmod  12373  mulmoddvds  12374  divalglemnn  12429  divalgmod  12438  fldivndvdslt  12448  bitsfzo  12466  bitsmod  12467  bitsinv1lem  12472  bitsinv1  12473  gcdabs  12509  gcdabs1  12510  modgcd  12512  bezoutlemnewy  12517  bezoutlemstep  12518  eucalglt  12579  lcmabs  12598  sqrt2irraplemnn  12701  nn0sqrtelqelz  12728  crth  12746  phimullem  12747  eulerthlema  12752  eulerthlemh  12753  fermltl  12756  prmdiv  12757  prmdiveq  12758  odzdvds  12768  vfermltl  12774  powm2modprm  12775  modprm0  12777  modprmn0modprm0  12779  pceu  12818  pczpre  12820  pcdiv  12825  pc0  12827  pcqdiv  12830  pcrec  12831  pcexp  12832  pcxcl  12834  pcxqcl  12835  pcdvdstr  12850  pcgcd1  12851  pc2dvds  12853  pc11  12854  pcaddlem  12862  pcadd  12863  pcadd2  12864  fldivp1  12871  qexpz  12875  4sqlem5  12905  4sqlem6  12906  4sqlem10  12910  4sqlem12  12925  modxai  12939  modsubi  12942  mulgmodid  13698  znf1o  14615  2logb9irrALT  15648  2irrexpq  15650  2irrexpqap  15652  wilthlem1  15654  lgslem1  15679  lgsvalmod  15698  lgsneg  15703  lgsmod  15705  lgsdir2lem4  15710  lgsdirprm  15713  lgsdilem2  15715  lgsne0  15717  gausslemma2dlem0i  15736  gausslemma2dlem1a  15737  gausslemma2dlem1cl  15738  gausslemma2dlem1f1o  15739  gausslemma2dlem4  15743  gausslemma2dlem5a  15744  gausslemma2dlem6  15746  gausslemma2d  15748  lgseisenlem1  15749  lgseisenlem3  15751  lgseisenlem4  15752  lgseisen  15753  lgsquadlem1  15756  lgsquadlem2  15757  m1lgs  15764  2lgslem1a1  15765  apdifflemr  16415  apdiff  16416