Theorem zq 10005

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
zq	|- ( A e. ZZ -> A e. QQ )

Proof of Theorem zq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2240	. . . . 5 |- ( x = A <-> A = x )
2		zcn 9628	. . . . . . 7 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
3	2	div1d 9100	. . . . . 6 |- ( x e. ZZ -> ( x / 1 ) = x )
4	3	eqeq2d 2250	. . . . 5 |- ( x e. ZZ -> ( A = ( x / 1 ) <-> A = x ) )
5	1, 4	bitr4id 199	. . . 4 |- ( x e. ZZ -> ( x = A <-> A = ( x / 1 ) ) )
6		1nn 9294	. . . . 5 |- 1 e. NN
7		oveq2 6083	. . . . . . 7 |- ( y = 1 -> ( x / y ) = ( x / 1 ) )
8	7	eqeq2d 2250	. . . . . 6 |- ( y = 1 -> ( A = ( x / y ) <-> A = ( x / 1 ) ) )
9	8	rspcev 2929	. . . . 5 |- ( ( 1 e. NN /\ A = ( x / 1 ) ) -> E. y e. NN A = ( x / y ) )
10	6, 9	mpan 428	. . . 4 |- ( A = ( x / 1 ) -> E. y e. NN A = ( x / y ) )
11	5, 10	biimtrdi 163	. . 3 |- ( x e. ZZ -> ( x = A -> E. y e. NN A = ( x / y ) ) )
12	11	reximia 2645	. 2 |- ( E. x e. ZZ x = A -> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
13		risset 2578	. 2 |- ( A e. ZZ <-> E. x e. ZZ x = A )
14		elq 10001	. 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
15	12, 13, 14	3imtr4i 201	1 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529  (class class class)co 6075   1c1 8170   / cdiv 8992   NNcn 9283   ZZcz 9623   QQcq 9998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-z 9624  df-q 9999

This theorem is referenced by:  zssq  10006  qdivcl  10022  irrmul  10026  irrmulap  10027  qbtwnz  10664  qbtwnxr  10670  flqlt  10696  flid  10697  flqltnz  10700  flqbi2  10704  flqaddz  10710  flqmulnn0  10712  ceilid  10730  flqeqceilz  10733  flqdiv  10736  modqcl  10741  mulqmod0  10745  modqfrac  10752  zmod10  10755  modqmulnn  10757  zmodcl  10759  zmodfz  10761  zmodid2  10767  q0mod  10770  q1mod  10771  modqcyc  10774  mulp1mod1  10780  modqmuladd  10781  modqmuladdim  10782  modqmuladdnn0  10783  m1modnnsub1  10785  addmodid  10787  modqm1p1mod0  10790  modqltm1p1mod  10791  modqmul1  10792  modqmul12d  10793  q2txmodxeq0  10799  modifeq2int  10801  modaddmodup  10802  modaddmodlo  10803  modqaddmulmod  10806  modqdi  10807  modqsubdir  10808  modsumfzodifsn  10811  addmodlteq  10813  qexpcl  10970  qexpclz  10975  iexpcyc  11059  qsqeqor  11065  facavg  11162  bcval  11165  qabsor  11819  modfsummodlemstep  12202  sinltxirr  12506  egt2lt3  12525  dvdsval3  12536  p1modz1  12539  moddvds  12544  modm1div  12545  absdvdsb  12554  dvdsabsb  12555  dvdslelemd  12588  dvdsmod  12607  mulmoddvds  12608  divalglemnn  12663  divalgmod  12672  fldivndvdslt  12682  bitsfzo  12700  bitsmod  12701  bitsinv1lem  12706  bitsinv1  12707  gcdabs  12743  gcdabs1  12744  modgcd  12746  bezoutlemnewy  12751  bezoutlemstep  12752  eucalglt  12813  lcmabs  12832  sqrt2irraplemnn  12935  nn0sqrtelqelz  12962  crth  12980  phimullem  12981  eulerthlema  12986  eulerthlemh  12987  fermltl  12990  prmdiv  12991  prmdiveq  12992  odzdvds  13002  vfermltl  13008  powm2modprm  13009  modprm0  13011  modprmn0modprm0  13013  pceu  13052  pczpre  13054  pcdiv  13059  pc0  13061  pcqdiv  13064  pcrec  13065  pcexp  13066  pcxcl  13068  pcxqcl  13069  pcdvdstr  13084  pcgcd1  13085  pc2dvds  13087  pc11  13088  pcaddlem  13096  pcadd  13097  pcadd2  13098  fldivp1  13105  qexpz  13109  4sqlem5  13139  4sqlem6  13140  4sqlem10  13144  4sqlem12  13159  modxai  13173  modsubi  13176  mulgmodid  13941  znf1o  14958  2logb9irrALT  15999  2irrexpq  16001  2irrexpqap  16003  wilthlem1  16008  lgslem1  16033  lgsvalmod  16052  lgsneg  16057  lgsmod  16059  lgsdir2lem4  16064  lgsdirprm  16067  lgsdilem2  16069  lgsne0  16071  gausslemma2dlem0i  16090  gausslemma2dlem1a  16091  gausslemma2dlem1cl  16092  gausslemma2dlem1f1o  16093  gausslemma2dlem4  16097  gausslemma2dlem5a  16098  gausslemma2dlem6  16100  gausslemma2d  16102  lgseisenlem1  16103  lgseisenlem3  16105  lgseisenlem4  16106  lgseisen  16107  lgsquadlem1  16110  lgsquadlem2  16111  m1lgs  16118  2lgslem1a1  16119  apdifflemr  17001  apdiff  17002  qdiff  17003