Theorem flqge 10729

Description: The floor function value is the greatest integer less than or equal to its argument. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqge	|- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( B <_ A <-> B <_ ( |_ ` A ) ) )

Proof of Theorem flqge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flqltp1 10726	. . . . 5 |- ( A e. QQ -> A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
3		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> B e. ZZ )
4	3	zred 9772	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> B e. RR )
5		qre 10034	. . . . . 6 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
6	5	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> A e. RR )
7		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> A e. QQ )
8	7	flqcld 10724	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
9	8	peano2zd 9775	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. ZZ )
10	9	zred 9772	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR )
11		lelttr 8414	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR /\ ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR ) -> ( ( B <_ A /\ A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) -> B < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
12	4, 6, 10, 11	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( ( B <_ A /\ A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) -> B < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
13	2, 12	mpan2d 432	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( B <_ A -> B < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
14		zleltp1 9704	. . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ ( |_ ` A ) e. ZZ ) -> ( B <_ ( |_ ` A ) <-> B < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
15	3, 8, 14	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( B <_ ( |_ ` A ) <-> B < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
16	13, 15	sylibrd 169	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( B <_ A -> B <_ ( |_ ` A ) ) )
17		flqle 10725	. . . 4 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) <_ A )
18	17	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( |_ ` A ) <_ A )
19	8	zred 9772	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( |_ ` A ) e. RR )
20		letr 8408	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ ( |_ ` A ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( B <_ ( |_ ` A ) /\ ( |_ ` A ) <_ A ) -> B <_ A ) )
21	4, 19, 6, 20	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( ( B <_ ( |_ ` A ) /\ ( |_ ` A ) <_ A ) -> B <_ A ) )
22	18, 21	mpan2d 432	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( B <_ ( |_ ` A ) -> B <_ A ) )
23	16, 22	impbid 129	1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( B <_ A <-> B <_ ( |_ ` A ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   RRcr 8178   1c1 8180   + caddc 8182   < clt 8360   <_ cle 8361   ZZcz 9648   QQcq 10028   |_cfl 10713

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-reap 8905  df-ap 8912  df-div 9005  df-inn 9307  df-n0 9568  df-z 9649  df-q 10029  df-rp 10065  df-fl 10715

This theorem is used by:  flqlt  10731  flid  10732  flqwordi  10736  flqge0nn0  10741  flqge1nn  10742  flqmulnn0  10747  modqmuladdnn0  10818  hashdvds  13019  ppiqsval  16156  ppiqub  16194  bposlem3  16211  bposlem4  16212  gausslemma2dlem4  16281  lgsquadlem1  16294  lgsquadlem2  16295