Theorem flqge 10217

Description: The floor function value is the greatest integer less than or equal to its argument. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqge	|- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( B <_ A <-> B <_ ( |_ ` A ) ) )

Proof of Theorem flqge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flqltp1 10214	. . . . 5 |- ( A e. QQ -> A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
2	1	adantr 274	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
3		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> B e. ZZ )
4	3	zred 9313	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> B e. RR )
5		qre 9563	. . . . . 6 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
6	5	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> A e. RR )
7		simpl 108	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> A e. QQ )
8	7	flqcld 10212	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
9	8	peano2zd 9316	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. ZZ )
10	9	zred 9313	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR )
11		lelttr 7987	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR /\ ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR ) -> ( ( B <_ A /\ A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) -> B < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
12	4, 6, 10, 11	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( ( B <_ A /\ A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) -> B < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
13	2, 12	mpan2d 425	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( B <_ A -> B < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
14		zleltp1 9246	. . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ ( |_ ` A ) e. ZZ ) -> ( B <_ ( |_ ` A ) <-> B < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
15	3, 8, 14	syl2anc 409	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( B <_ ( |_ ` A ) <-> B < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
16	13, 15	sylibrd 168	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( B <_ A -> B <_ ( |_ ` A ) ) )
17		flqle 10213	. . . 4 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) <_ A )
18	17	adantr 274	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( |_ ` A ) <_ A )
19	8	zred 9313	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( |_ ` A ) e. RR )
20		letr 7981	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ ( |_ ` A ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( B <_ ( |_ ` A ) /\ ( |_ ` A ) <_ A ) -> B <_ A ) )
21	4, 19, 6, 20	syl3anc 1228	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( ( B <_ ( |_ ` A ) /\ ( |_ ` A ) <_ A ) -> B <_ A ) )
22	18, 21	mpan2d 425	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( B <_ ( |_ ` A ) -> B <_ A ) )
23	16, 22	impbid 128	1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( B <_ A <-> B <_ ( |_ ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2136   class class class wbr 3982   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   RRcr 7752   1c1 7754   + caddc 7756   < clt 7933   <_ cle 7934   ZZcz 9191   QQcq 9557   |_cfl 10203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-q 9558  df-rp 9590  df-fl 10205

This theorem is referenced by:  flqlt  10218  flid  10219  flqwordi  10223  flqge0nn0  10228  flqge1nn  10229  flqmulnn0  10234  modqmuladdnn0  10303  hashdvds  12153