ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  flqge Unicode version

Theorem flqge 10062
Description: The floor function value is the greatest integer less than or equal to its argument. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
flqge  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  A  <->  B  <_  ( |_ `  A ) ) )

Proof of Theorem flqge
StepHypRef Expression
1 flqltp1 10059 . . . . 5  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
21adantr 274 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
3 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  ZZ )
43zred 9180 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  RR )
5 qre 9424 . . . . . 6  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  RR )
65adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  e.  RR )
7 simpl 108 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  e.  QQ )
87flqcld 10057 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  A
)  e.  ZZ )
98peano2zd 9183 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  ZZ )
109zred 9180 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR )
11 lelttr 7859 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( B  <_  A  /\  A  <  (
( |_ `  A
)  +  1 ) )  ->  B  <  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) ) )
124, 6, 10, 11syl3anc 1216 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( B  <_  A  /\  A  <  (
( |_ `  A
)  +  1 ) )  ->  B  <  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) ) )
132, 12mpan2d 424 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  A  ->  B  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )
14 zleltp1 9116 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  ( |_ `  A )  e.  ZZ )  -> 
( B  <_  ( |_ `  A )  <->  B  <  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) ) )
153, 8, 14syl2anc 408 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  ( |_ `  A )  <->  B  <  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) ) )
1613, 15sylibrd 168 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  A  ->  B  <_  ( |_ `  A ) ) )
17 flqle 10058 . . . 4  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( |_ `  A )  <_  A )
1817adantr 274 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  A
)  <_  A )
198zred 9180 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  A
)  e.  RR )
20 letr 7854 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( |_ `  A )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( B  <_  ( |_ `  A )  /\  ( |_ `  A )  <_  A )  ->  B  <_  A ) )
214, 19, 6, 20syl3anc 1216 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( B  <_ 
( |_ `  A
)  /\  ( |_ `  A )  <_  A
)  ->  B  <_  A ) )
2218, 21mpan2d 424 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  ( |_ `  A )  ->  B  <_  A ) )
2316, 22impbid 128 1  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  A  <->  B  <_  ( |_ `  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1480   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   RRcr 7626   1c1 7628    + caddc 7630    < clt 7807    <_ cle 7808   ZZcz 9061   QQcq 9418   |_cfl 10048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-q 9419  df-rp 9449  df-fl 10050
This theorem is referenced by:  flqlt  10063  flid  10064  flqwordi  10068  flqge0nn0  10073  flqge1nn  10074  flqmulnn0  10079  modqmuladdnn0  10148  hashdvds  11904
  Copyright terms: Public domain W3C validator