Theorem frecuzrdgsuct 10646

Description: Successor value of a recursive definition generator on upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Apr-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frecuzrdgrclt.c	|- ( ph -> C e. ZZ )
frecuzrdgrclt.a	|- ( ph -> A e. S )
frecuzrdgrclt.t	|- ( ph -> S C_ T )
frecuzrdgrclt.f	|- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` C ) /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
frecuzrdgrclt.r	|- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. )
frecuzrdgsuct.ran	|- ( ph -> P = ran R )

Assertion

Ref	Expression
frecuzrdgsuct	|- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( P ` ( B + 1 ) ) = ( B F ( P ` B ) ) )

Distinct variable groups:   x, C, y   x, F, y   x, S, y   x, T, y   ph, x, y   x, B, y   x, R, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   P( x, y)

Proof of Theorem frecuzrdgsuct

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frecuzrdgrclt.c	. 2 |- ( ph -> C e. ZZ )
2		frecuzrdgrclt.a	. 2 |- ( ph -> A e. S )
3		frecuzrdgrclt.t	. 2 |- ( ph -> S C_ T )
4		frecuzrdgrclt.f	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` C ) /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
5		frecuzrdgrclt.r	. 2 |- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. )
6		oveq1 6008	. . . 4 |- ( z = x -> ( z + 1 ) = ( x + 1 ) )
7	6	cbvmptv 4180	. . 3 |- ( z e. ZZ |-> ( z + 1 ) ) = ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) )
8		freceq1 6538	. . 3 |- ( ( z e. ZZ |-> ( z + 1 ) ) = ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) -> frec ( ( z e. ZZ |-> ( z + 1 ) ) , C ) = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) )
9	7, 8	ax-mp 5	. 2 |- frec ( ( z e. ZZ |-> ( z + 1 ) ) , C ) = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
10		frecuzrdgsuct.ran	. 2 |- ( ph -> P = ran R )
11	1, 2, 3, 4, 5, 9, 10	frecuzrdgsuctlem 10645	1 |- ( ( ph /\ B e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( P ` ( B + 1 ) ) = ( B F ( P ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   C_ wss 3197   <.cop 3669   |-> cmpt 4145   ran crn 4720   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   e. cmpo 6003  freccfrec 6536   1c1 8000   + caddc 8002   ZZcz 9446   ZZ>=cuz 9722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723

This theorem is referenced by:  seq3p1  10687  seqp1cd  10692