ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecuzrdgsuct Unicode version

Theorem frecuzrdgsuct 10204
Description: Successor value of a recursive definition generator on upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Apr-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frecuzrdgrclt.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
frecuzrdgrclt.a  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
frecuzrdgrclt.t  |-  ( ph  ->  S  C_  T )
frecuzrdgrclt.f  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  C )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x F y )  e.  S )
frecuzrdgrclt.r  |-  R  = frec ( ( x  e.  ( ZZ>= `  C ) ,  y  e.  T  |-> 
<. ( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.
) ,  <. C ,  A >. )
frecuzrdgsuct.ran  |-  ( ph  ->  P  =  ran  R
)
Assertion
Ref Expression
frecuzrdgsuct  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  ( P `  ( B  +  1 ) )  =  ( B F ( P `
 B ) ) )
Distinct variable groups:    x, C, y   
x, F, y    x, S, y    x, T, y    ph, x, y    x, B, y    x, R, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    P( x, y)

Proof of Theorem frecuzrdgsuct
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frecuzrdgrclt.c . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
2 frecuzrdgrclt.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
3 frecuzrdgrclt.t . 2  |-  ( ph  ->  S  C_  T )
4 frecuzrdgrclt.f . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  C )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x F y )  e.  S )
5 frecuzrdgrclt.r . 2  |-  R  = frec ( ( x  e.  ( ZZ>= `  C ) ,  y  e.  T  |-> 
<. ( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.
) ,  <. C ,  A >. )
6 oveq1 5781 . . . 4  |-  ( z  =  x  ->  (
z  +  1 )  =  ( x  + 
1 ) )
76cbvmptv 4024 . . 3  |-  ( z  e.  ZZ  |->  ( z  +  1 ) )  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) )
8 freceq1 6289 . . 3  |-  ( ( z  e.  ZZ  |->  ( z  +  1 ) )  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) )  -> frec ( ( z  e.  ZZ  |->  ( z  +  1 ) ) ,  C )  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C ) )
97, 8ax-mp 5 . 2  |- frec ( ( z  e.  ZZ  |->  ( z  +  1 ) ) ,  C )  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )
10 frecuzrdgsuct.ran . 2  |-  ( ph  ->  P  =  ran  R
)
111, 2, 3, 4, 5, 9, 10frecuzrdgsuctlem 10203 1  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  ( P `  ( B  +  1 ) )  =  ( B F ( P `
 B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480    C_ wss 3071   <.cop 3530    |-> cmpt 3989   ran crn 4540   ` cfv 5123  (class class class)co 5774    e. cmpo 5776  freccfrec 6287   1c1 7628    + caddc 7630   ZZcz 9061   ZZ>=cuz 9333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334
This theorem is referenced by:  seq3p1  10242  seqp1cd  10246
  Copyright terms: Public domain W3C validator