Theorem frecuzrdgsuct 10689

Description: Successor value of a recursive definition generator on upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Apr-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frecuzrdgrclt.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frecuzrdgrclt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
frecuzrdgrclt.t	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑇)
frecuzrdgrclt.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
frecuzrdgrclt.r	⊢ 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
frecuzrdgsuct.ran	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ran 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
frecuzrdgsuct	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐶)) → (𝑃‘(𝐵 + 1)) = (𝐵𝐹(𝑃‘𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝑃(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem frecuzrdgsuct

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frecuzrdgrclt.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
2		frecuzrdgrclt.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
3		frecuzrdgrclt.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑇)
4		frecuzrdgrclt.f	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
5		frecuzrdgrclt.r	. 2 ⊢ 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
6		oveq1 6027	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 + 1) = (𝑥 + 1))
7	6	cbvmptv 4184	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 + 1)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))
8		freceq1 6560	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 + 1)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) → frec((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 + 1)), 𝐶) = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶))
9	7, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ frec((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 + 1)), 𝐶) = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
10		frecuzrdgsuct.ran	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ran 𝑅)
11	1, 2, 3, 4, 5, 9, 10	frecuzrdgsuctlem 10688	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐶)) → (𝑃‘(𝐵 + 1)) = (𝐵𝐹(𝑃‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2201   ⊆ wss 3199  ⟨cop 3671   ↦ cmpt 4149  ran crn 4725  ‘cfv 5325  (class class class)co 6020   ∈ cmpo 6022  freccfrec 6558  1c1 8035   + caddc 8037  ℤcz 9481  ℤ_≥cuz 9757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4203  ax-sep 4206  ax-nul 4214  ax-pow 4263  ax-pr 4298  ax-un 4529  ax-setind 4634  ax-iinf 4685  ax-cnex 8125  ax-resscn 8126  ax-1cn 8127  ax-1re 8128  ax-icn 8129  ax-addcl 8130  ax-addrcl 8131  ax-mulcl 8132  ax-addcom 8134  ax-addass 8136  ax-distr 8138  ax-i2m1 8139  ax-0lt1 8140  ax-0id 8142  ax-rnegex 8143  ax-cnre 8145  ax-pre-ltirr 8146  ax-pre-ltwlin 8147  ax-pre-lttrn 8148  ax-pre-ltadd 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3653  df-sn 3674  df-pr 3675  df-op 3677  df-uni 3893  df-int 3928  df-iun 3971  df-br 4088  df-opab 4150  df-mpt 4151  df-tr 4187  df-id 4389  df-iord 4462  df-on 4464  df-ilim 4465  df-suc 4467  df-iom 4688  df-xp 4730  df-rel 4731  df-cnv 4732  df-co 4733  df-dm 4734  df-rn 4735  df-res 4736  df-ima 4737  df-iota 5285  df-fun 5327  df-fn 5328  df-f 5329  df-f1 5330  df-fo 5331  df-f1o 5332  df-fv 5333  df-riota 5973  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpo 6025  df-1st 6305  df-2nd 6306  df-recs 6473  df-frec 6559  df-pnf 8218  df-mnf 8219  df-xr 8220  df-ltxr 8221  df-le 8222  df-sub 8354  df-neg 8355  df-inn 9146  df-n0 9405  df-z 9482  df-uz 9758

This theorem is referenced by:  seq3p1  10730  seqp1cd  10735